壓痕法評價奧氏體不銹鋼拉伸性能的神經網絡分析

孫明成，李英治

(1.遼寧省電力有限公司 電力科學研究院，沈陽 110006；2.遼寧東科電力有限公司，沈陽 110179；3.挪威船級社,荷蘭阿納姆 6812)

0 引言

材料力學性能的獲取通常需要對標準試樣進行測試，并對試樣的尺寸和數量有一定的要求。然而，在對成品設備進行材料力學性能測試時，一般不能進行破壞取樣[1-2]。儀器化壓入法是在傳統的布氏硬度和維氏硬度試驗基礎上發展起來的新的材料力學性能測試技術[3-4]。該方法通過同步測試和記錄壓頭壓入試樣過程中的載荷-位移曲線，提供比傳統硬度試驗更豐富的信息，除硬度外，還可以獲得材料其他的基本力學性能，如彈性模量、屈服強度和抗拉強度等。壓入法的優點包括：設備小巧便攜，能直接在現場進行力學性能測試；不需要進行破壞取樣，能對在役設備進行測試；測試部位微小，可以用于材料局部特性的測定。目前，該方法已應用于許多工程場合中，例如對石油管道、核反應堆壓力容器、電站設備等的安全評定。

目前已經發展了幾種確定力學性能的分析方法，其中最受關注的是表征應力應變法、量綱分析法、神經網絡法和有限元法。ISO/TR 29381—2008標準總結了過去20年的成就，介紹了由球壓痕試驗確定材料力學性能的3種分析方法：表征應力應變法、有限元法和神經網絡法。神經網絡方法已被廣泛應用于模式識別、人工智能、控制工程、優化和信號處理等領域，還被用于處理壓痕蠕變問題[5-10]。該方法同樣可以適用于處理球壓痕曲線來獲得奧氏體不銹鋼的屈服強度、抗拉強度、彈性模量和布氏硬度等力學性能，以下在此方面進行有關探索。

1 奧氏體不銹鋼的特性及經驗模型

1.1 Hollomon模型

加工硬化曲線顯示出金屬材料在一定的組織和變形條件下，宏觀應力隨應變的變化規律。一般通過單軸拉伸試驗進行測量，并用數學模型來表征。當塑性變形足夠大時，采用Hollomon提出的經驗公式σ=Kεn(其中σ為真應力，K為應變硬化常數，ε為真應變，n為應變硬化指數)。

Hollomon模型能夠描述常見工程材料的加工硬化行為。在雙對數圖上繪制應力-應變數據，并在較高應變水平下，用擬合線來評估這些參數。由直線的斜率給出n值，ε=1處的截距給出K值。在理想情況下，這兩個參數應完全描述真應力-應變曲線的形狀。K值表示材料的強度水平和成形過程中所需的力大小，而n值與真應力-應變曲線的斜率相關，表征材料延緩變形局部化能力。

然而，許多材料在低應變下并不嚴格遵循Holloman模型[11]。在低碳鋼、鋯合金、銅和316不銹鋼中曾報道過雙n行為。304不銹鋼的單軸拉伸曲線如圖1所示。在低應變階段，304不銹鋼在雙對數坐標系中的加工硬化曲線具有明顯的上翹行為，如圖2所示，許多材料也表現出類似的行為。

圖1 304不銹鋼的單軸拉伸曲線Fig.1 Uniaxial tensile curve of 304 stainless steel

圖2 304不銹鋼在雙對數坐標中的應力-應變曲線Fig.2 Stress-strain curve of 304 stainless steel in the double logarithmic coordinate system

1.2 Ludwik模型

Hollomon模型未能很好地模擬奧氏體不銹鋼的特性，因此人們提出了另外幾種描述該類鋼性能的模型[12-13]。

Ludwigson提出了修正的關系式，解釋了低應變下的偏差是低層錯能材料的特征，這是由于低應變下的平面滑移和高應變下的交叉滑移不同造成的。

Ludwigson模型方程：

σ=Kεn+exp(K1+n1ε)

(1)

Ludwik則用另一種方程模型來描述應力應變數據[14]：

σ=σy+Kεn

(2)

這些經驗模型能夠描述奧氏體不銹鋼材料雙對數坐標系中的上翹行為。本文選擇Ludwik模型，該模型能模擬奧氏體不銹鋼的單軸應力-應變曲線，而且僅需3個參數；而Ludwigson模型需要4個參數，這使得神經網絡數據庫變得更為復雜。

2 神經網絡法求解球形壓痕曲線

神經網絡法基于Ludwik模型進行有限元仿真，建立數據庫。用隨機選擇的一對材料參數輸入和壓痕曲線輸出向量對神經網絡進行訓練。通過訓練過程，神經網絡能夠學習輸入和輸出數據之間的近似關系，然后通過優化程序找到材料參數，使試驗觀測值與神經網絡模擬預測值之間的誤差最小。這種方法的最大優點是不再需要有限元模擬，因為所有的知識信息都包含在神經網絡中，也包括了材料在壓入過程中的凸起/凹陷效應[15]。與有限元的逆向求解相似，神經網絡的逆向求解也不可避免地遇到了唯一性的問題。由于錐形壓頭的自相似性，應變與壓痕深度無關，所以錐形壓痕的逆向求解不存在唯一性。進一步研究表明，為了確保唯一性，需要采用不同錐角的兩次壓痕確定材料參數。采用球形壓頭避免了錐形壓頭的自相似性，壓入過程中接觸半徑非線性變化，從而改善了逆向求解的唯一性和敏感性。本文采用球形壓頭建立神經網絡；此外，在優化求解中，采用Matlab工具箱中全局最優化的算法，采用40個不同的初值點搜索全局最優解。

2.1 有限元模型

為了建立神經網絡數據庫，采用有限元軟件進行仿真計算。在本文的有限元模擬中采用了二維軸對稱8節點單元183，有中間節點。單元數量為1 540個，節點數為4 592個。球型壓頭和試驗材料之間使用剛性接觸單元。在壓頭和試驗材料接觸區域采用加密網格。最小單元尺寸為0.002 5 mm。為了檢查有限元模型的正確性，使用了4種網格進行計算并比較所得結果的誤差。這些網格的最小單元尺寸分別為0.005,0.003 3,0.002 5,0.002 mm。計算的前提條件是材料的屈服強度為300 MPa，冪硬化指數為0.5，彈性模量為1.9×105MPa,壓痕深度為150 μm。計算結果表明，相應的最大載荷分別為466.81，465.17，463.02,461.73 N。從最小單元尺寸0.002 5 mm加密到最小單元尺寸0.002 mm，最大載荷相差僅為0.28%。因此確認最小單元尺寸為0.002 5 mm的網格劃分比較合適。在確定有限元網格的正確性之后，進行神經元數據庫的建立和分析計算，并將神經網絡法測試結果與單軸拉伸試驗結果進行了對比，兩者吻合較好。

摩擦系數與壓頭材料有關。金剛石壓頭摩擦系數在0.1～0.15之間，碳化鎢壓頭的摩擦系數在0.4～0.6之間。采用了6種不同的摩擦系數計算最大的載荷值。摩擦系數為0.15～0.45，所得的最大載荷值在450.83～463.92 N之間，相差不到2.8%。在本次的模擬中，摩擦系數采用了制造商給出的碳化鎢壓頭摩擦系數的數值0.35。網格劃分如圖3所示。

圖3 有限元模擬的網格劃分Fig.3 Mesh division in the finite element simulation

2.2 數據庫結構

多循環壓痕曲線是指加載到一定深度，部分卸載，然后繼續加載到更大的深度，再部分卸載，如此不斷重復直至得到所需要的多循環壓痕曲線。在數據庫中，共有11種不同類型的多循環曲線，可以用來訓練神經網絡。這些曲線的最大深度從80～180 μm，加載過程中，深度以10 μm的間隔均勻增加，在卸載過程中，深度以5 μm的間隔減少(見圖4)。

圖4 數據庫中304不銹鋼多循環壓痕曲線Fig.4 Multi-cycle indentation curve of 304 stainless steel in the database

使用不同材料參數建立有限元分析數據庫。對于一個給定的材料參數pi，需要模擬得到載荷-位移曲線F(u,pi)和殘余壓痕直徑，此外還需要包括壓入過程中的凸起/凹陷的影響。相關的數據被儲存到數據庫中，用來訓練神經網絡。數據庫結構如表1所示。

表1 數據庫的結構Tab.1 Structure of database

注：u1,…,um為m個離散深度值，pi,…,pn為n個材料參數的集合;表中的每一行表示一個訓練模式，F(u,pi)是相應模式的載荷。

采用以下公式對壓痕深度、載荷和材料參數歸一化處理。

(3)

(4)

(5)

式中，L為下限值；U為上限值；in為輸入數據的標準化；out為輸出數據的標準化。

對于深度u,力F,輸入in和輸出out的上限和下限值見表2。

表2 深度u,力F,輸入in和輸出out的上限和下限值Tab.2 Lower bound and upper bound for u,F,in and out

2.3 創建神經網絡

在Matlab中，圖5示出一個具有S個神經元和R個輸入參數的典型神經網絡層。其中P是維數為R×1的輸入(或參數)矩陣，W是維數為S×R的權重矩陣，b是維數為S×1的偏差矩陣。偏差b與向量積W×P之和為n，傳遞給傳遞函數f得到神經元的輸出a，即維數為S×1的輸出矩陣(或目標矩陣)。

圖5 神經網絡創建Fig.5 Establishment of neural network

a=f(W×P+b)

(6)

Matlab提供了newff函數來創建反向傳播網絡。例如，用P作為參數矩陣，T作為目標矩陣，創建一個由20個神經元組成的單層網絡：

net=newff(P,T,20)

(7)

為了處理多循環壓痕曲線，需要將整個曲線分為兩部分，即加載部分和卸載部分。此外，為了確定表征應力應變和布氏硬度，還需要接觸深度和接觸半徑的信息。因此，創建了3個網絡net0,net1和net2。

net0=newff(P0,T0,20)

(8)

net1=newff(P1,T1,20)

(9)

net2=newff(P2,T2,20)

(10)

式中,參數矩陣P0,P1為輸入矩陣。在表1中，歸一化u表示加載部分的位移P0和卸載部分的位移P1；pi表示材料參數(σy,n,K)；目標矩陣T0和T1是輸出，歸一化F(u,pi)表示加載部分載荷T0和卸載部分的載荷T1。

參數矩陣P2也為輸入矩陣。由于殘余半徑僅和每次卸載相關，歸一化的u代表卸載開始點的深度。目標矩陣T2是歸一化接觸半徑a(u,pi)的輸出：

(11)

其中，aL=0,aU=R(R為壓痕半徑)。

2.4 神經網絡訓練

與生物神經網絡一樣，人工神經網絡也需要通過訓練獲得智能。實際上，人工神經網絡訓練過程的目的是調整式(4)中的權重矩陣W和偏差矩陣b[16]。在Matlab中，利用Levenberg-Marquardt算法(函數lmtrain)實現了調整權重矩陣W和偏差矩陣b的求解。具體是將訓練樣本分成3部分，60%用于確定W矩陣和b矩陣；20%用于測試其準確性;20%用于驗證有效性。用參數矩陣P和目標矩陣T訓練網絡的語法，以及訓練樣本的劃分，可以表示如下：

[neti,tr]=train(neti,Pi,Ti)

(12)

net.divideParam.trainRatio=60%

net.divideParam.testRatio=20%

net.divideParam.valRatio=20%

神經網絡的訓練相當耗時，因此編寫了Matlab函數，預先訓練網絡，并將結果存儲在Matlab.m文件中。當調用Matlab函數sim進行仿真時，讀取Matlab.m文件，提供訓練后的數據。

2.5 神經網絡模擬

神經網絡經過訓練后具有智能性，可以用于仿真模擬。Matlab仿真模擬函數為sim，公式為：

outputi=sim(neti,inputi)

(13)

2.6 材料參數識別及流程圖

材料參數的識別過程與有限元逆向方法類似。不同之處在于，輸出載荷-位移曲線和殘余接觸半徑是通過神經網絡模擬而不是通過有限元計算獲得的。材料參數識別流程如圖6所示。

圖6 神經網絡訓練方法的流程Fig.6 Flow chart for neural network training method

設p表示材料參數。需要優化的參數為σy,n,K，它們可以作為神經網絡模擬的輸入，輸出的是載荷-位移曲線和殘余接觸半徑。通過求解方程使試驗值和計算值的誤差平方和最小，從而確定材料參數。真實的材料參數將產生與試驗曲線最接近的匹配。誤差為試驗的載荷-位移曲線F(h)和計算的載荷-位移曲線F′(h,p)之間的差值。該過程通過最小化函數實現：

err=∑min[F(h)-F′(h,p)]

(14)

計算中采用了Matlab優化工具箱中的非線性最小二乘優化函數lsqnonlin。優化過程通過梯度求值逐步迭代直到收斂。

以Ludwik模型中的參數σy,n,K和彈性模量E為優化參數，建立本構方程。作者發現載荷-位移曲線收斂后，從載荷-位移曲線導出的表征應力應變(εr,σr)仍然不符合本構方程。因此提出了一種雙重判據：既考慮載荷-位移曲線擬合，又考慮應力匹配[17]。選擇表征應力應變(εr,σr)與本構方程之間的匹配作為優化準則。參數的優化準則是采用了卸載開始點處的表征應力應變與本構關系曲線的最佳匹配，并沒有將卸載段作為相應數據考慮在內。

err=∑min[σr(h)-σr(h,p)]

(15)

其中:

式中，σr(h)為壓痕深度h處的表征應力;P(h)和a(h)分別表示壓痕深度h處的載荷P和接觸半徑a;σ(h,p)和ε(h)分別表示用參數p(σy,n,K)構造的本構方程中應力和應變;P(h)和a(h)的值可以通過神經網絡模擬得到。根據標準ISO/TR 29381—2008中的參數取值，ψ=3，α=0.14。

3 測試結果

3.1 壓痕曲線測試結果

采用IIT-2000型壓痕儀得到壓入試驗的載荷-位移曲線，壓痕儀的最大載荷為2 000 N，位移精度為0.2 μm，壓頭為直徑1 mm的碳化鎢球，試驗材料為304不銹鋼和316L不銹鋼。利用試驗得到的多循環壓痕曲線，神經網絡法計算結果如圖7所示。

(a)304不銹鋼

3.2 球形壓痕表征應力應變法測試值和單軸拉伸試驗值的對比

按照GB/T 228.1—2010《金屬材料 拉伸試驗 第1部分:室溫試驗方法》，采用CMT5205型電子萬能試驗機進行單軸拉伸試驗。試驗材料為304不銹鋼和316L不銹鋼，拉伸試樣的尺寸為?10 mm×50 mm，試驗溫度為室溫，拉伸速度為1 mm/min。

由表3可看出，神經網絡法得到的σy,σu,n,E與單軸拉伸試驗值偏差較小。神經網絡法能夠用于預測奧氏體不銹鋼的力學性能且精度較高。

表3 神經網絡法測試結果與單軸拉伸試驗結果對比Tab.3 Comparison between the results of indentation test and uniaxial tensile test

4 結論

(1)Hollomon模型能夠描述常見金屬材料的加工硬化行為，但是無法描述奧氏體不銹鋼等具有明顯上翹行為的加工硬化曲線。采用Ludwik模型能夠描述奧氏體不銹鋼的應力-應變曲線。

(2)基于Ludwik模型，采用有限元軟件進行仿真建立壓痕曲線神經網絡數據庫，利用訓練好的神經網絡分析壓痕曲線，計算奧氏體不銹鋼的力學性能。

(3)神經網絡法計算得到304和316不銹鋼的屈服強度、抗拉強度、應變硬化指數和彈性模量等力學性能，與單軸拉伸試驗結果相比，偏差較小，該方法能夠用于預測奧氏體不銹鋼的力學性能。