Banach空間中線性斜積三參數(shù)半流的指數(shù)漸近行為

岳 田，宋曉秋

1. 湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院，湖北 十堰 442002；2. 中國礦業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116

近年來關(guān)于微分系統(tǒng)定性理論的研究取得了突破性的進展，尤其是在指數(shù)漸近行為(指數(shù)穩(wěn)定、指數(shù)不穩(wěn)定等)方面．大量公開問題的解決，使得相關(guān)理論不斷拓展和完善[1-14]．在討論無限維空間中由自治微分方程所生成的動力系統(tǒng)的不變流形的線性化問題時，將會經(jīng)常使用斜積(半)流這個概念，如經(jīng)典的Navier-Stokes，Taylor-Couette，Bubnov-Galerkin方程都可用半流上的斜積(半)流作為漸近化模型．故作為單參數(shù)算子半群[1-2]、演化族(又稱演化過程或演化算子)[3-5]、線性斜積(雙參數(shù))半流[7-10]的推廣，由Preda等學(xué)者于2011年引入的線性斜積三參數(shù)半流[11-13]成為了刻畫微分系統(tǒng)漸近行為的一類重要工具．文獻[11]基于一致的視角，借助“輸入-輸出”方法(又稱Perron方法或測試函數(shù)方法)得到了線性斜積三參數(shù)半流一致指數(shù)穩(wěn)定的Perron型結(jié)論；文獻[12]借助Datko-Pazy方法，討論了線性斜積三參數(shù)半流一致指數(shù)穩(wěn)定的Datko型條件，所得結(jié)果將經(jīng)典的雙參數(shù)演化族一致指數(shù)穩(wěn)定的Datko型定理推廣到了線性斜積三參數(shù)半流情形，同時該文還給出了所得結(jié)論在一致指數(shù)不穩(wěn)定下的變形；文獻[13]基于Perron技術(shù)，借助離散時間方法，通過討論線性斜積三參數(shù)半流關(guān)于序列空間對(lp(X)，lq(X))的容許性，得到了連續(xù)時間斜積三參數(shù)半流一致指數(shù)穩(wěn)定的若干充要條件．

受到文獻[12]的啟發(fā)，本文將借助Datko-Pazy方法分別建立若干新的刻畫Banach空間中線性斜積三參數(shù)半流一致指數(shù)穩(wěn)定與一致指數(shù)不穩(wěn)定的Datko型定理，所得結(jié)果將一些雙參數(shù)演化族或斜積半流的指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)果推廣到了線性斜積三參數(shù)半流[5-8，10]．

1 預(yù)備知識

設(shè)(Θ，d)為一度量空間，X是一個Banach空間，將空間X上的范數(shù)及作用其上面的有界線性算子全體B(X)上的范數(shù)記作‖·‖．記Δ={(t，t0)∈R2：t≥t0≥0}，I為恒等算子．

定義3[11-13]稱線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)為一致指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)N≥1，v>0使得對?(t，t0，θ，x)∈Δ×Θ×X，有

‖φ(θ，t，t0)x‖≤Ne-v(t-t0)‖x‖

(1)

定義4[12]稱線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)為一致指數(shù)不穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)N≥1，v>0使得對?(t，t0，θ，x)∈Δ×Θ×X，有

‖φ(θ，t，t0)x‖≥Nev(t-t0)‖x‖

(2)

引理1[12]線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在c∈(0，1)和h>0，使得對每個t0≥0，θ∈Θ以及x∈X存在u∈(0，h](u依賴于t0，θ和x)，滿足

‖φ(θ，t0+u，t0)x‖≤c‖x‖

(3)

引理2[12]線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在c≥1和h>0，使得對每個t0≥0，θ∈Θ以及x∈X存在u∈(0，h](u依賴于t0，θ和x)，滿足

‖φ(θ，t0+u，t0)x‖≥c‖x‖

(4)

2 主要結(jié)論

且對所有的θ∈Θ以及x∈X，有

(5)

則線性斜積三參數(shù)半流π=(Φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的．

證采用反證法．若線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)不是一致指數(shù)穩(wěn)定的，則引理1中式(3)不成立．這意味著對任意c∈(0，1)和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X，‖x0‖=1使得對所有的u∈(0，h]有

‖φ(θ0，t0+u，t0)x0‖>c‖x0‖=c

從而結(jié)合式(5)可得，對所有的h>0有

故由洛必達法則可得

該矛盾說明式(3)成立，從而借助引理1可得π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的．

則線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在α，β>0，使得對所有θ∈Θ以及x∈X，有

(6)

證由定理1可知充分性顯然，下證必要性．由于π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，故存在常數(shù)N≥1，v>0使得

‖φ(θ，t0+u，t0)‖≤Ne-vu

對所有的t0≥0，u≥0，θ∈Θ成立．現(xiàn)任意固定α∈(0，v]及β≥N，則對所有的t>0，t0≥0，θ∈Θ以及x∈X有

推論2線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)α，β>0，使得對所有的θ∈Θ以及x∈X，有

(7)

使得對所有的θ∈Θ和x∈X，有

(8)

證必要性 顯然．令φ(t)=t即可．

充分性 若π=(φ，σ)不是一致指數(shù)穩(wěn)定的，由引理1可知對任意c∈(0，1)和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X使得對所有的u∈(0，h]有

‖φ(θ0，t0+u，t0)x0‖>c‖x0‖

(9)

結(jié)合式(8)有

定理3線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K>0以及非減函數(shù)φ(t)>0(t>0)滿足φ(ts)≤φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得對所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X，有

(10)

證必要性 令φ(t)=t即可．

這與式(10)矛盾，故π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的．

定理4線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K>0以及非減函數(shù)φ(t)>0(t>0)滿足φ(ts)≥φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得對所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X，有式(10)成立．

證必要性 令φ(t)=t即可．

這與式(10)矛盾，故π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的．

推論3線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K′>0以及非減函數(shù)φ(t)滿足定理3或4的條件，使得對所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X，有

(11)

在定理3或4中，取φ(t)=tp(p>0)，可得推論4．

推論4[12]線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K，p>0使得對所有的t0≥0，θ∈Θ以及x∈X，有

(12)

接下來按照前面關(guān)于線性斜積三參數(shù)半流一致指數(shù)穩(wěn)定性的討論方式，給出相關(guān)結(jié)論在一致指數(shù)不穩(wěn)定情形下的若干變形．

且對所有的θ∈Θ以及x∈X{0}，有

(13)

則線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的．

證反證法．若π=(φ，σ)不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，由引理2可知對任意c>1和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X，‖x0‖=1，使得對所有的u∈(0，h]，有

‖φ(θ0，t0+u，t0)x0‖

從而結(jié)合式(13)可得，對所有的h>0有

故由洛必達法則可得

從而矛盾．故π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的．

則線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在α，β>0，使得對所有θ∈Θ以及x∈X{0}，有

(14)

推論6若對任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)為一一映射．則線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)α，β>0，使得對所有的θ∈Θ以及x∈X{0}，有

(15)

使得對所有的θ∈Θ和x∈X{0}，有

(16)

證必要性 顯然，令φ(t)=t即可．

充分性 若π=(φ，σ)不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，由引理2可知對任意c>1和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X{0}，使得對所有的u∈(0，h]有

‖φ(θ0，t0+u，t0)x0‖

(17)

結(jié)合式(16)，有

這意味著φ(h)1和?h>0成立．現(xiàn)將c固定，并令h→∞，則有Kcp≥∞，從而矛盾，故π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的．

定理7若對任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)為一一映射．則線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K>0以及非減函數(shù)φ(t)>0(t>0)滿足φ(ts)≤φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得對所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X{0}，有

(18)

充分性 若π=(φ，σ)不是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，由引理2可知對任意c>1和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X{0}，使得對所有的u∈(0，h]有式(17)成立．特別地，取c=2，h=Kφ(2)，由函數(shù)φ的性質(zhì)以及式(17)可得

這與式(18)矛盾，故π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的．

定理8若對任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)為一一映射．則線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K>0以及非減函數(shù)φ(t)>0(t>0)滿足φ(ts)≥φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得對所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X{0}，有式(18)成立．

證類似定理7的證明．

推論7若對任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)為一一映射．則線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K′>0以及非減函數(shù)φ(t)滿足定理7或8的條件，使得對所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X{0}，有

(19)

在定理7或8中取φ(t)=tp(p>0)，可得推論8．

推論8[12]若對任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)為一一映射．則線性斜積三參數(shù)半流π=(φ，σ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)K，p>0，使得對所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X{0}，有

(20)