判斷三角形解的個數(shù)有妙招

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

解三角形有四種基本題型：(1)已知兩邊和它們的夾角；(2)已知三邊；(3)已知兩角和任一邊；(4)已知兩邊和其中一邊的對角.根據(jù)全等三角形的判定方法可知，前三種基本題型，三角形都有唯一解，最后一種題型，三角形可能無解、一個解或兩個解.由于解的個數(shù)不易確定，因而成為教學的難點.筆者經(jīng)過精心研究，歸納整理出判斷三角形解的個數(shù)的四個妙招.

一、性質法

我們知道，三角形有許多性質，如“在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB”“若α是三角形的內角，則0

例1 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足以下條件的三角形解的個數(shù)為1的是( ).

A．a(chǎn)=22,b=25,A=120° B．a(chǎn)=9,c=10,A=30°

C．a(chǎn)=6,b=8,A=60° D．a(chǎn)=11,b=6,A=45°

分析從已知條件出發(fā)，利用正弦定理、大邊對大角以及正弦函數(shù)的有界性，判斷各個選項中三角形的個數(shù)，從而得出結論.

解析對于選項A,因為b>a,所以B>120°.所以滿足題意的三角形不存在；

二、畫圖法

先根據(jù)已知條件畫出三角形，再根據(jù)所畫三角形的個數(shù)作出判斷.三角形有幾個，解就有幾個.

畫三角形的關鍵是確定三個頂點的位置，一般步驟是：(1)畫角，確定第一個頂點；(2)畫鄰邊，確定第二個頂點；(3)畫對邊，確定第三個頂點.

三、 圖象法

首先，分別根據(jù)三角形內角和定理和正弦定理求出另一已知邊的對角的取值范圍和正弦表達式；其次，構造相應的正弦函數(shù)和常數(shù)函數(shù)并畫出它們的圖象；最后，根據(jù)兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)作出判斷， 交點有幾個，三角形的解就有幾個.

分析利用正弦定理，可用a表示sinA，結合C的大小，可知A∈(0°,120°).構造相應正弦函數(shù)和常數(shù)函數(shù)并畫出其圖象，結合存在兩個三角形的條件，即可列出a滿足的不等式，求得a的取值范圍.

四、判別式法

在△ABC中，已知邊a，b和角A，則△ABC有幾個解等價于關于邊c的一元二次方程c2-(2bcosA)c+b2-a2=0(*)有幾個不等的正根.

證明由余弦定理知，邊c是方程(*)的根,△=(2bcosA)2-4(b2-a2) =4a2-4b2sin2A.

綜上，△ABC有幾個解等價于方程(*)有幾個不等的正根.

A.0°

C.0°

(*)

以上四招各有千秋，在具體的解題過程中，可以嘗試用不同的方法去解同一道題，這樣不僅能鞏固所學的知識，而且還能更好地培養(yǎng)學生思維的廣闊性，有利于創(chuàng)新意識的形成和發(fā)展.