固定單站無源定位可觀測性及仿真分析

相飛華，王杰貴

(國防科技大學 電子對抗學院，安徽 合肥 230031)

0 引言

無源定位系統因具有隱蔽性強、探測距離遠、適用范圍廣等特點在電子對抗領域備受關注，其中單站無源定位更是以其獨特的優點引人注目[1-2]。對于單站無源定位的可觀測性，即考察確定性系統有無唯一解，是定位跟蹤的關鍵前置問題之一[3]。從跟蹤算法角度看，是濾波能否收斂于真值；從工程角度看，是能否利用測量到的參數信息解算出目標輻射源的真實位置[4]。

無源被動定位技術需要盡可能地減少定位的約束條件,提高定位方法的可操作性。由文獻[1,5]知，通過增加新的觀測量，如角度變化率、頻率、脈沖到達時間等，能夠實現單觀測站對輻射源快速定位，同時提高定位的精度和收斂速度。文獻[6]利用空域信息和頻域信息的定位方法，可以實現對勻速運動的輻射源的瞬時定位，定位速度快且定位精度高，其應用前景廣泛。文獻[7]給出了目標有限階運動條件下利用角度和多普勒頻率變化率測量信息的可觀測條件。文獻[8]給出了利用方位角及其變化率為觀測量，目標與觀測器不同相對運動狀態下的可觀測條件。文獻[9]對N階多項式機動的可觀測性進行了分析,得到了只測向時可觀測性的充要條件。文獻[10]指出方位角與角速度，多普勒頻率與多普勒頻率變化率所提供的可觀測性信息一致。文獻[11-13]給出了不同方法下利用TOA(time of arrival)和DOA(direction of arrival)觀測量對勻速直線運動目標的可觀測性條件。文獻[14-15]以目標方位角和多普勒頻率為觀測量，對勻加速和勻轉彎運動進行了可觀測性分析。

以往的研究多關注于運動單站對固定目標或運動目標，而對于可觀測性弱、非線性強的固定單站對運動目標研究較少。本文在固定單站二維平面條件下，為實現快速定位，增加角速度觀測量，以目標輻射源的方位角、角速度和多普勒頻率變化率為觀測量。在可觀測性分析過程中，先對比角度與角速度變化率，多普勒頻率與多普勒頻率變化率所提供的可觀測性信息；再對觀測方程偽線性化處理，應用線性系統理論，簡化分析過程，避免求解復雜的雅可比矩陣；最后對目標進行勻速直線運動、勻加速直線運動目標和勻轉彎運動3種不同狀態下的可觀測性進行了理論推導，給出可觀測性條件，并進行了仿真驗證。

1 固定單站無源定位模型

圖1 固定單站無源定位二維平面圖Fig.1 Two-dimensional plan of fixed single station passive location

Z(t)=h(X(t))+V(t),

(1)

式中：V(t)表示量測噪聲，是均值為0的高斯白噪聲，其協方差矩陣為R(t)。從固定單站的定位模型，可獲得空域和頻域信息。

1.1 空域信息

考慮圖1所示的線性離散系統，在t時刻，目標輻射源相對于觀測站O的徑向距離為r(t)，相對x軸正方向的夾角方位角為β(t)。由幾何知識可知：

(2)

(3)

1.2 頻域信息

當目標輻射源相對于觀測站徑向運動時，會產生多普勒效應，觀測站接收到的頻率包含有多普勒頻率，假設目標輻射源信號頻率在觀測時間內保持恒定，則有

f(t)=fT+fd(t)，

(4)

式中：f(t)為觀測站接收到的目標輻射源頻率；fT為目標輻射源信號頻率；fd(t)為多普勒頻率，由相對徑向運動產生。多普勒頻率fd(t)的表達式為

(5)

(6)

(7)

2 可觀測性分析

證明：

綜合(1)和(2)，可得到S2=S1。證畢。

由上述分析，對方位角和多普勒頻率信息進行分析，式(2),(5)線性化處理可得

0=xtsinβt-ytcosβt,

(8)

(9)

2.1 線性系統的可觀測原理

從本質上講，噪聲的存在并不會對定位系統的可觀測性產生影響，只會定位系統的定位精度與跟蹤算法收斂速度等產生影響。為了考察定位系統的可觀測性，假定系統為理想情況，即系統中不存在狀態噪聲和觀測噪聲。

對于理想連續線性系統，其狀態方程和觀測方程為

(10)

式中：X(t)為n×1維狀態矢量；F(t)為n×n維狀態矩陣；G(t)為n×r維控制矩陣；U(t)為r×1維狀態控制矢量；Z(t)為m×1維觀測矢量；H(t)為m×n維測量矩陣。

狀態方程及觀測方程均為線性方程，根據線性系統理論，下面給出狀態方程的通解為

(11)

上述線性系統，在[t0,t1]可觀測的充要條件為：?Y≠0∈Rn，?t∈[t0,t1]使得H(t)Φ(t,t0)Y≠0。其逆否命題又可表述為：?t∈[t0,t1]，若H(t)·Φ(t,t0)Y=0，則Y=0。該結論即為線性系統的可觀測條件，可用于對無源定位中的系統可觀測性進行分析[14-15]。

2.2 勻速直線運動的可觀測分析

(12)

X(t)=Φ(t,t0)X(t0)，

(13)

(14)

假設存在Y=(y1,y2,y3,y4)T，使得?t∈[t0,t1]，有H(t)Φ(t,t0)Y=0。計算并化簡可得：

(y1+Δty3)sinβ(t)-(y2+Δty4)cosβ(t)=0,

(15)

y2cosβ(t)+y4sinβ(t)=0.

(16)

對式(16)求導可得

(17)

y2cosβ(t)+y4sinβ(t)=0.

(18)

又知正弦函數與余弦函數之間是線性無關的，因此容易求得y3=y4=0，將解代入式(15)得到

y1sinβ(t)-y2cosβ(t)=0.

(19)

同理可知y1=y2=0，至此得出Y=0。

2.3 勻加速直線運動的可觀測分析

目標輻射源作勻加速運動時，其在理想情況下，連續時間的狀態方程為

(20)

仍然利用線性系統的可觀測原理進行分析，容易發現，當目標處于勻加速直線運動狀態時與勻速直線運動狀態時，具有相同的方程，則其推導結果必定一致。因此，2種運動狀態下的可觀測性條件是相同的，即當目標輻射源處于勻速直線或者勻加速直線運動狀態時，不可朝觀測站作徑向運動。

2.4 勻轉彎運動的可觀測分析

(21)

假設存在Y=(y1,y2,y3,y4)T，使得?t∈[t0,t1]，有H(t)Φ(t,t0)Y=0。計算并化簡可得

cos[β(t)-ωΔt]y2+sin[β(t)-ωΔt]y4=0.

(22)

繼續對兩邊求導可得

(23)

sin[β(t)-ωΔt]y2+cos[β(t)-ωΔt]y4=0.

(24)

容易得到：y2=y4=0，同理可得，y1=y3=0，至此得到Y=0。

由以上分析知，目標輻射源作勻轉彎運動時(轉彎率為ω)，可觀測性條件為：目標輻射源到觀測站的角速度不能等于轉彎率，即目標輻射源不能繞觀測站作圓周運動。

3 仿真校驗

實驗1：

(a)目標作勻速直線運動，初始位置為(120,90)km，速度為(-200,100)m/s；

(b)目標作勻速直線運動，初始位置為(120,90)km，速度為(-200,-150)m/s。

實驗2：

(a)目標作勻加速直線運動，初始位置為(120,90)km，速度為(-200,100)m/s，加速度為(-2,1)m/s2；

(b)目標作勻加速直線運動，初始位置為(120,90)km，速度為(-200,-150)m/s，加速度為(-2,1.5)m/s2。

實驗3：

(a)目標作勻轉彎運動，初始位置為(40,30)km，速度為(150,200)m/s，轉彎率為5 mrad/s；

(b)目標作勻轉彎運動，初始位置為(50,0)km，速度為(0,250)m/s，轉彎率為5 mrad/s。

定位跟蹤采用容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter,CKF)算法[18-19]，用相對距離誤差(relative range error,RRE)作為衡量指標,定義式為

(25)

仿真進行100次Monte Carlo實驗，結果如圖2～4所示。

圖2 勻速直線運動仿真結果Fig.2 Simulation of constant velocity target

圖3 勻加速直線運動仿真結果Fig.3 Simulation of constant acceleration target

圖4 勻轉彎運動仿真結果Fig.4 Simulation of constant turn rate target

圖2～4中，曲線A表示觀測集A濾波結果，曲線B表示觀測集B濾波結果。當目標輻射源運動方式滿足可觀測性條件時(3個實驗中(a)例)，利用觀測集A和觀測集B均可以實現固定單站對不同運動狀態目標的無源定位，經過一段時間跟蹤后，濾波結果逐漸收斂。同時可以看出的是，在勻速、勻加速和勻轉彎運動狀態下，相對于觀測集B，觀測集A定位收斂速度更快，濾波精度更高。因此在滿足可觀測條件下，增加觀測量以改善定位跟蹤性能具有一定的實際意義。

當可觀測性條件不被滿足(3個實驗中(b)例)，即目標勻速、勻加速朝觀測站徑向運動或目標繞觀測站圓周運動時，無論利用觀測集A或是觀測集B均無法實現對目標的定位跟蹤，濾波結果不隨時間收斂，且趨向于發散。仿真實驗的結果與上文的可觀測性分析一致，從而驗證了理論分析的正確性。

4 結束語

本文采用方位角、方位角變化率和多普勒頻率變化率為觀測量，將觀測方程偽線性化處理后，利用線性系統的可觀測理論，對目標輻射源不同運動狀態的可觀測性進行了具體分析，得出了可觀測的條件。仿真分析驗證了理論分析的正確性，目標輻射源作勻速直線或者勻加速直線運動時不能朝觀測站作徑向運動，目標輻射源作勻轉彎運動時不能繞觀測站作圓周運動。