電流是“通量”的理解與運用

魯 斌 馮子江 向 豪

(浙江省余姚中學 浙江 寧波 315400)

在高中物理課堂中，“通量”的概念雖沒有專門提及，但時常出現相關延伸的物理量.譬如在研究電磁感應時涉及的“磁通量”，研究電磁流量計時涉及的“水流量”等.其實“電流”也是“通量”，如果能夠深刻領會電流是通量的內涵，對物理概念的理解大有裨益.

1 電流是通量

1.1 電流的定義

通常，我們把單位時間內通過導體任一橫截面的電荷量叫做電流，簡稱電流.其定義式為

從定義上來說，電流的大小等于單位時間內通過某一截面的凈電荷量.

1.2 通量的定義

在數學上[1]，我們用如下方法定義通量.如圖1所示，假設有矢量場

Α(x,y,z)=P(x,y,z)i+

Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

圖1 A通過有向曲面

其中函數P,Q,R均具有一階連續偏導數，S是場內的一片有向曲面，en是S在點(x，y，z)處的單位法向矢量，則積分

ΦA=?SA·dSen=?SA·dS

(1)

稱為矢量場A通過曲面S向著指定側的通量.將A與S在直角坐標系下表示，通量又可以表達為

ΦA=?S1Pdydz+?S2Qdzdx+?S3Rdxdy

根據此定義方法，我們定義磁通量為

ΦB=?SB·dS

表示穿過某一面積磁感線的條數.

定義電場強度通量為

ΦE=?SE·dS

表示穿過某一面積電場線的條數.

定義水流量為

Φv=?Sv·dS

表示穿過某一面積的水流線的條數.

1.3 電流是通量

我們可以用相同的方法定義電流，使其與通量的定義式(1)保持一致.將A用j替代，則電流可定義為

I=?Sj·dS

將上式取微分，有

dI=j·dS

可以看出，j在數值等于單位垂直面積上通過的電流.定義j為電流密度矢量[2]，即單位時間里通過單位垂直截面的電荷量.它的方向代表該點的電流方向.如圖2，設想在導體中某點取一個截面元dS，它法線en與電流方向成傾斜角θ，則有

dI=jdScosθ

圖2 電流密度

j與E具有相似的性質.在導體中各點的j有不同的數值和方向，這就構成一個矢量場，即電流場.電流場也可以用電流線(圖3)來描繪.所謂電流線，就是這樣一些曲線，其上每點的切線方向都和該點的電流密度矢量方向一致.電流線穿過截面的條數越多，電流就越大，反之亦然.由此可見，電流密度j和電流I的關系，就是一個矢量場和它的通量的關系.

圖3 電流線

2 關于電流是通量的理解

2.1 加速場中電流是通量的理解

如圖4所示，在豎直線①左側，假設每個小球的帶電荷量為e，相距為l0，向右運動的速度為v0.

圖4 初始狀態

假設在通過直線①后，遇到向右的電場，帶電粒子在電場中加速運動，經過t=τ0，2號粒子越過①進行加速，各粒子的狀態如圖5所示.

圖5 2號粒子開始加速

經過t=2τ0，3號粒子越過①進行加速，粒子的運動如圖6所示.

圖6 3號粒子開始加速

如圖7所示，當t=3τ0時，假設1號粒子正好通過直線②.由于1號和2號進入加速場的時間間隔為τ0.可以得到，再經過τ0，2號粒子通過直線②，再經過τ0，3號粒子也通過直線②.

圖7 4號粒子開始加速

結果與未加速前是一樣的.用電流的微觀表達式I=nqvs來解釋本場景，在加速過程中，v增大，但電荷線密度λ=nqs減小，導致最后電流值不變.

假設經過nτ0時間加速，1號粒子的速度為

v1=v0+anτ0

i號粒子的速度為

vi=v0+a(n-i+1)τ0

在i號粒子附近，還有i+1與i-1號粒子，它們之間的距離為

2[v0+a(n-i+1)τ0]τ0

則i號粒子附近的電荷線密度為

則，在i號粒子形成的電流為

雖然在加速過程中速度增大，但電荷之間距離拉大，電荷線密度減小，保證電流相等.從通量的角度來講，無論粒子的速度為多大，間隔有多大，只要保證每經過τ0，就有一個粒子通過，那么電流的大小是一樣的.

舉一個生活中的例子，有一列汽車，在城市道路上兩車間距離較近，運動速度較慢，在高速公路上兩車間的距離較遠，運動速度較快，但單位時間內通過的車輛數可能是一樣的.這也是為什么城市限速低于高速公路限速的原因之一：在汽車“通量”一定的情況下，城市道路車流密度大時，運行的速度要低，高速公路車流密度較小時，運行的速度可以提高.

2.2 恒定電流中電流通量的理解

按照電荷守恒定律，電荷的代數和保持不變.在電流場中，任取一個閉合曲面S，所圍的體積為V，則某段時間內流出曲面S的電荷量應當等于同一段時間內區域V中減少的電荷量.即有

Sj·dS=0

(2)

這叫做電流的恒定條件.它表明，通過S面一側流入的電荷量等于從另側流出的電荷量，也就是說，任何時刻進入封閉曲面的電流線條數與穿出該封閉曲面的電流線條數相同，如圖8所示.因此，恒定電流的電流線不可能在任何地方中斷，它們永遠是閉合曲線.

圖8 電流連續原理

3 關于電流是通量的運用

3.1 基爾霍夫第一方程組

基爾霍夫第一方程組又稱節點電流方程組：匯于節點的各支路電流的代數和為零，即

∑(±Ii)=0

節點電流方程是電流恒定條件的結果，也就是節點電流密度通量為零的結果.如圖9所示，作閉合曲面S包圍電路的節點，由于是恒定電流，根據公式(2)，流向節點的電流密度通量與從節點流出的電流密度通量的代數和應為零.即滿足

Sj·dS=?S1j1·dS1+?S2j2·dS2+

?S3j3·dS3=0

即有I1+I2+I3=0，即滿足

即q內為一常數.此為電荷守恒定律，否則節點有電荷積累，破壞恒定條件.

圖9 電流節點定律示意圖

3.2 光電效應的飽和電流

光電效應中，隨著正向電壓的增大，電流會趨于飽和.我們討論兩種情況.

(1)如果光電管的陰極為一小球(圖10)，陽極為同心球，此時如果外界光源恒定，保證了單位時間內出射的電子數恒定，這個陽極的形狀將光電子初速度角分布的因素排除了.

我們在光電管內取以陰極為中心的任意同心球面，通過他們的電流線的條數是一樣的，即通過的電流密度的通量是一樣的，即電流值保持不變，與加速電壓無關.所有的光電子都能到達陽極，故在未加電壓情形下，可以直接呈現飽和電流[3](圖11).

圖10 光電管

圖11 伏安特性曲線

(2)如果光電管的陽極為平面(圖12)，在單位時間內出射電子數恒定的情況下，由于光電子的角分布，則通過面①的電流通量與通過面②的電流密度通量不同，即陰極出射的光電子未能全部被陽極吸收，導致在此時未到達飽和.

圖12 光電管

隨著加速電壓的增大，電流線開始彎曲，電流場分布發生變化，直到所有光電子在電場作用下都到達陽極，此時，通過①與②的通量趨于一致(圖13).

圖13 趨于飽和

之后若繼續增大電壓，會影響電流線的分布(圖14)，但不影響流經面②的通量.其伏安特性曲線如圖15所示.

圖14 飽和

圖15 伏安特性曲線

4 結束語

電流在本質上來說是電流密度的通量.由于數學結構相同，它表現出與電通量、磁通量等相似的性質.在教學過程中，應滲透“通量”的概念，理解“通量”的內涵，掌握“通量”的應用，可以更好地理解電流這個在中學物理中極其重要的物理量.