借助一元二次方程 感受數學模型魅力

文／呂 雯

縱觀“一元一次方程”“二元一次方程”“分式方程”“一元二次方程”等內容，我們要學會的其實是一種數學方法——數學建模。一元二次方程是初中數學學習的重點，也是學好二次函數不可或缺的條件，更是學好高中數學的基礎，還能解決生活中經常遇到的問題。從每年的中考數學試卷中，我們都能看到一元二次方程實際應用的身影。下面，就讓我們一起來歸納探討。

一、增長率問題

例1（2021·江蘇鹽城）勞動教育已納入人才培養全過程，某學校加大投入，建設校園農場，該農場一種作物的產量兩年內從300千克增加到363千克。設平均每年增產的百分率為x，則可列方程為________。

【解析】可先表示出第一年的產量，那么第二年的產量×（1+增長率）=363。把相應數值代入即可求解第一年的產量為300×（1+x），第二年的產量在第一年產量的基礎上增加x，為300×（1+x）×（1+x），則列出的方程是300（1+x）2=363。

【點評】本題考查平均變化率問題，解題的關鍵在于理解平均變化率。若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2=b。

二、銷售問題

例2（2021·山東煙臺）直播購物逐漸走進了人們的生活。某電商在抖音上對一款成本價為40 元的小商品進行直播銷售，如果按每件60 元銷售，每天可賣出20 件。通過市場調查發現，每件小商品售價每降低5 元，日銷售量增加10件。

（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？

（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5 元。為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？

【解析】（1）根據日利潤=每件利潤×日銷售量，可求出售價為60 元時的原利潤。設每件售價應定為x元，則每件的利潤為（x-40）元，日銷售量為20+=（140-2x）件。根據日利潤=每件利潤×日銷售量，得（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，即可得出關于x的一元二次方程x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60，取較小值即可。

（2）設該商品需要打a折銷售。由題意得，解得a≤8，即該商品至少需打8折銷售。

【點評】這是一個生活中常見的銷售類問題，解題的關鍵在于從實際問題中建立數學模型。通過方程模型的建立，我們能更好地感受到數學來源于生活又服務于生活，同時增強數學的應用意識。

三、面積問題

例3（2020·貴州遵義）如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm 的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒。若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，設剪去小正方形的邊長為xcm，則可列方程為（ ）。

A.（30-2x）（40-x）=600

B.（30-x）（40-x）=600

C.（30-x）（40-2x）=600

D.（30-2x）（40-2x）=600

【解析】設剪去小正方形的邊長是xcm，則紙盒底面的長為（40-2x）cm，寬為（30-2x）cm，根據長方形的面積公式，結合紙盒的底面積是600cm2，即可得出關于x的一元二次方程（30-2x）（40-2x）=600。

【點評】本題考查用含有x的代數式表示長、寬這些量，感受用字母表示量的思想，找準等量關系，正確列出一元二次方程。

四、球賽問題

例4（2020·廣西桂林）參加足球聯賽的每兩支球隊之間都要進行兩場比賽，共要比賽110 場，設參加比賽的球隊有x支，根據題意，下面列出的方程正確的是（ ）。

【解析】設有x個隊參賽，每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽110 場，可列出方程x（x-1）=110。

【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，我們可以根據總比賽場數作為等量關系列方程求解。

數學來源于生活，又服務于生活。如何學好數學？這就要求我們要會用數學的眼光從生活中捕捉數學問題，自主運用數學知識分析生活現象，將生活問題抽象成數學問題，從而解決生活中的實際問題。那么，在運用一元二次方程解決實際問題的過程中，我們應找出問題中的已知量和未知量，分析數量之間的等量關系，建立數學模型，列出符合題意的方程，同時不忘檢驗方程的解是否合理。這樣，問題便能迎刃而解，同時學習的知識也能形成體系。