一種基于蒙特卡洛模擬的航空公司機票超售數量確定方法

王航臣 曹宇露 趙 迪

(1. 中國南方航空股份有限公司北京分公司 運行指揮部, 北京 102600；2. 湖南電子科技職業學院電商教研室，長沙 410217；3. 河北省城市客運管理局，石家莊 050000)

0 引言

機票的超售是國內外航空公司普遍采用的一種收益管理的方法。這種方法對于解決乘客退票，航司短時間內無法售出被退機票這一問題較為有效，可以避免座位的虛耗，提升上座率。但在通過超售機票提升收益的同時，也可能使得乘客到達機場后無法辦理登機，航空公司由于未盡運輸合同約定的義務，構成違約，也需要承擔相應的賠償。所以，如何根據實際情況，快速、準確地給出最優超售的數額，是十分有意義的。

關于機票的超售問題，國內外的研究相對較少。2019年，高金敏等提出了一種兩階段的計算方法，分別從確定性模型和隨機模型2個角度計算了不同票價條件下的機票定價與艙位控制方法。2017年，ZHAO Xuan等研究雙頭壟斷的聯合定價和容量分配決策問題，研究了需求不確定情況下折扣商品與常規價格易腐商品的銷售，航空業艙位控制與機票銷售問題與之類似，都具有一定的不可儲存性。2016年，高金敏等從訂票和退票兩個角度進行考慮，通過離散時間的方法，界定訂票與退票的時間窗，及其在時間窗內定價與艙位控制策略。周薔等從拆分航線網絡的角度對機票超售的問題展開研究，由于以往的研究中一般通過單航段、單期航班來確定最佳的座位超售數，而這篇文章創新地將航線網絡拆分為多航段，根據網絡上的客流特點，對單航段和多航段進行組合，從而制定最優的超售策略。2014年，周薔等建立了一種動態的超售模型，通過實際數據不斷修正參數從而達到收益最大的目標。2013年，C. Cizaire等指出雖然在以往的研究中艙位控制問題與機票定價問題是分開研究的，但兩者是一個系統，相互的關聯性較強，所以本文提出了一種模擬定價和票價等級座位分配對實際旅客需求的綜合影響的方法，目的是同時求解最優票價和票價等級訂票限額。2010年，M. Bazargun等總結了座位超售的基本模型與方法，并指出機票座位超售可視為運籌學中“報童問題”的變種。2009年，CHEN Shaoxiang等首先將票價分級，然后探討了3種類型的機票預訂請求。2005年，CHEN Shaoxiang等詳細推導了動態最優預定策略，通過動態定價與飛機座艙數控制實現航空公司的收益管理。

針對上述文獻存在的不足，本文的創新點如下：

1)細化了目標函數中的成本，探討了不同賠付額度下航空公司的超售策略；

2)以往經典模型確定座位超售的數量時，有時會出現過大的情況，且沒有考慮客座率對航空公司超售的影響。本文考慮了客座率變化對機票超售策略的影響，并使用蒙特卡洛模擬仿真了這一過程。

3)不同的航線運行特點不同。本文區分了國際航線、高高原航線和普通國內航線3種，分別探討了3種航線的運行特點及其座位的超售策略。

1 機票超售模型及超售的影響因素

1.1 變量與參數的約定

在建立機票的超售模型之前，先對參數進行約定，見表1所示。

表1 機票超售模型參數表

1.2 數學模型的建立

(1)目標函數

對于航空公司來說，座位超售的成本主要由兩部分組成。第一部分是由于超售帶來的補償費用，即如果由于超售造成乘客的誤機，則會產生

C

×

P

(

n

≤

T

)的成本。另一份是由于超售座位不足，出現空座帶來的虛耗成本，用

C

×

P

(

n

>

T

)表示。航空公司的每個航班的凈利潤，主要由超售的數量

T

，機型

a

的座位數

s

，乘客預訂機票后出現在航班上的可能性

P

，每個座位獲得的收入

P

決定。所以可將目標函數設定為航空公司的收益最大，見式(1)所示。

(2)約束條件

在超售座位的數量方面，文獻[5]給出了較為詳細的過程。想要保證利潤，需要超售的座位數量達到一個最優值，此時應有：

C

P

(

n

≤

T

)=

C

P

(

n

>

T

)

(2)

式中：

P

(

n

<

T

)+

P

(

n

>

T

)=1

所以，可將式(2)變換為式(3)的形式。

C

P

(

n

≤

T

)=

C

[1-

P

(

n

≤

T

)]

(3)

經過進一步地變化，可得式(4)。這樣可以根據式(4)計算出的數值和誤機乘客服從的分布，查誤機旅客數量。

(4)

這里主要存在兩個問題，一是文獻[5]給出的這一過程只能確定出一個較為粗略的超售數，而且根據筆者的經驗，其給出的值偏大，所以本文以文獻[5]得出的值為超售數額的上限。故可得到超售數額約束，如式(5)所示。

(5)

式中：

f

(

x

)表示根據累積分布

x

求取分布函數的反函數。

二是很多概率分布求反函數是非常困難的，所以可以使用蒙特卡洛模擬法來進行計算機仿真。

此外，還需要保證超售的數額小于座艙座位數，可表達為：

T

<

s

(6)

按照航空公司的慣例，超售數額一般控制在3

%

～5

%

。所以結合式(5)，可表達為：

(7)

另外，超售的座位數量需要滿足非負與整數約束，成本需要滿足非負約束：

n

,

T

,

s

∈

Z

(8)

C

≥0

(9)

2 基于模特卡洛方法的機票超售凈收入仿真

機票超售過程中，主要包括兩個需要仿真的隨機過程，一是乘客預定機票后是否出現在航班上(

Show

-

up

)的過程，二是航班預定的隨機過程。

(10)

式中：如果0-1變量

δ

的取值為1，表明乘客預定座位后出現在了航班上；如果

δ

的取值為0，表明乘客預定座位后出現了退票、改簽等行為。其次，要模擬航班預訂的隨機過程，并返回出現的旅客數量。其基本思想是，約定一個

i

用于循環計數，共循環

s

次，每一次都根據式(10)模擬了預訂后出現在航班上的客戶的隨機過程。若變量

δ

的取值為1，則

T

=

T

+1，即購買機票并乘機的旅客人數增加一個，具體的算法流程見圖1所示。

圖1 航班預訂的隨機過程流程圖

3 結果分析

3.1 不同超售座位數下航空公司的收益

3.1.1 國際航線

以中國南方航空北京分公司為例，2020年6月18日，南航北京使用空客A380執飛新開的北京大興國際機場至倫敦希思羅機場航線。由于本節主要探討超售座位數變化對收益的影響，所以其他變量的固定取值情況如下所示：

機票擬售價

P

=4 979元，這是該航線的基本售價，假設機票的售價固定不變；A380-800的座艙數

S

個，飛機的座艙數是飛機交付時就已固定的數值，所以這是一個常量。經過市場的調研分析，乘客預訂機票后出現在航班上的可能性

P

=0.90左右，本節假設投運后航空運輸市場穩定，

P

不會出現大幅度變化。

P

出現大幅波動的分析見3.3。由于《公共航空運輸航班超售處置規范》并未對超售致使乘客不能登機的賠償做出明確規定，所以本節假設

C

=2

P

,

C

=0.5

P

。

假設誤機旅客服從正態分布，且平均值為20，標準差為10。由此可以推得：

T

≤max{13,28}=28

根據以上模型和參數取值，可以模擬不同數量的超額預訂的過程，以確定最佳的超額預訂量。由于這是一個隨機過程，因此進行了1 000次模擬，以模擬1 000次航班，因此我們可以計算出每筆超額預訂的平均凈收入，并衡量航班之間的差異。

由圖2可得，在使用大機型飛國際航線時，在不超售機票時，期望獲得的收益最小，而越接近超售數額的約束值，獲得的收益就越大，當超售的機票數在25～28張時增長趨于平緩。這是因為執飛國際航線的機型都相對較大，可用座位數較多，乘客誤機概率的細小變化就會出現較多可用座位數的變化。

圖2 國際航線機票超售仿真

3.1.2 高高原航線

正如前文中所述，高高原機場海拔超過8 000

ft

，空氣稀薄，飛機常常不能滿載運行。由于

A

319推重比大，適合高高原航線的運行，所以國內運營高高原航線的機隊，主要是

A

319。以南航執飛的重慶江北機場至拉薩貢嘎機場為例，由于本節主要探討超售座位數變化對收益的影響，所以其他變量的固定取值情況如下所示：

機票擬售價P=980元，這是這一航線的基本售價，假設機票的售價固定不會發生變動；

假設最大起飛重量允許

A

319的座艙數S319=124個。

經過市場的調研分析，乘客預訂機票后出現在航班上的可能性P=0.70左右，本節假設投運后航空運輸市場穩定，P不會出現大幅度變化。P出現大幅波動的分析見3.1.3。

由于《公共航空運輸航班超售處置規范》并未對超售致使乘客不能登機的賠償做出明確規定，所以本節假設

C

=2

P

,

C

=0.5

P

假設誤機旅客服從正態分布，且平均值為10，標準差為5。由此可以推得：

T

≤max{7,6}=7

根據以上模型和參數取值，可以模擬不同數量的超額預訂的過程，以確定最佳的超額預訂量。與上面的情況一樣，也進行了1 000次模擬，以模擬1 000次航班，因此我們可以計算出每筆超額預訂的平均凈收入，并衡量航班之間的差異。

由圖3可知，從中位線的變化來看，不超售時凈收入最低，而超售7張時期望凈收入最高，整體的收入存在波動，但整體上隨超售數額的增加而增加。從箱型圖的分布來看，當超售3張機票時，凈收入的分布較為集中。超售6張機票時，凈收入的分布較為分散。在進行超售數量的決策時，可以考慮超售5～7張機票。

圖3 高高原航線機票超售仿真

3.1.3 普通國內航線

本節界定普通國內航線為2小時航程圈能抵達的城市，以南航北京分公司執飛的北京大興國際機場至上海虹橋國際機場的CZ8887為例。該條航線使用的機型是空客A321。變量的固定取值情況如下所示：

機票擬售價

P

=350元(2020年6月19日定價)；A321的座艙數

S

=179個；經過市場的調研分析，乘客預訂機票后出現在航班上的可能性

P

=0.973左右，本節假設投運后航空運輸市場穩定，

P

不會出現大幅度變化。由于《公共航空運輸航班超售處置規范》并未對超售致使乘客不能登機的賠償做出明確規定，所以本節假設

C

=2

P

,

C

=0.5

P

。

假設誤機旅客服從正態分布，且平均值為10，標準差為5。由此可以推得：

T

≤max{7,9}=9

根據以上模型和參數取值，可以模擬不同數量的超額預訂的過程，以確定最佳的超額預訂量。與上面的情況一樣，也進行了1 000次模擬，因此我們可以計算出每筆超額預訂的平均凈收入，并衡量航班之間的差異。

由圖4可知，從箱圖的中位數來看，超售數量0張～6張，凈收入逐漸增多。在3張～6張時，凈收入逐漸放緩。超售數在7張～9張時，凈收入開始下降。從箱圖的分布來看，雖然超售數額在4張～6張時中位數相近，但是超售3、5或6張機票時，凈收入的分布較為分散，凈收入降低的期望更大，所以可以考慮超售4張機票。

圖4 普通國內航線機票超售仿真

3.2 不同賠付額度下的最優超售策略

以3.1.3中的情況為基礎，調整賠付額度，令C∈[0.5P,3P]，仿真步長取0.5P。為了方便比較，統一取T=15。計算出的對比結果如圖5所示。

圖5 不同賠付額度對機票超售的影響

由圖5可知，在超售機票的數量較小時，各種賠付方式的收益中位數差異較小，而隨著超售數額的增加，各種賠付額度產生的影響才開始逐漸顯現，3倍賠付比起原價賠付，利潤的中位數少了6 475元。從各種賠付額度的變化趨勢來看，賠付額度較小時，超售對收入的影響較小，而隨著賠付額度的增加，超售帶來的影響越來越明顯，這說明在賠付額度較高的情況下，如為乘客安排改簽、交通和住宿費用較高的情況下，更需要確定一個合適的超售數額。

3.3 客座率對航司超售的影響

接著以3.1.3為例，研究不同P對超售策略的影響。為了仿真航空業淡季和旺季對超售的影響，令P∈[0.8,1]，仿真步長取0.05。

由圖6可得，在顧客一定會出現的情況下(P=1)，超售的機票數越多，凈利潤越低；而隨著顧客出現概率的降低，凈利潤的中位數越低，此時超售的機票數越多，凈利潤越大。值得注意的是，在P=0.95時，出現了凈利潤中位數隨著超售數量先增大后減小的趨勢，所以有必要探討在P=0.95附近，超售數與利潤的變化關系，在P=0.95附近進一步細化仿真步長，以0.25為一個步長，可得結果如下圖7所示。

圖6 客座率對機票超售的影響

圖7 高客座率時機票超售仿真

由圖7可得，機票的超售中，是有一個較為敏感的區間的，在這個區間里，隨著超售票數的增多，利潤呈現先增大后減小的趨勢，且旅客出現的概率越高，凈收入曲線“拐點”出現的就越早。所以，航空公司要通過平常積累的歷史數據，對各月乘客上座率有一個統計區間，這對于確定最優的機票超售數量，是非常有利的。

4 結論

通過蒙特卡洛模擬的方法，建立了乘客預訂機票與飛機超售機票的隨機過程，分別仿真了不同超售座位數下航空公司的收益、不同賠付額度下的最優超售策略和旅客退票概率對航司超售的影響，給出了一種基于計算機仿真的最優超售數量的確定方法，并且得到的結論如下：

1)航空公司要善于利用歷史統計數據，各個航線的歷史客座率對于機票超售數量的確定有著直接關系。歷史客座率越高的航線，應盡可能地少超售機票；

2)使用重機型執飛國際航線時，如果歷史客座率低于90

%

，超售的機票數量應盡可能地向航空公司允許的最大超售數量靠近；

3)高高原航線由于常常對飛機的最大起飛重量有限制，客艙時常難以滿載，所以可以考慮超售的機票數量應盡可能地向航空公司允許的最大超售數量靠近；

4)不同賠付額度對超售策略的影響很大，航空公司應該詳細評估當地由于超售導致旅客延誤所帶來的成本，因地制宜，根據當地的實際消費水平確定賠付額度后再確定超售的機票數；

5)旅客退票概率對超售策略的影響很大，航空公司應根據歷史各月份的客座率與退票數據，確定機票的超售數量。