傳熱學一維非穩態導熱內容分解

吳春梅 李友榮

摘 要：基于傳熱學的分級教學理論，提出了分級教學中一維非穩態導熱教學內容的分解原則，即在初級層次教學中主要講授一維非穩態導熱海斯勒圖的構成及其應用，在專門層次教學中主要講授求解一維非穩態導熱的近似計算公式;同時，以典型的一維非穩態導熱過程為例對此進行了詳細的闡述。多年的教學實踐表明，這種非穩態導熱教學內容的分解方法可以滿足工科類不同專業、不同層次的教學需求。

關鍵詞：傳熱學; 分級教學; 非穩態導熱; 教學內容

中圖分類號：G64 ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ?文章編號：1006-3315（2021）11-156-002

傳熱學是研究熱量傳遞規律的科學，它幾乎涉及到所有的工程技術領域，特別是在能源、化工、冶金、建筑、航空航天、交通運輸和生物技術等領域更是有著廣泛的應用^[1-2]，因此，在高等學校的很多工科專業，都開設有傳熱學或熱工基礎課程，各高校都對傳熱學的教學內容和教學方法進行了很多有益的探索^[3-6]。但是，由于不同專業所面對的工程問題不同，對所要求的傳熱學知識也有所側重^[7-9]，因此，我們提出了傳熱學分級教學的理論^[10]。

在針對本科生的傳熱學分級教學中，將傳熱學分成了傳熱學Ⅰ和傳熱學Ⅱ兩部分，其中，傳熱學Ⅰ面向全校本科相關工科專業學生，主要目的是使學生通過學習獲得必要的熱量傳遞的基本理論、基本知識和基本技能，以及傳熱計算的基本方法，同時培養學生分析和解決實際傳熱問題的能力，為學生后續課程的學習和獨立解決本專業所遇到的熱工問題打下必要的基礎。傳熱學Ⅱ主要面向對傳熱學有更高要求的專業，目的是培養學生獨立分析和解決與專業背景相關的實際傳熱問題的能力，為學生后續課程的學習和從事相關專業技術工作打下必要的基礎。傳熱學分級教學既保證了全校性熱工基礎類課程的普遍性，又滿足了不同專業進一步深入學習傳熱學知識的特殊性，有效地利用了資源。

在傳熱學的分級教學中，教學內容的分解與取舍是至關重要的，它直接影響著分級教學的成敗。一維非穩態導熱是一種最常見的傳熱現象，求解一維非穩態導熱問題的理論方法是分離變量法，得到的溫度分布是一個無窮級數，不便于工程計算，因此，在理論分析解的基礎上，產生了各種解的簡化近似表達方式。本文基于傳熱學分級教學理論，提出了分級教學中一維非穩態導熱教學內容的分解原則。

一、一維非穩態導熱教學內容分解原則

在導熱問題中，如果溫度場不隨時間發生變化，稱之為穩態導熱，反之，如果溫度場隨時間不斷變化，則為非穩態導熱。非穩態導熱過程可以分為兩個階段，第一階段是過程開始后的一段時間，稱為非正規狀況階段，其特點是溫度變化從導熱體的表面逐漸深入到物體內部，物體內各點的溫度隨時間的變化率各不相同，溫度分布主要受初始溫度分布的影響;隨著導熱過程的不斷進行，初始溫度分布的影響逐漸消失，進入到過程的第二階段，即正規狀況階段，此時，物體內的溫度分布主要受熱邊界條件的影響。

在非穩態導熱過程中，根據溫度隨空間的變化規律不同，又可分為一維非穩態導熱、二維非穩態導熱和三維非穩態導熱，其中，二維和三維非穩態導熱統稱為多維非穩態導熱。因此，在傳統的傳熱學教學中，非穩態導熱教學內容主要包括三部分，即不考慮溫度空間變化的集總參數系統、一維非穩態導熱和多維非穩態導熱。在分級教學中，可以將集總參數系統的教學歸于傳熱學Ⅰ中，而將多維非穩態導熱問題的乘積解法歸于傳熱學Ⅱ中。然而，由于一維非穩態導熱的教學內容較多，解的表達形式也有多種，理解的難度差異也較大，因此，必須要在傳熱學Ⅰ和傳熱學Ⅱ的教學中對一維非穩態導熱的教學內容進行合理的分解。

本科學生在開始傳熱學Ⅰ的學習時，僅具備了普通物理、工程熱力學和工程流體力學等方面的基本知識，因此，傳熱學Ⅰ中關于一維非穩態導熱教學內容的選擇應遵循淺顯易懂、便于理解的原則;在學習傳熱學Ⅱ時，學生已掌握了傳熱學的基本概念及基本定律，因此，關于一維非穩態導熱教學內容的選擇應遵循精確計算、簡便實用的原則。

二、海斯勒圖的構成及應用

在傳熱學Ⅰ中，非穩態導熱的教學總是從集總參數系統開始的^[11]。假設某物體的體積為V、表面積為A，初始溫度為t₀。在初始時刻，將該物體置于溫度為t_∞的流體介質中冷卻，已知物體表面傳熱系數為h，物性為常數，且物體內部熱阻可忽略不計，則物體的溫度僅隨時間變化。在非穩態導熱集總參數系統的教學中，必須要反復向學生強調，當忽略內阻時物體的無因次溫度Θ=θ/θ₀僅與兩個無因次參數Bi數和Fo數有關。

對一維非穩態導熱問題而言，與集總參數系統最大的不同是物體內部的溫度還隨一個方向的空間位置發生變化。例如，對于一塊厚度為2δ的大平板，設其初始溫度為t₀，在初始瞬間將其置于溫度為t_∞的流體中冷卻，平板兩側表面傳熱系數都為h，因此，平板內部的溫度是關于平板中心對稱的，為此，將x軸的原點置于大平板的中心處，并定義無因次坐標η=x/δ，則大平板內的無因次溫度分布一定只與三個無因次參數相關。

上述溫度分布函數可以通過分離變量法對大平板內一維非穩態導熱理論模型求解獲得。但是，在傳熱學Ⅰ的教學中，不涉及到復雜的求解過程，只專注于解的圖示表述，即海斯勒圖的構成與應用。

由于溫度變化規律是三個無因次參數的函數，不可能在一個平面圖上表述包含三個變量的函數關系。但是，通過對用分離變量法得到的解的計算結果表明，當Fo>0.2后，非穩態導熱過程進入到正規狀況階段，此時，平板內任意點處的過余溫度與平板中心處的過余溫度θm之比與Fo數無關，因此，可以將無因次溫度分解，這樣θ/θ_m和θ_m/θ₀就都只與兩個變量有關，可以在平面圖上表示。因此，用分離變量法得到的一維非穩態導熱問題的分析解就可以用關于θ/θ_m和θ_m/θ₀的兩組線圖來表示，這些線圖就稱為海斯勒圖。

三、一維非穩態導熱的近似公式

當學生在學習了傳熱學Ⅰ、了解了海斯勒圖的構成后，自然會產生這樣的疑問：由于查海斯勒圖時誤差較大，因此，是否存在便于計算、精度較高的公式呢？回答是肯定的，這就是一維非穩態導熱的近似公式，它是傳熱學Ⅱ中非穩態導熱的主要教學內容，包括用分離變量法求解一維非穩態導熱問題的過程、解的近似方法以及擬合公式等。

為了與傳熱學Ⅰ的教學內容相銜接，仍以大平板內的一維非穩態導熱過程為例^[12]，在教學過程中，重點是分離變量法求解一維非穩態導熱問題的基本思想：即將溫度隨時間和空間的變化規律分離成兩個分別隨時間和空間變化的單元函數的乘積，然后代入導熱微分方程得到關于這兩個單元函數的常微分方程后分別進行求解。將求得的兩個單元函數按照分離變量的形式相乘、并疊加起來，最后利用初始條件就可得到溫度分布。對于大平板內的一維非穩態導熱過程而言，無因次溫度分布的解析解為一無窮級數之和，且只與三個無因次參數，即Fo數、Bi數和無因次距離η有關。

總之，在關于一維非穩態導熱問題的教學內容安排上，應該重點針對大平板內的一維非穩態導熱過程，使學生了解用分離變量法求解的過程以及近似公式獲取的方法，并要求學生針對具體的一維非穩態導熱問題計算級數解中每一項的相對大小，以便加深對近似公式的理解。另一方面，也可要求學生對同一非穩態導熱問題分別用海斯勒圖和近似公式求解，并對結果進行分析比較，促使學生更進一步的思考。

四、結束語

由于傳熱學廣闊的工程應用，本文提出的傳熱學一維非穩態導熱教學內容的分解原則是行之有效的，即在傳熱學Ⅰ中主要講授一維非穩態導熱海斯勒圖的構成及其應用，在傳熱學Ⅱ中主要講授一維非穩態導熱問題的近似計算公式。這種非穩態導熱教學內容的分解方法不僅可以加深學生對一維非穩態導熱過程的理解，激發學生的學習興趣，而且可以滿足工科類不同專業的教學需求。

參考文獻：

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作者簡介：吳春梅，1987年生，女，教授，主要從事傳熱傳質學方面的教學和研究工作。