在數列中應用函數思想解題策略探究

胡魁勇

摘要：函數思想是學生在中學階段接觸到的最重要的數學思想之一。數列作為一種特殊的函數，充分利用函數思想解決數列有關問題，可以加深學生對數列的認識，提高學生分析問題和解決問題的能力，而現行教材較少涉及函數思想在數列中的應用。基于此，本文探討了在數列中應用函數思想解題的策略。

關鍵詞：函數思想? 數列? 解題策略

近幾年，在高考試卷中，利用函數思想解決數學問題屬于高頻考點。通過建立函數關系或構造函數，可以充分運用函數的性質和圖像分析問題、轉化問題，從而解決問題。數列在初等數學和高等數學中都占有重要地位，在古代數學中更是處于中心地位。設計利用函數思想解決數列問題，有助于提高學生靈活、綜合運用數學知識的能力，加深學生對數學方法的理解。特別是部分特殊數列和較為復雜的遞推數列，如果學生用常規方法，則難以解決，而使用函數思想往往可化難為易、化繁為簡，找到解題捷徑。下面，筆者通過一些示例談談如何應用函數思想解決數列問題。

一、函數解析式的應用

數列是關于正整數n的函數，所以學生可以運用求函數解析式的方法——待定系數法、求數列通項公式和前n項和公式。

例1.（待定系數法）等差數列的前n項和為Sn，若S12=84，S20=460，求S28。

解：由題意可知，該等差數列的前n項和Sn是關于n的二次函數

∵設Sn=An2+Bn（A≠0）

∴? ? ?84=144A+12B

460=400A+20B

A=2

B=-17

∴Sn=2n2-17n

∴S28=1092

此題應用了二次函數解析式解題，二次函數是學生在初中就接觸到的函數，較為簡單。這道例題充分體現了函數思想在數列中的應用，激發了學生的學習興趣，拓展了學生思路。

二、函數單調性的應用

例2.已知數列{an}，通項公式為an=（n+1）（? ? ? ）n? （n∈N），試問該數列有沒有最大的項，若有，求出其項數;若沒有，請說明理由。

解：該數列有最大的項，理由如下：

an+1-an=（n+2）（? ? ? ）n+1-（n+1）（? ? ? ）n = （? ? ? ）n

當n<9時，an+1>an，數列{an}單調遞增

當n>9時，an+1

當n=9時，an+1=an，即a10=a9

數列{an}有最大值，其項數為9或10。

此數列既不是等差數列，又不是等比數列，用求出各項再研究其規律的方法不易完成。如果學生從函數思想出發，從研究函數單調性入手，并利用指數函數的函數值恒大于0，就簡單得多。雖然解此題時需要掌握指數函數，但這個方法能拓寬數列最值的求解思路。

三、函數對稱性的應用

例3.非零等差數列{an}中，前m項和Sm=Sn（m≠n），求Sm+Sn。

解：設Sn=An2+Bn（A≠0）

y=An2+Bn（A≠0）的圖像是一條過原點的拋物線

∵Sm=Sn（m≠n）

∴該拋物線的對稱軸為x=

拋物線與x軸的交點其一為（0，0）

∴另一交點為（m+n，0）

∴Sm+Sn=0

此題由Sn=An2+Bn（A≠0）很自然就聯想到了二次函數，從二次函數圖像對稱性入手，易于學生理解和掌握。

總而言之，在數列教學中，教師除了要注重理解和掌握學生數列基礎知識外，還要適當滲透函數思想在數列相關問題中的應用，深化學生對數學思想方法的理解，達到提高學生數學核心素養的目標。

參考文獻：

[1]劉正玉.淺談高中數學教學中函數思想的應用[J].考試周刊，2014（9）.

[2]唐劍，王振新，李群，等.高等數學理論在高中數學教學中的滲透[J].阜陽師范學院學報（自然科學版），2018（1）.

[3]張剛.數列最值問題的求解策略[J].高中生，2017（9）.

（作者單位：重慶市開州區中和中學）