注重變式 用活例題

文／孫偉剛

“平均變化率問(wèn)題”是應(yīng)用題中的熱門題型。現(xiàn)以教材例題為載體，進(jìn)行變式訓(xùn)練，旨在幫助同學(xué)們掌握處理這類問(wèn)題的思路與方法，并能在以后的學(xué)習(xí)和考試中運(yùn)用自如。

原題呈現(xiàn)（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第25 頁(yè)問(wèn)題2）某商店6 月份的利潤(rùn)是2500 元，要使8 月份的利潤(rùn)達(dá)到3600 元，平均每月利潤(rùn)增長(zhǎng)的百分率是多少？

【解析】設(shè)平均每月利潤(rùn)增長(zhǎng)的百分率是x，則7 月份的利潤(rùn)是2500（1+x）元，8 月份的利潤(rùn)是2500（1+x）（1+x）元，即2500（1+x）2元，由題意可得2500（1+x）2=3600。解這個(gè)方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）。答：平均每月利潤(rùn)增長(zhǎng)的百分率是20%。

【小結(jié)】本題是“平均變化率問(wèn)題”中求增長(zhǎng)率的典型模型。在求解這類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)著重分析問(wèn)題中的各類數(shù)量間的關(guān)系，并用代數(shù)式表示這些量，從而找出解決問(wèn)題的方法。增長(zhǎng)率的問(wèn)題情境及解題思路的一般模式如下：若增長(zhǎng)前的基數(shù)為a（起始量），平均增長(zhǎng)率為x，則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)是以a（1+x）為基數(shù)的，增長(zhǎng)率也為x，故第二次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a（1+x）2。若已知第二次增長(zhǎng)后的數(shù)量達(dá)到b（終止量），則可列出如下方程：a（1+x）2=b。有了這個(gè)一般模式的解題思路，同學(xué)們對(duì)增長(zhǎng)率問(wèn)題的認(rèn)識(shí)就會(huì)更清晰了。

變式1（2018·遼寧沈陽(yáng)）某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400 萬(wàn)元，由于技術(shù)改進(jìn)，生產(chǎn)成本逐月下降，3 月份的生產(chǎn)成本是361萬(wàn)元。假設(shè)該公司2、3、4 月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同。

（1）求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率；

（2）請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本。

【解析】（1）設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x，則2月份的生產(chǎn)成本是400（1-x）萬(wàn)元，3月份的生產(chǎn)成本是［400（1-x）］（1-x）萬(wàn)元，即400（1-x）2萬(wàn)元，由題意可得400（1-x）2=361。解這個(gè)方程，得x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）。答：每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率是5%。

（2）361×（1-5%）=342.95（萬(wàn)元）。

答：預(yù)測(cè)4 月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬(wàn)元。

【小結(jié)】本題是“平均變化率問(wèn)題”中求降低率的典型模型。在求解這類問(wèn)題時(shí)，完全可類比增長(zhǎng)率問(wèn)題的解決思路與方法。事實(shí)上，我們可將降低率視為負(fù)增長(zhǎng)率，從而轉(zhuǎn)化為增長(zhǎng)率問(wèn)題來(lái)處理。降低率的問(wèn)題情境及解題思路的一般模式如下：若降低前的基數(shù)為a（起始量），平均降低率為x，則第一次降低后的數(shù)量為a（1-x）；第二次降低是以a（1-x）為基數(shù)的，降低率也為x，故第二次降低后的數(shù)量為a（1-x）2，若已知第二次降低后的數(shù)量變?yōu)閎（終止量），則可列出如下方程：a（1-x）2=b。歸納了降低率問(wèn)題的一般模式及解題思路，期待同學(xué)們對(duì)平均變化率問(wèn)題有較為全面、完整和深刻的認(rèn)識(shí)。

變式2（2020·湖北鄂州）目前以5G 等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展。某市2019 年底有5G 用戶2 萬(wàn)戶，計(jì)劃到2021 年底全市5G 用戶數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72 萬(wàn)戶。設(shè)全市5G 用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為x，則x值為（ ）。

A.20% B.30% C.40% D.50%

【解析】選C。理由：設(shè)全市5G 用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為x。根據(jù)題意，得

2+2（1+x）+2（1+x）2=8.72，

解這個(gè)方程，得x1=0.4=40%，x2=-3.4（不合題意，舍去）。

∴x的值為40%。故選C。

【小結(jié)】本題雖然考查的還是增長(zhǎng)率問(wèn)題，但較例題有所變化，主要體現(xiàn)在“終止量b”的含義不同。因此，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵。先用含x的代數(shù)式表示出2020 年底、2021 年底5G 用戶的數(shù)量，然后根據(jù)2019年底到2021年底這三年的5G 用戶數(shù)量之和等于8.72 萬(wàn)戶得到關(guān)于x的方程，最后解方程即得答案。

變式3中國(guó)股市正碰上多年難遇的牛市，股指一路上揚(yáng)。某股票分析師根據(jù)近幾天的股指的變化繪制了如下的圖：

（1）如果假設(shè)這幾天的增長(zhǎng)率相同，試預(yù)測(cè)星期四的股指是多少？

（2）但股市畢竟風(fēng)險(xiǎn)很大，有一個(gè)每股20 元的股票經(jīng)過(guò)幾次跌停板（即每一次下跌前一股價(jià)的10%）變?yōu)?6.2元/股，求：

①這個(gè)股票經(jīng)歷了幾次跌停板？

②是否經(jīng)過(guò)相同次數(shù)的漲停板（即每一次上漲前一股價(jià)的10%）又回到原股價(jià)呢？

【解析】（1）設(shè)這幾天的增長(zhǎng)率均為x。根據(jù)題意，得3000（1+x）2=3307.5。解這個(gè)方程，得x1=0.05，x2=-2.05（不合題意，舍去），∴x=0.05=5%。

則星期四的股指是3307.5×（1+5%）=3472.875。

（2）①設(shè)這個(gè)股票經(jīng)歷了n次跌停板。根據(jù)題意，得20（1-10%）n=16.2，整理得0.9n=0.81=0.92，解得n=2，∴這個(gè)股票經(jīng)歷了2 次跌停板。

②16.2×（1+10%）2=19.602，

∵19.602＜20，

∴經(jīng)過(guò)相同次數(shù)的漲停板不能回到原股價(jià)。

【小結(jié)】本題集增長(zhǎng)率、降低率于一體，綜合性強(qiáng)，能很好地考查同學(xué)們對(duì)“平均變化率問(wèn)題”的理解水平和處理能力。在解決增長(zhǎng)（降低）率的問(wèn)題時(shí)，常用的方法技巧是：利用公式建立方程。平均增長(zhǎng)率公式：a（1+x）n=b（a為起始量，b為終止量，n為增長(zhǎng)的次數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率）；平均降低率公式：a（1-x）n=b（a為起始量，b為終止量，n為降低的次數(shù)，x為平均降低率）。請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)品味公式中每個(gè)量的含義，在感悟中提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。