基于一體化控制的三電機同步系統研究

尚慶華，馬保慧

（1.天水電氣傳動研究所集團有限公司，甘肅 天水 741020；2.大型電氣傳動系統與裝備技術國家重點實驗室，甘肅 天水 741020）

隨著中國的工業升級，多電機同步控制在工業控制領域的應用更加廣泛，工業控制領域中多電機同步協調控制性能的優劣直接影響工業的生產質量和生產效率，因此研究多電機同步控制成為了實現工業自動化的趨勢。

多電機系統是一個多輸入多輸出、強耦合、時變的非線性系統。多電機控制系統現有的控制方案主要以PID控制為主，同步協調控制是多電機系統的基本要求，PID控制器解耦性能較差，運行狀態的改變、負載擾動都會影響控制的精度，參數整定較為困難，參數的魯棒性差，無法達到滿意的控制效果，無法共同滿足快速性、準確性的要求。在多電機系統中張力與速度之間存在一定耦合，電機的狀態相互影響，實現同步協調控制，不僅僅是各個電機同步運行，還要保證張力的控制。實現多電機同步協調系統中張力和速度的解耦，使得張力不受速度變化的影響。針對多電機控制系統中同步協調問題，以及速度和張力的解耦問題成為研究的熱點。

在文獻［3～4］中將自抗擾引入多電機控制系統，以及在自抗擾的基礎上進行優化。文獻［5］中將智能算法引入多電機同步系統，通過各種優化智能算法，對于傳統的PID控制中的一些不足加以改進，提高了系統的抗干擾性能，但依賴于系統的精確模型。文獻［6］提出將虛擬主軸引入多電機同步控制系統，電機之間不再有主從之分，并在其基礎上進行優化，可以有效地提高系統的同步性能。文獻［7］采用了最小二乘支持向量機控制。文獻［8］提出將模糊PID引入多電機同步控制系統，并在其基礎上進行改進，有效地提高系統的同步性能。文獻［11］將滑模控制引入多電機同步控制系統，滑模算法具有很多算法無法比擬的優點，且獲得了較好的控制性能。然而，上述方法在應用于多電機同步控制系統中存在耦合問題，較難確定耦合規律，而且使用多個控制器勢必導致系統運算復雜，計算工作量較大，跟蹤性能大打折扣，無法實現張力和速度較好解耦，控制器之間存在耦合，參數較多，同步控制系統調整性能差。

為了實現多電機系統更優的速度、張力解耦，降低系統對于參數的依賴性，本文提出一種基于一體化控制的多電機同步協調控制方法，該方法通過引入反步控制，進一步提升了多電機系統的同步協調能力，并提高了控制精度。基于反步遞推控制的思想，保證系統的穩定性，有效提高了速度、張力的解耦能力。仿真結果驗證了本文提出的一體化控制方法和傳統PID在速度、張力解耦和同步協調方面具有較強的適應性。

1 多電機同步調速系統

多電機同步系統結構圖如圖1所示，圖中控制器控制三臺變頻器分別驅動三臺交流異步電機，由此構成了三電機同步協調系統，實現了張力、速度解耦控制。電機分別為1、2、3號，其中1號為主電機，2、3號為從動電機，三臺電機通過減速后，再驅動滾輪運轉，滾輪通過皮帶相連，控制相鄰電機的速度差來控制張力。根據虎克定理得到張力表達式。

圖1 三電機協調系統結構圖

主電機和#2號從動機兩個電機之間的張力F12表達式為：

兩個從動機#2、#3間的之間張力F23表達式為

式中，K1=E/V1、K2=E/V2分別為傳遞函數；T1=L1/AV1、T2=L2/AV2為張力變化常數；A是皮帶截面積，E是皮帶的彈性模量；L1、L2分別是1、2電機、2、3電機的間距；V1、V2是預期的速度；r1、r2、r3是驅動滾輪的半徑；k1、k2、k3是驅動滾輪的速度比；Wr1、Wr2、Wr3是各個電機的角速度；np1、np2、np3是各個電機的極對數；從張力表達式可以看出，電機速度Wr1和電機之間的張力F12、F23存在耦合現象，對于單一變量的控制不能很好地實現同步協調控制，因此要進行解耦。

三電機系統數學模型為：

式中，J1、J2、J3是電機各自的轉動慣量，Lr1、Lr2、Lr3是電機轉子電感，Tr1、Tr2、Tr3是轉子時間常數，TL1、TL2、TL3是三電機各自的負載轉矩，φr1、φr2、φr3是電機轉子磁通。

2 基于PID控制的多電機同步控制系統

在多電機同步協調控制系統中，PID控制應用最為廣泛，圖2是基于PID控制的三電機同步控制系統結構圖。

圖2 PID三電機協調系統結構圖

多電機同步協調系統是一個多輸入多輸出的強耦合非線性系統，三個輸入變量且變量之間存在耦合現象所以采用三個PID控制器，分別為轉速控制器、張力F12和F23控制器，轉速反饋量采用光電編碼器檢測獲取，張力反饋量則采用張力傳感器測量得到。張力和速度之間存在耦合，通過控制相鄰電機的速度差來控制張力，三個滑輪的半徑不一致還需要進行折算，給定速度經過半徑折算比例和張力F12控制器的輸出共同作用來控制2號電機的速度，同理，2號電機的速度轉換和張力F23控制器的輸出共同作用來控制三號電機的速度。但是PID控制器參數較多，參數整定困難，參數敏感，外界運行狀態的改變，都會影響系統的控制精度，參數的魯棒性差，多電機系統是一個多輸入多輸出、強耦合、時變的非線性系統，且變量之間存在耦合，任意變量的改變都會影響系統的精度，PID控制器已經無法滿足高性能同步性的要求。

3 基于一體化控制的多電機同步控制系統

針對PID控制存在的問題，本文提出基于一體化控制的多電機同步控制方法。一體化控制即將三個電機的三個控制器用反步控制器替換、整合為一。在解決變量耦合的同時，減少控制器的數量，間接提高了系統的帶寬。最后，采用李雅普諾夫穩定性理論判斷控制系統的穩定性。控制器要實現速度和張力趨向無差跟蹤，以跟蹤和鎮定為主要目標。

3.1 反步控制原理

反步控制的思想是將復雜的非線性系統分解為不超過系統階次的子系統，然后為每個子系統設計李雅普諾夫函數和中間虛擬控制量，在保證每個子系統穩定的前提下，推導出系統的最終控制律，實現整個系統的穩定控制。通過反向設計使得系統控制器的設計過程系統化、結構化，并且消除了經典無源性設計中相對階為1的限制。反步法的理念是在每個子系統中引入虛擬控制，通過虛擬反饋，使得子系統的設計趨近穩定，引入誤差變量，使得整個系統趨近穩定。圖3是基于一體化反步控制的三電機同步控制系統結構圖。

圖3 三電機一體化控制系統結構圖

3.2 基于一體化控制的多電機系統設計

根據數學模型，可將三電機系統設置為五階子系統，因為存在耦合可將轉速和張力形成遞推子系統，使得跟蹤誤差漸進趨向穩定。本文采用李雅普諾夫穩定性理論判斷反步控制系統的穩定性。

定義誤差變量z。

第一步：速度Wr1反步控制器

其中Wr1ref是速度給定值，對于誤差求導，

首先構造一個反步閉環控制系統的李雅普諾夫函數

對V1進行求導，將式（1）、（2）帶入可得

為了穩定系統的誤差，得出所設計的反步控制系統滿足李雅普諾夫意義下漸近穩定的充分條件，選取

其中c1>0，

可得

第二步：張力F12反步控制器

定義誤差：

其中F12ref是張力給定值，對于誤差求導，

構造李雅普諾夫函數：

對V2進行求導，將式（6）、（8）、（9）帶入可得，

選取虛擬控制量

其中c2>0，

可得

第三步：引入Wr2虛擬變量

定義誤差：

求導得

構造李雅普諾夫函數：

對V3進行求導，將式（12）、（14）帶入可得，

選取

其中c3>0，

整理后

第四步：張力F23反步控制器

定義誤差：

其中F23ref是張力給定值，對于誤差求導，

構造李雅普諾夫函數：

對V4進行求導，將式（17）、（19）帶入可得

選取虛擬控制量

其中c4>0，

可得

第五步：引入Wr3虛擬變量

定義誤差：

求導得

構造李雅普諾夫函數

對V5進行求導，將式（23）、（25）帶入可得，

選取

其中c5>0，

可得

3.3 穩定性分析

本文采用李雅普諾夫穩定性理論判斷反步控制系統的穩定性。首先構造一個反步閉環控制系統的李雅普諾夫函數，對其進行求導，由李雅普諾夫穩定性條件推導出變量的選取，引入了虛擬變量，經過理論分析可得出，只需要確定ci為非負數即可保證系統的穩定性，但在實際的工業控制中，其中的控制變量ci選取需要結合實際，參數對于系統的穩定性起了重要的作用，需要不斷進行嘗試。

4 仿真驗證

4.1 系統實現

為了驗證本文提出的基于一體化控制的多電機同步控制系統方法的可行性，仿真中所用電機參數如表1所示。

表1 伺服電機參數

4.2 解耦性能驗證

初始速度Wr1給定25πr/min,張力F12給定60N，張力F23給定50N，在5s時速度Wr1由給定25πr/min突變至30πr/min，仿真結果如圖4所示。

圖4 張力速度對比波形

由圖4可以得出，PID控制時候的調節時間ts為1.5s；而一體化控制方法下調節時間ts為0.18s。在速度突變的時候，PID控制對于張力影響較為明顯，張力F12、F23的恢復時間為1.55s、0.8s；但是一體化控制方法速度突變對于張力影響較小，經過0.15s后張力恢復到給定。

初始速度W r1給定25πr/min,張力F12給定50N，張力F23給定40N，在10s時張力F12由給定突變至60N，張力F23由給定突變至50N。仿真結果如圖5所示。

圖5 速度張力對比波形

由圖5可以得出，在張力突變時PID控制，張力突變時速度經過1s后恢復給定，在一體化控制下影響較小，幾乎一次性達到系統的穩定狀態。在速度突變、張力不變和速度不變、張力突變的情況下，基于一體化控制可以更好實現張力、速度解耦。

4.3 跟蹤性能驗證

在張力給定的情況下，初始速度給定為幅度為20、頻率為1rad/sec的正弦波信號，仿真結果如圖6所示。

圖6 速度正弦波對比波形

由圖6可以得出，采用PID控制時，正弦波的速度跟蹤時間滯后0.1s，響應的穩態誤差ess為3.75%，采用一體化控制方法時，幾乎可以達到無差跟蹤。

在張力給定時，初始速度給定為幅度為50到80、周期為2s的三角波信號，響應曲線如圖7所示。

圖7 速度三角波對比波形

如圖7可見，采用PID控制時，三角波的速度跟蹤時間滯后0.1s，跟蹤的穩態誤差為±2，采用一體化控制方法時，速度跟蹤性能良好，無滯后跟蹤時間，跟蹤的穩態誤差為±0.3。

在速度給定時，初始張力F23給定幅度為20、頻率為1rad/sec的正弦波信號，仿真結果如圖8所示。

圖8 張力正弦波對比波形

如圖8可見，采用PID控制時，正弦波信號的張力跟蹤響應時間為0.9s，跟蹤存在滯后，跟蹤的穩態誤差ess為3.75%，采用一體化控制方法時，速度跟蹤性能良好，張力跟蹤響應時間為0.3s，幾乎無滯后跟蹤時間。可見基于一體化控制的同步系統具有更快的響應速度，較好的跟蹤精度。

5 結論

針對多電機系統具有多輸入多輸出、強耦合、時變的非線性系統等特點，本文提出了一種基于一體化控制的多電機同步協調控制方法，該控制方法通過引入反步提高了系統的快速性和控制精度。通過解耦、跟蹤仿真驗證，結果表明，本文提出的方法有更快的響應速度，仿真結果驗證了基于一體化控制的多電機同步協調控制方法的正確性和有效性。