基于近似移動矢量的證據理論可靠性設計優化方法

于俊濤 鄧衛 王巨 張哲

摘 ? 要：針對存在認知不確定性的結構優化問題，提出了一種基于近似移動矢量的證據理論可靠性設計優化方法，可有效提升計算效率. 該方法通過等面積法將證據變量轉換成概率變量，構建等效的概率可靠性設計優化模型，并使用序列優化與可靠性分析方法求解獲得近似設計點;開展基于證據理論的可靠性分析求解約束的可信度，構建近似移動矢量和確定性優化模型，求解獲得新的設計點;重復概率可靠性設計優化與證據理論可靠性分析組成的序列迭代過程，直到收斂得到最優設計點. 本文方法能夠將嵌套的證據理論可靠性設計優化問題轉換為近似等效的概率可靠性設計優化與證據理論可靠性分析組成的序列迭代過程進行求解，能夠有效降低證據理論可靠性設計優化的計算成本. 通過算例驗證了所提方法的有效性.

關鍵詞：可靠性設計優化;認知不確定性;證據理論;近似移動矢量

中圖分類號：TB114.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

An Evidence-theory-based Reliability Design

Optimization Method Using Approximate Shifting Vector

YU Juntao1，DENG Wei2，WANG Ju3，ZHANG Zhe2

（1. Zhengzhou Branch of China Nuclear Power Engineering Co Ltd，Zhengzhou 450052，China;

2. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body，Hunan University，Changsha 410082，China;

3. Dongfeng-Nissan Co Ltd，Guangzhou 510800，China）

Abstract：To effectively deal with structural optimization problems with epistemic uncertainty，an evidence-theory-based reliability design optimization method using approximate moving vectors is proposed. It first converts the evidence variables into probability variables and constructs an equivalent probabilistic reliability-based design optimization model. Through solving this model using the sequential optimization and reliability assessment method，an approximate design point is obtained. Then，the evidence-theory-based reliability analysis is carried out for each constraint at the design point，based on which the approximate shifting vector and deterministic optimization model are established. A new design point is obtained by solving the deterministic optimization problem. Finally，the sequential iteration process composed of equivalent probabilistic reliability-based design optimization and evidence-theory-based reliability analysis is repeated until convergence，and the optimal design point is obtained. The proposed method can convert the nested evidence-theory-based design optimization problem into an iterative solution process，which can effectively reduce its computational cost. The effectiveness of the proposed method is verified by three examples.

Key words：reliability-based design optimization;epistemic uncertainty;evidence theory;approximate shifting vector

不確定性廣泛存在于工程實際問題之中，其來源通常與結構的材料參數、外部載荷、仿真模型等因素相關. 不確定性主要分為隨機不確定性與認知不確定性. 隨機不確定性源于結構或系統內在的物理性質，通常使用概率模型進行度量與分析，已經發展了一系列成熟的可靠性分析與設計方法[1-4]. 認知不確定性源于對結構或系統信息的缺乏，主要通過證據理論（或Dempster-Shafer理論）[5-9]、可能性理論[10-11]、模糊理論[12]和凸模型理論[13-15]等進行度量與分析. 不確定性的耦合與傳播容易導致結構響應發生較大波動甚至失效，因此，對不確定性的結構可靠性優化設計（Reliability-Based Design Optimization，RBDO）具有重要意義[16-18].

證據理論具有較強的認知不確定性處理能力. 近年來，研究人員提出了一系列基于證據理論的可靠性設計優化方法（Evidence-Theory-Based Design Optimization，EBDO）. Mourelatos和Zhou[19]提出了一種求解證據理論可靠性設計優化問題的方法，該方法主要包括兩部分：第一部分是構造等效的概率可靠性設計優化問題近似求解原EBDO問題;第二部分是引入DIRECT算法開展約束的證據可靠性分析. Srivastava等[20]提出了一種求解EBDO問題的雙目標遺傳算法，該算法不需要求解梯度信息，適應證據變量不連續的特征. Alyanak等[21]提出了一種針對證據變量的近似梯度計算方法，并發展了相應的EBDO算法. Agarwal等[22]采用代理模型技術構造了近似的可信度函數使其連續化，在此基礎上提出了基于序列近似優化的EBDO求解算法. Yao等[23]提出了一種同時處理隨機與認知不確定性的多學科設計優化方法. Salehghaffari等[24]將EBDO算法應用于實際加強圓管的設計優化. Huang等[25-26]提出了一種針對EBDO問題的解耦策略，并將其應用于考慮變量相關性的結構可靠性設計優化. 蘇瑜等[27]基于證據理論提出了一種考慮認知不確定性的可靠性拓撲優化設計算法. 李曉斌等[28]將EBDO算法應用于固體火箭發動機的不確定性設計中. Hu等[29]發展了基于證據理論的魯棒性優化設計算法. 唐和生等[30]結合證據理論與微分演化提出了一種高效的EBDO求解方法.

盡管EBDO研究已經取得重要進展，但依舊存在諸多挑戰. EBDO問題的求解屬于雙層嵌套優化問題，外層為確定性優化設計，內層為基于證據理論的可靠性分析，通常計算效率低，嚴重限制了其在實際工程問題中的應用. 本文提出一種基于近似移動矢量的證據可靠性優化設計方法，將傳統的雙層嵌套優化問題進行解耦，從而有效提高EBDO的求解效率.

1 ? 證據理論基本概念

證據理論由Dempster和Shafer提出和發展，也稱Dempster-Shafer理論. 基本概念包括：

1）識別框架（Frame of Discernment，FD）：FD是人們對一個認知不確定性問題已經獲知的所有可能結果的集合，由有限個兩兩互不相容的基本元素組成，類似于概率理論中的樣本空間. 例如，FD由Θ = {x1，x2}定義，其中x1和x2是兩個獨立的基本元素. 但是，證據理論中x1和x2都是集合，而非具體的樣本點.

2）基本可信度分配（Basic Probability Assignment，BPA）：BPA是對命題的信任程度的定量描述. 如果識別框架Θ的冪集2Θ與區間[0，1]的函數關系m：2Θ→[0，1]滿足以下條件：

式中：所有完全支持A的焦元可信度相加等于Bel（A）;所有不否定 的焦元可信度相加等于Pl（A）.

2 ? 算法構造

基于證據理論的可靠性設計優化模型如下：

式中：f是目標函數;gj是約束的功能函數;d是確定性設計向量;X是隨機設計向量;P是隨機參數向量;XN和PN分別是X和P的名義值向量;L和U表示下邊界和上邊界;Bel{·}代表可信度計算，Rtj是目標可靠度.

傳統的EBDO求解是雙層嵌套優化問題，內層進行證據可靠性分析，外層開展確定性優化設計，求解效率非常低;此外，由于證據理論可信度函數的離散特性，無法直接使用基于梯度的優化算法，進一步增加了EBDO問題的求解難度. 針對上述問題，本文提出了一種基于近似移動矢量的EBDO方法，以有效降低EBDO的計算成本. 首先，利用等面積法將證據變量轉換為概率變量，構建等效的RBDO問題求解近似設計點;然后，基于證據理論開展約束的可靠性分析，構建近似移動矢量與確定性優化模型，求解獲得新的設計點;最后，重復求解上述過程直到優化過程收斂.

2.1 ? 等效概率可靠性設計優化模型的構造與求解

首先引入等面積法將證據變量X轉變成隨機變量Z. 證據變量X的第i個焦元Ai = [Li，Ui]，對應的BPA為m（Ai）. 等面積法要求滿足兩個條件：1）焦元Ai的BPA m（Ai）等于隨機變量Z在區間[Li，Ui]的累計概率. 2）Z的概率密度函數在整個不確定域內連續. 如圖1所示，對于焦元[L1，U1]，左端點L1的概率密度值為：

由于L2 = U1，f（Z = L2） = f（Z = U1）. 重復上述步驟可得隨機變量Z的概率密度函數f（Z）.

to a random variable

將證據變量轉換為隨機變量后，原EBDO問題轉化為等效的RBDO問題，相應的數學模型為：

式中：Pr{·}表示計算可靠度;μX，μP是X，P的均值向量.

使用序列優化與可靠性分析方法（Sequential Optimization and Reliability Assessment，SORA）[16]求解上述RBDO問題. SORA通過構造移動矢量將RBDO的求解轉化為可靠性分析與確定性優化的序列迭代求解過程，具有較好的計算效率和收斂性. 為方便描述，令Z = [X，P]代表所有隨機設計變量和參數向量，SORA的數學模型如下：

式中：S （k+1）j為移動矢量;k為迭代次數;μZ是Z的均值向量，μZ = [ μX，μP ].

移動矢量計算公式為：

S （k+1）j = μ （k）Z - Z *，（k）j ? ? ? ? ? ?（11）

式中：Z *，（k）j ? ? ?是第k次迭代第j個約束的最大可能失效點（Most Probable Point，MPP），μ （k）Z是當前設計點向量.

MPP可采用一階可靠性方法（First order Reliability Method，FORM）計算，等概率變換將Z變換到由標準正態分布隨機變量Ui（i=1，2，…，n）構成的標準正態坐標空間，Ui組成向量U，以下將標準正態空間簡稱為U空間.

Ui = Φ-1（F Zi（Zi）），Zi = F -1 Zi（Φ（Ui）） ? ?（12）

式中：Ui是Zi變換到空間U后的標準正態隨機變量.

在以原點為圓心，半徑為β t j的圓上搜索使功能函數值最小的點，數學模型為：

2.2 ? 證據理論可靠性設計優化模型的求解

以上獲得的設計點X = [d，μZ]可能不滿足證據理論的可信度，但是該設計點已經逼近EBDO的最優設計點. 因此，以當前設計點為初始點開展EBDO的求解，能夠有效提高尋優速度. 假設第k-1步時完成RBDO求解，接著在第k步開始求解EBDO，如果此時繼續將等效確定性約束Gj（d，μZ - S （k-1）j） ≥ 0向可靠域移動：先計算增量移動矢量ΔS （k）j，然后將Gj（d，μZ - S （k-1）j） ≥ 0沿著ΔS （k）j移動，則第k步移動矢量S （k）j為：

S （k）j = S （k-1）j + ΔS （k）j ? ? ? ?（14）

在此基礎上，構建如式（10）的確定性設計優化問題. 在該模型中，當前迭代步的移動矢量是上一步移動矢量的調整，調整幅度為增量移動矢量.

首先在標準狀態空間中考慮移動矢量增量幾何關系. 如圖2所示，在標準狀態空間中，||U|| = βt是以原點為圓心，目標可靠性指標β t j為半徑的圓. 當Gj（d，U） = 0與圓相交，表示第k步的可靠性指標β k j小于β t j，不滿足可靠性要求. 在下一次迭代，如果將約束邊界Gj（d，μZ - S （k-1）j ? ? ）≥0接著移向可靠域，則可以使得約束函數的可靠度增加，最終達到目標可靠度. 為了提高效率，選擇沿著可靠度在Uk0處的梯度方向（可靠度增長最快）移動，將可靠度差值Δβ k j= β t j - β k j作為移動距離. 新的移動過程稱為增量移動矢量ΔS U（k+1）j ? ? ? ? ，可表示為：

可靠性指標β k j的計算方法將在2.3節介紹. 由于可信度函數Bel（·）并非處處可導，因此Bel k j（U0）/||Bel k j（U0）||不一定存在，需要用其他方法近似計算. 由于將證據變量轉換為概率變量，基于概率變量得到的可靠度?k j與證據變量的可信度Belj在原空間的變化趨勢基本相同，因此，擬用可靠度梯度近似可信度梯度. ΔS U（k+1）j ? ? ? ? 改寫為：

約束函數的可靠度可采用FORM計算. 求得可靠度在U空間原點處的梯度后，即可計算U空間的移動矢量增量ΔS U（k+1）j ? ? ? ? ，再逆變換到原空間，得到移動矢量增量ΔS k+1j ? ? ?，再根據式（14）計算移動矢量S k+1j ? ? ?. 獲得新的移動矢量S k+1j ? ? ?后，按2.1節所述方法重新構造近似的RBDO模型，將新的移動矢量S k+1j ? ? ?代入式（10）并求解. 得到新的設計點后，按照2.3節所述方法驗證約束的可信度，如果約束滿足可信度要求，則增量移動矢量ΔS k+1j ? ? ? = 0;否則再次更新增量移動矢量，直到滿足收斂條件.

2.3 ? 基于非概率指標的證據理論可靠性分析

本文采用基于非概率可靠性指標的焦元縮減方法[31]對每個約束開展證據理論可靠性分析. 對于n維證據變量Xi，i = 1，2，…，n的功能函數g（X），首先將證據變量Xi的FD歸一化：

Xi∈X I i = [X L i，X R i]，i = 1，2，…，n ? ? ?（17）

式中：I表示區間;L，R表示區間的下界和上界;c和w是區間的中點和半徑.

用標準化變量δi∈[-1，1]對Xi進行標準化：

Xi = X c i + X w iδi，i = 1，2，…，n ? ? ?（19）

不確定域Cδ = {δ | δi∈[-1，1]，i = 1，2，…，n}是一個標準多維正方體，標準化變量δi，i = 1，2，…，n組成向量δ，其組成的坐標空間稱為δ空間.

將式（19）代入功能函數g得到一個δ空間中的新功能函數g′：

g（X1，X2，…，Xn） = g′（δ1，δ2，…，δn） ? ? ? ? （20）

非概率可靠性指標η是在δ空間用無窮范數計算的原點與g′ = 0之間的距離，計算公式為：

其中：||·||∞為無窮范數符號.

式（21）可用序列二次規劃方法（SQP）求解，其最優點δ*稱為設計驗算點.

基于非概率可靠性指標的焦元縮減方法可以根據指標η和g（Xc） = g′（0）的值判斷不確定域和極限狀態面的位置關系，從而僅需要計算部分焦元的功能函數極值便可獲得Bel（G）和Pl（G），有效提高了證據理論可靠性分析的計算效率，具體過程參考文獻[31].

2.4 ? 計算步驟

本文方法計算流程總結如下，如圖3所示.

步驟1：根據實際工程問題，建立EBDO模型.

步驟2：用等面積法將證據變量轉換為概率變量，設置初始點[d0，μ0X]，迭代步k = 0，將移動矢量設置為零向量，即S 0j= 0，j = 1，2，…，ng.

步驟3：將EBDO問題轉化為近似RBDO模型，使用SORA求解，得到最優解[d，μZ]，作為求解EBDO問題的起點.

步驟4：驗算近似RBDO模型的最優點的可信度，若滿足目標要求，則ΔS kj = 0;否則使用式（14）～式（16）計算新的增量移動矢量ΔS kj和移動矢量S kj，直到滿足以下收斂條件，其中ε為給定誤差限.

β t j - β k j≤ 0，j = 1，2，…，ng（f k - f k-1）/f k < ε ? ? ? ? ?（22）

步驟5：結束，輸出最優解[d*，μ*X].

3 ? 算例分析

3.1 ? 算例一

考慮如下EBDO問題：

該算例僅有兩個證據設計變量X1和X2，名義值為 μ X1和μ X2，BPA結構如表1所示.

表2列出了確定性設計，RBDO和本文方法的計算結果. 可以看到，確定性設計結果的實際可信度Bel遠低于目標可信度0.998 65，可見，確定性設計結果通常難以滿足可靠度要求. RBDO模型是將證據變量轉換為隨機變量得到，其中第1個約束的實際可信度Bel為0.996 8，小于0.998 65. 可見，直接求解等效RBDO的結果依舊不能滿足目標可信度. 本文方法經過6次迭代后收斂，所有約束均達到目標可信度，最小目標函數值為6.851 8. 為了直觀理解，圖4繪制了RBDO結果和EBDO結果在同一個坐標系中的位置. 可以看到，RBDO和EBDO的最優解位置很近. 為了提高計算效率，本文方法將先求解RBDO，并將其最優解作為EBDO的初始點. 這種策略用較少的功能函數調用次數能快速搜索到距離EBDO最優解較近的位置，從而避免EBDO的中間迭代過程，提高了計算效率.

3.2 ? 算例二

某懸臂梁如圖5所示，梁的長度為L，橫截面寬度為w，高度為t，在自由端施加兩個集中剪力Px和Py. 設計目標是截面面積S最小，設計約束有兩個： 1）固定端應力小于許用應力y的可信度為0.998 65;2）自由端位移不超過許用位移D0的可信度為0.998 65. EBDO模型如下：

式中：D0 = 2.5 inch;L = 100 inch.

目標函數僅包含確定設計向量d = [w，t]，不確定性參數向量P = [Px，Py，y，E]包含4個證據變量，其中y為屈服強度，E為楊氏模量. 證據隨機參數的BPA結構如表3所示.

表4為確定性設計、RBDO方法、DIRECT方法、EA-EBDO方法和本文方法針對該問題的計算結果. 首先，確定性設計和RBDO的結果沒有達到目標可信度，本文方法、DIRECT和EA-EBDO采用證據理論的思想求解該問題，均達到目標可信度. 其次，EA-EBDO方法具有最高的精度，最小目標函數值比DIRECT和本文方法更小，特別地，本文方法僅比EA-EBDO的最小目標函數值大6.5%. 最后，對比幾種方法的優化迭代次數和約束函數計算次數，本文方法計算效率高于DIRECT算法，計算量不到它的40%. EA-EBDO算法效率最低，計算量是本文方法的20多倍. 通過比較DIRECT算法、EA-EBDO算法和本文方法，可以確定本文方法能夠兼顧精度和效率的平衡.

3.3 ? 算例三

汽車正面碰撞是交通事故中導致乘員死亡的最主要因素. 汽車發生正面碰撞時影響駕駛員及乘客安全的主要因素是防撞梁、吸能盒和前縱梁等部件的性能. 目前，汽車行業評價汽車碰撞性能的主要指標包括前圍板變形量、車門變形量、乘員加速度等. 本算例進行正面碰撞安全的輕量化設計，約束包括B柱加速度、圍板侵入量和車門變形量.

圖6所示為某型轎車的正面有限元模型. 設計向量X = [X1，X2，X3，X4，X5]代表保險杠、吸能盒內、外板和前縱梁內、外板的厚度. 設計變量在汽車結構中的位置如圖6所示.

根據汽車正面碰撞標準，取最大加速度峰值45g，最大前圍板侵入量220 mm，車門變形量20 mm. EBDO模型構造如下：

min M（μX）

s.t. ?Bel（a（X）≤45）≥Rt

Bel（I1（X）≤220）≥Rt

Bel（I2（X）≤20）≥Rt

2.0≤μ1≤3.0，1.0≤μ2，μ3≤2.5

1.5≤μ4，μ5≤3.0 ? ? ? ? ?（25）

式中：M（μX）為五個碰撞關鍵件的總質量;a（X）為B柱下端加速度;I1（X）為前圍板侵入量;I2（X）為車門變形量;Rt為目標可靠度;μX是X的名義值向量，其BPA結構如表5所示.

由于汽車正面碰撞有限元仿真十分耗時，為實現參數化和計算方便，本算例將結合拉丁超立方抽樣法，利用Kriging模型分別構建關鍵件總質量M（μX）、B柱下端加速度峰值a（X）、前圍板侵入量I1（X）和車門變形量I2（X）的代理模型. 對有限元模型進行36次采樣，其中30組樣本用于構建Kriging模型，6組樣本點用以檢驗模型精度. 代理模型的精度檢驗結果如表6所示，最大誤差分別為0.82%，7.2%，11%，8.8%，在可接受范圍.

本算例針對目標可靠度為90%和95%兩種情況，分別進行證據理論可靠性設計優化，結果如表7所示. 可見，當目標可靠度從90%變為95%時，EBDO的優化結果的設計變量和目標函數值也相應地變大，表明隨著實際可靠度的提高，各碰撞關鍵件厚度尺寸變大. 與初始設計對比，當Rt = 90%，采用本文方法使整車質量減少9.76%;當Rt ?= 95%，整車質量減少5.93%.

4 ? 結 ? 論

基于證據理論的可靠性設計優化問題的求解是雙層嵌套優化問題，通常導致其在實際工程中應用需要大規模的計算量，限制了證據理論可靠性設計方法的工程應用. 針對該問題，本文提出了一種證據理論可靠性設計優化（EBDO）方法. 該方法首先將證據變量轉換成概率變量，構建等效的概率可靠性設計優化（RBDO）模型，并使用SORA方法實現快速穩定的求解;然后，基于證據理論的可靠性分析求解約束的可信度，構建近似移動矢量和確定性優化模型，并求解新的設計點;最終，將EBDO的嵌套優化轉換成由近似RBDO求解與證據理論可靠性分析組成的序列迭代過程，從而高效地求解基于證據理論的設計優化問題. 數值算例及工程應用驗證了該方法能夠實現計算效率與計算精度的較好平衡. 后續研究中，我們將進一步改進此可靠性設計方法，并將其推廣到含高維變量、較強相關性和較強非線性等特征的復雜工程問題.

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收稿日期：2021-05-12

基金項目：國家自然科學基金資助項目（51805157），National Natural Science Foundation of China（51805157）;湖南省自然科學基金資助項目（2019JJ40015），Natural Science Foundation of Hunan Province（2019JJ40015）

作者簡介：于俊濤（1981—），男，河南新密人，中國核電工程有限公司鄭州分公司高級工程師

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