立體幾何求直線距離的三種解析方法

曹 靜

(江蘇省南通市第二中學高中校區 226000)

一、法向量在立體幾何求直線距離中的使用

在求解立體幾何題目時常構造法向量，可以將虛擬的空間距離通過坐標系進行具體化處理，實現解題過程由抽象向具體轉化，實現解題過程的簡單化，從而提升學生解立體幾何題目的效率，保證解題結果的準確性.

例1如圖1所示，a,b為異面曲線，E，F為異面曲線上的任意兩點，n為a,b公垂線的方向向量，已知四邊形ABCD是正方形，PD與面ABCD垂直，PD=AB=1，E，F分別是PB，PD中點，求直線AE與CF之間的距離.

可見利用法向量求解距離問題時，可以簡化解題過程，從而使得距離求解的結果更加準確，因此，教師們需要落實法向量在立體幾何方面的教學.

二、等體積法在立體幾何的運用

在求解某些異面直線的距離問題時，我們可以利用體積的不變性，從不同角度先將體積用不同的方式進行表達，從而建立方程進行求解.建立VA-A′C′D和VC-AA′D的體積的等量關系，再對等式進行化簡，解出對應的異面直線的距離.

例2 如圖3所示，若正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，求直線DA′與AC的距離.

解析因為直線AC∥平面A′C′D,且DA′?平面A′CD，所以直線AC與平面A′C′D之間的距離即為DA′與AC的距離.

設點A′到平面A′C′D的距離為d，連接A′C,DC,

由VA-A′C′D=VC-AA′D，

三、函數思想在立體幾何中的應用

函數思想在立體幾何中的應用即利用函數構建模式可以將立體幾何問題進行簡化處理.通過對題目的簡化，能夠使得同學們更容易且更好地理解題目的意思，從而幫助同學們更好地解題，把握題目考查的真實意思，從而節省思考的時間，提升同學們在該方面的解題質量.

例3如圖4所示，AB為圓O直徑，PA垂直于圓所在的平面，C為圓周上任意一點，設∠BAC=θ，PA=AB=2r，求PB與AC之間的距離.

分析通過讀題可知，例3是求空間中的異面距離，也就是空間立體幾何的問題，無法通過構建空間直角坐標系的方式進行解題，從而沒有辦法采用法向量進行求解.因此，與例3相似的這一類題型就需要通過函數思想的應用進行有效解題.由圖可以發現PB與AC之間的距離可以看作是直線PB上的點與直線AC之間的距離，因此可以通過構建函數的形式進行求解.

解析在PB上任取一點M，使得MD⊥AC，并相交于點D，得出MH⊥AB于點H，進而垂直于面ABC.

因此，可以得出函數關系式：

MD2=x2+[(2r-x)sinθ]2.

對函數進行化簡，可得出最終結果.

通過例3的求解，可見異面求距離的問題可以看作是函數中求最大值和最小值的問題，所以，對于這一類題目可以將其轉化為函數進行解答，從而幫助同學們在解題的過程中簡化整體的解題步驟.

綜上所述，在高中數學有關立體幾何問題的解答中，往往有兩種較為常見的解析方式，即利用法向量與構建函數.一般來說，法向量較為常見，但是在一些題目中，法向量的應用會使得解題過程變得更為復雜，所以，函數的應用就能夠解決法向量的問題.所以，教師在教學時應向同學們落實兩種解題方法的應用，促使同學們能夠在考試時選擇最為合適的解題方法.