例析導數解答題中數列不等式的證明策略
2021-09-27 05:55:22潘小芳
數理化解題研究 2021年25期
李 寧 潘小芳
(海南省海南中學 571158)
一、常用思路：逐項比較
例1 已知函數f(x)=(x+1)lnx-ax+2.
(1)若函數f(x)在定義域上具有單調性，求實數a的取值范圍；
解析(1)當a≤2時，f(x)在定義域上單調遞增.
…
(2)整個問題的前后小問之間往往有聯系，含參函數如果第一問給出某個性質求參數范圍，可以考慮取參數范圍的端點值代回去得到函數不等式.
(1)若f(x)≤ax+1在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；
…
評注逐項比較法，關鍵是獲取不等式兩邊數列的通項，逆向探索局部不等式.
二、可選思路：利用數列單調性
例3 設函數f(x)=(x-1)2+blnx，其中b為常數.
(1)判斷函數f(x)在定義域上的單調性；
評注利用數列單調性證明這類數列不等式雖然與逐項比較法寫法不同，但本質上它們是異曲同工的.
三、合理放縮
(1)若不等式kx≥f(x)在區間(0,+∞)上恒成立，求實數k的取值范圍；
…
四、類似可證ai
例5 已知函數f(x)=alnx+x2，其中a∈R.
(1)當a=1時，證明：f(x)≤x2+x-1；
解析(1)略.
評注待證不等式一邊是常數，不方便逆向探索局部不等式.可以對照待證不等式的結構特征和已知條件，從已知條件中獲取函數不等式來構建局部不等式.不等式lnx≤x-1是解決導數解答題必須掌握的重要不等式.
例6 已知函數f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1)求函數f(x)的單調區間；
解析(1)當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(0,1)，單調遞減區間為(1,+∞)；當a<0時，f(x)的單調遞增區間為(1,+∞)，單調遞減區間為(0,1)；當a=0時，沒有單調區間.
例5 已知函數f(x)=alnx+x2，其中a∈R.
(1)當a=1時，證明：f(x)≤x2+x-1；
解析(1)略.
評注待證不等式一邊是常數，不方便逆向探索局部不等式.可以對照待證不等式的結構特征和已知條件，從已知條件中獲取函數不等式來構建局部不等式.不等式lnx≤x-1是解決導數解答題必須掌握的重要不等式.
例6 已知函數f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1)求函數f(x)的單調區間；
解析(1)當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(0,1)，單調遞減區間為(1,+∞)；當a<0時，f(x)的單調遞增區間為(1,+∞)，單調遞減區間為(0,1)；當a=0時，沒有單調區間.
