非慣性系中大擺角單擺周期的積分形式及數值分析

趙清鋒

(武漢市卓刀泉中學建和分校 湖北 武漢 430065)

單擺問題是基礎物理中的重要模型，在物理學中有廣泛的應用，對于單擺的研究非常多，而其中的研究多限于固定懸掛點單擺做圓周運動的周期，包括大擺角周期公式、有無空氣阻尼的影響、不同擺次單擺的周期、解析解等[1～6].對于非慣性系單擺運動問題在近幾年中學生物理競賽中出現的次數較多，相關文獻也對此有研究，文獻[7]用不同方法計算了無固定懸掛點單擺周期，文獻[8，9]利用機械能守恒分析了勻加速直線運動系統和定軸轉動非慣性系統單擺周期，但都只分析了小角度振動周期，對于非慣性系中大擺角振動問題研究較少.基于此，本文從無阻尼非慣性系出發，對懸點可動單擺周期進行了計算，得出周期的積分形式，并應用數值計算與相關研究結果進行對比分析.

1 懸點可在水平方向無阻尼運動單擺周期的積分形式

考慮無阻尼情況，質量為M的小環A套在光滑的水平固定桿上，擺球B的質量為m，A和B用一長度為l的輕繩連接[模型來源2019年全國中學生物理競賽(江蘇賽區)第一輪復賽第15題，教材中也有對應模型[10]，如圖1所示].本文以擺線與豎直方向初始夾角為θ進行計算(原題中擺線從水平位置自由釋放).

圖1 懸點無阻尼單擺模型

由于桿是光滑的，小環A和擺球B在水平方向所受合外力為零，系統質心在水平方向的坐標保持不變，即質心位置到擺球B的距離應該為

(1)

考慮懸線在擺動過程中質心水平坐標不變，而豎直坐標在變化，為方便研究，取擺線水平時質心位置為坐標原點O，建立直角坐標系如圖2所示(其中擺線與豎直方向夾角為θ時，令OB與水平方向的夾角為φ，l2=l-l1，vB為擺球B的速度，φ為擺球B此時運動方向與水平方向的夾角.

圖2 懸點無阻尼單擺坐標系及相關物理量

分析可知，擺球B對應的橫縱坐標分別為

x=l1sinθy=-lcosθ

聯立兩式消去θ可得擺球運動的軌跡方程為橢圓的一部分，如下

(2)

對式(2)求導可得橢圓上此點切線斜率為

(3)

角度φ為擺球B此時速度的方向與水平方向夾角，為方便后文計算，進一步化簡可得

(4)

由于水平方向外力之和為零，所以水平方向動量守恒

MvA=mvBcosφ

(5)

將式(1)、(4)帶入式(5)可得

(6)

設擺繩初始時刻與豎直方向的夾角為θ0，由于系統機械能守恒

(7)

將式(6)帶入式(7)可得

(8)

(9)

以O為圓心，dφ角度對應的圓弧長度即為

(10)

而小球軌跡并非圓弧，而是橢圓，根據幾何關系可得dφ對應的軌跡弧長

(11)

根據式(9)和(11)即可得到擺球周期的積分形式

(12)

φ0為擺繩初始時OB與水方向的夾角.由于質心水平位置坐標不變，可將θ用φ取代

(13)

由式(3)和式(13)可將φ用φ取代

(14)

將式(13)和式(14)帶入式(12)即可進行數值積分計算[11].

對于此類模型的周期，競賽題答案多采用受力分析結合非慣性系動力學方程求解，這種方法通過數值計算也可求出模型的準確周期或頻率，相關文獻給出其他方法，當擺角θ較小時取sinθ≈θ，然后近似計算小角度非慣性系單擺周期[7，8].在教材中有定義M水平坐標x1和θ為廣義坐標，然后利用拉格朗日方程得到微分方程組[10]

(15)

2 數值計算周期與近似周期的比較分析

表1 數值計算周期與近似周期的比較

從數值計算的數據進一步可以得到，大擺角懸點可動單擺周期變化隨著N的減小而更明顯，當N值很大時，其周期與懸點固定單擺周期基本一致(本文計算均為無阻尼情況，N=107對應周期與文獻[1]周期存在微小差距，與數值計算精度有關).

l為擺線的長度，g為重力加速度，M和m分別代表懸點和擺球的質量.

圖隨θ的變化關系

3 結束語