挖掘幾何意義 巧解平面向量數量積問題

孔繁晶

(江蘇省徐州高等師范學校 221116)

平面向量是高中數學課程的重要組成部分，具有集數形為一身的特征.同時又有著廣泛的學科內及跨學科的應用價值.向量的數量積運算具有明顯的幾何意義，并且是類比、遷移等數學常用思維方法的良好載體，亦是歷年各地高考命題的重點內容之一.

分析本題考查向量數量積問題，但用基底法和坐標法似乎都不易解答.但通過幾何意義的分析，我們會有不一樣的發現.

反思過程中最關鍵的解題步驟就是第一步，利用該結論是突破此問題的關鍵.該結論被稱為極化恒等式.追溯其身世，出自高等數學泛函分析的內積空間.

接著，我們來談一談利用極化恒等式巧解平面向量的數量積問題.

一、利用極化恒等式求向量的數量積

求解向量數量積是考查向量運算的常見題型，常規思路為利用定義法、坐標法、線性表示法.但有時以上條件不具備時，需要我們另辟蹊徑，解決問題.

例1如圖2，在ABCD中，已知則則的值為____.

練習1 如圖3，在ABCD中，O為BD的中點，且OA=3，OC=5．若則的值是____．

小結解決共起點或是可以轉化成共起點的兩向量的數量積問題，可以借助極化恒等式轉化為長度條件，再利用平面幾何中平行四邊形或是三角形的相關知識加以求解.

二、利用極化恒等式求向量數量積的最值或范圍

向量數量積運算作為重要考點，還會結合函數、不等式考查其最值或取值范圍的問題.

小結解決此類求數量積最值或是范圍問題，常常先利用極化恒等式轉化為長度條件，再利用平面幾何知識找到臨界位置進而確定最值或是范圍.