巧用圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)測(cè)量重力加速度*

朱俊林

(江蘇師范大學(xué)科文學(xué)院 江蘇 徐州 221000)

1 引言

自伽利略研究自由落體運(yùn)動(dòng)伊始，無(wú)數(shù)的前輩們探索測(cè)量重力加速的新方法.例如：自由落體測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)[1]，基于磁力限制擺物運(yùn)動(dòng)的單擺測(cè)量重力加速度[2].隨著科技的進(jìn)步，使得測(cè)量重力加速度的方法變得多樣.然而，當(dāng)前的許多方法均無(wú)法排除或有效減小空氣阻力對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響.在目前的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，主要采用落球法或者單擺小角度近似簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)測(cè)量重力加速度.以上方法沒(méi)有考慮到空氣阻力對(duì)測(cè)量的影響.能不能采用一種新的測(cè)量方法，或者制作一種新的測(cè)量設(shè)備.原理可行操作便捷，并且可以有效減小空氣阻力對(duì)測(cè)量的影響.

2 解決方案

2.1 裝置結(jié)構(gòu)

設(shè)計(jì)如圖1和圖2所示實(shí)驗(yàn)裝置，用圓管構(gòu)成的圓形軌道，在最高位置處留一缺口.缺口處安裝光電門計(jì)時(shí)裝置，圓弧軌道右側(cè)平滑連接一斜面軌道.

圖1 裝置簡(jiǎn)圖

圖2 實(shí)物圖

2.2 實(shí)驗(yàn)原理

雖然空氣阻力能夠影響水平切向的時(shí)間測(cè)量，進(jìn)而影響到速度大小.但由于時(shí)間間隔極短，影響有限.因小球在缺口處沒(méi)有豎直方向上的速度，空氣阻力對(duì)向心加速度沒(méi)有貢獻(xiàn)，因而能夠有效減小空氣阻力對(duì)豎直方向上重力加速度測(cè)量的影響.

3 實(shí)驗(yàn)方案

3.1 實(shí)驗(yàn)思路

為了驗(yàn)證我們的設(shè)想，即該方法能夠有效減小空氣阻力對(duì)測(cè)量的影響.特地選擇了大小幾乎相同的小鋼球和輕質(zhì)塑料小球，做了3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).并把實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行如下對(duì)比：(1)把小鋼球與輕質(zhì)塑料小球用此方法測(cè)量的結(jié)果和當(dāng)?shù)毓俜焦嫉木_重力加速度做對(duì)比；(2)把輕質(zhì)塑料小球用此方法測(cè)得結(jié)果和用落球法測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)對(duì)比總結(jié)得出結(jié)論.

3.2 實(shí)驗(yàn)步驟

把圓周軌道裝置固定好，在缺口處安裝好光電門裝置.把重錘線放下來(lái)確保最高缺口處水平.用游標(biāo)卡尺測(cè)小球直徑d，用卷尺測(cè)出軌道半徑R，多次測(cè)量求平均值.

多次實(shí)驗(yàn)在右側(cè)軌道上找到恰當(dāng)位置，在該位置處釋放小鋼球，小球恰能從管道中心處越過(guò)缺口進(jìn)入對(duì)側(cè)圓管軌道中.實(shí)驗(yàn)時(shí)用手機(jī)錄像回放確保小球在最高點(diǎn)處速度是水平的且恰好正對(duì)通過(guò).記錄每次小球通過(guò)光電門的遮光時(shí)間Δt.重復(fù)以上步驟10次，并記錄數(shù)據(jù).

換同等大小的輕質(zhì)塑料小球，再重復(fù)以上步驟10次，并記錄數(shù)據(jù).

再用落球法測(cè)定輕質(zhì)塑料小球重力加速度：調(diào)節(jié)好裝置設(shè)定下落高度h，無(wú)初速度釋放小球，記錄小球通過(guò)光電門的遮光時(shí)間Δt，重復(fù)10次.

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理

記錄實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)如表1、表2和表3所示.

表1 小鋼球做圓周運(yùn)動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)

表2 塑料小球做圓周運(yùn)動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)

表3 塑料小球做初速為零的自由下落運(yùn)動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)

軌道半徑算術(shù)平均值

A類不確定度

B類不確定度

合成不確定度

相對(duì)不確定度

用同樣的方法求出表1、表2其他測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定度并填入表格，如表4所示.

表4 圓周法直接測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定度計(jì)算

將小鋼球測(cè)量數(shù)據(jù)平均值代入公式

得

合成相對(duì)不確定度

總合成不確定度

重力加速度結(jié)果

g=(9.81±0.15) m/s2

用同樣的方式處理塑料小球，得重力加速度

g=(9.51±0.14) m/s2

合成不確定度

Δg=0.05 m/s2

g=(7.74±0.05) m/s2

5 分析與總結(jié)

查資料得知本地重力加度大小為g=9.80 m/s2.小鋼球利用圓周運(yùn)動(dòng)法測(cè)得重力加速度g=(9.81±0.15) m/s2.與本地真實(shí)重力加速度相對(duì)誤差為0.11%，誤差極小說(shuō)明本實(shí)驗(yàn)所設(shè)計(jì)方法科學(xué)可行.即便用輕質(zhì)塑料小球，采用圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)法測(cè)得重力加速度g=(9.51±0.14) m/s2，與真實(shí)值誤差僅為2.96%.

用落球法測(cè)得輕質(zhì)塑料小球重力加速度g=(7.74±0.05) m/s2，與真實(shí)值誤差達(dá)到21.0%，說(shuō)明輕質(zhì)塑料小球豎直下落時(shí)空氣阻力對(duì)測(cè)量影響很大.而相比之下，同樣的塑料小球，用圓周運(yùn)動(dòng)法得重力加速度g=(9.51±0.14) m/s2，與真實(shí)值誤差僅為2.96%.說(shuō)明此方法能夠有效減小空氣阻力的影響.

通過(guò)對(duì)比也能發(fā)現(xiàn)，同樣大小的小鋼球和輕質(zhì)塑料小球用圓周運(yùn)動(dòng)法測(cè)量，塑料小球偏差更大些，這說(shuō)明水平方向的空氣阻力對(duì)測(cè)量是有影響的.空氣阻力通過(guò)影響小球通過(guò)光電門的遮光時(shí)間，進(jìn)而影響切向速度大小的精確計(jì)算.在一定程度上影響豎直方向上的重力加速大小的測(cè)量，這也是本實(shí)驗(yàn)方法主要的誤差來(lái)源.

但在時(shí)間間隔趨向于零時(shí)能夠有效減小誤差，本實(shí)驗(yàn)中時(shí)間間隔在毫秒級(jí)別，而小球直徑也僅為十幾毫米，能使空氣阻力影響的因素得到有效控制.對(duì)比當(dāng)?shù)卣鎸?shí)的重力加速度，即使是用受空氣阻力較大的塑料小球也能得到相對(duì)精確的測(cè)量結(jié)果.說(shuō)明此方法切實(shí)有效地減少了空氣阻力對(duì)測(cè)量的影響，即驗(yàn)證了前面理論上的設(shè)想和推導(dǎo).