例說典型分類 提升解題能力

文／楊 丹

命題人常通過設置綜合性問題，考查同學們對一元二次方程的靈活運用，突出方程思想。下面就以2021 年中考題為例進行歸納剖析，以期對同學們的學習有所幫助。

一、方程概念的綜合運用

例1（2021·四川廣安）關于x的一元二次方程（a+2）x2-3x+1=0 有實數根，則a的取值范圍是（ ）。

【分析】根據“一元二次方程”得到a+2≠0；由“有實數根”得到Δ=（-3）2-4（a+2）×1≥0。

【答案】A。

【點評】本題考查一元二次方程的根的判別式和一元二次方程根的概念。本題的易錯點有：當一元二次方程的二次項系數含有字母時，要注意二次項系數不等于0；有實數根包含兩層含義，一是方程有兩個不相等的實數根，二是方程有兩個相等的實數根，兩種情況都屬于有實數根，所以Δ≥0。

例2（2021·江蘇宿遷）方程=1的解是________。

【分析】第一步是先兩邊同時乘x2-4，將分式方程去分母化為整式方程；第二步去分母后整理為x2+x-3=0，解一元二次方程；第三步對分式方程的解進行檢驗。

【答案】x1=

【點評】本題考查解分式方程和一元二次方程。本題的易錯點有：去分母時，漏乘常數項1；分式方程忘記檢驗解是否增根。

例3（2021·湖北黃石）已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有實數根。

（1）求m的取值范圍；

（2）若該方程的兩個實數根分別為x1、x2，且x12+x22=12，求m的值。

【分析】根據“有實數根”得到Δ≥0，即（2m）2-4（m2+m）≥0；由“x12+x22=12”聯想到完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和韋達定理x1+x2=-得到（x1+x2）2-2x1x2=12，又∵x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，由一元二次方程解得m=3 或m=-2；根據m的取值范圍得到m=-2。

【答案】（1）m≤0；（2）m=-2。

【點評】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系和完全平方公式的應用。本題的易錯點有：完全平方公式的應用；在使用根與系數的關系時，忘記前提條件Δ≥0，而沒有檢驗所求出的解。

二、新定義中的一元二次方程

例4（2021·浙江杭州）已知y1和y2均是以x為自變量的函數，當x=m時，函數值分別是M1和M2，若存在實數m，使得M1+M2=0，則稱函數y1和y2具有性質P。以下函數y1和y2具有性質P的是（ ）。

【分析】根據條件梳理得到以下信息：y1和y2是用x表示的函數；當x=m時，y1=M1，y2=M2，M1+M2=0，則稱函數y1和y2具有性質P。具有性質P要滿足兩個條件：存在實數m；滿足M1+M2=y1+y2=0。對照題目要求要滿足：存在x使得y1+y2=0，即將兩個函數相加和為零且所得到的方程有解即可。

【答案】A。

【點評】本題屬于新定義類問題，根據給出的定義構造方程，利用方程思想解決問題是常見思路。本題也可利用函數圖像快速解答。本題的易錯點有：沒有理解函數y1和y2具有性質P的含義（對于新定義題型，最關鍵的就是理解定義）；根據根的判別式判斷一元二次方程是否有解。

三、一元二次方程與圖形的結合

例5（2021·浙江溫州）如圖1，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點（點E在點F左側），且∠AEB=∠CFD=90°。

圖1

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當AB=5，tan∠ABE=，∠CBE=∠EAF時，求BD的長。

【分析】易證AE∥CF，再證△ABE≌△CDF（AAS），得AE=CF，即可得出結論。

【點評】本題考查平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、銳角三角函數（九年級下冊學習）、解一元二次方程。本題的易錯點有：平行四邊形識別方法不夠簡潔，導致浪費時間；不會使用條件AB=5，tan∠ABE=，在直角三角形中只要有一邊一角或兩邊就可求這個直角三角形中所有量。

四、一元二次方程和函數、圖形的結合

例6（2021·浙江溫州）如圖2，點A、B在反比例函數的圖像上，AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D，BE⊥y軸于點E，連接AE。若OE=1，OC=，AC=AE，則k的值為（ ）。

圖2

【答案】B。

【點評】本題考查反比例函數圖像上點的坐標特征，矩形的判定和性質，勾股定理的應用和解一元二次方程。本題的易錯點有：線段和點的坐標的對應關系，以及線段和點的坐標的相互表示；點的坐標有正負，而線段永遠是正數；有垂直就有直角三角形，則有勾股定理這個等量關系；重視圖像這個隱含條件，反比例函數圖像在第一象限，則k＞0，即一元二次方程求解時，注意解的實際意義。