尋根溯源抓本質，整合類教育思辨

馬群飛

摘要：思辨能力是數學學習的一種重要能力，學生思辨能力的培養，能引導數學思維的發展，有效促進其分析能力和推理能力，對學業及將來事業的發展具有極其重要的影響。小學生學習數學經常通過數形結合進行思辨，但小學生的年齡特點決定著他們缺乏豐富的空間想象能力、聯結推理能力。而幾何畫板這個軟件就能很好地化靜為動，化抽象為直觀，實現思維可視，有助于培養思辨能力。本文試圖通過幾何畫板有效解決“三角形等積變形”圖形問題，探究挖掘知識本源，運用系列習題培育學生思辨能力，從而尋找到提升小學生高階思維能力的有效途徑。

關鍵詞：尋根溯源;思辨能力;幾何畫板;路徑

“數學是一門研究數量關系和空間形式的科學”，從這一概念中就可以看出數與形對于數學學習的重要性，而數學又是一門高度抽象、邏輯嚴密的學科，自然就造成了對部分知識的學習困難，無法很好地進行數形結合、聯結知識的本質進行思辨，眾多的教學難點，導致學生學習困難，信心不足，甚至談“數”色變，害怕數學。而隨著信息技術的發展，數學教學中能夠有機地融合現代信息技術，使得數與形能恰到好處地進行結合，進而生動地呈現、質疑，激發學生的空間想象、猜測和推理，最后得到實證，降低理解難度，突破教學難點，提高學生學習數學的信心和興趣。運用這一路徑，有效地培養學生的數學思辨能力，提升高階思維能力。

一、屢做屢錯，原因何在

在平時的教學中，下面這樣的習題在反復練習中，錯誤并沒有減少，形式稍有改變，學生就照錯不誤。

求下圖中陰影部分的面積。

學生為什么會屢做屢錯？經筆者分析原因就在于以下幾個方面。

（一）課堂教學形式少

課堂教學中，很多教師往往都是憑借經驗在進行教學。沒有對學生進行精準分析，沒有合理運用現代教學手段豐富學習素材和學習方式，就會出現與學生之間的斷層。因理解不深刻，記憶不鮮明，經過一段時間的沉淀后就無法靈活調用知識進行合理的運用。

（二）習題設計缺聯系

教學新知以后的練習鞏固，往往是用教材所提供的習題進行單一練習，缺少對練習的深入分析，挖掘知識之間的前后聯系。缺少對練習題進行重整、拓展和聯系，只是單純的題教，而不是類教，因此達不到舉一反三、舉三反一、系統聯合、綜合運用的效果。

（三）知識整理少結構

教師往往忽視整理的作用，只讓學生在練習過程中以錯糾錯，忽視對知識的梳理，作結構化的系統認識，不能用整體的眼光去看知識點，學生學到的知識零碎，雜亂又無序，一到用時就無從下手。去雜亂無序的抽屜和去整潔有序的抽屜中尋找作業本一樣，結果可想而知。

二、利用幾何畫板培養思辨能力

在教學中我常常思考：如何教學才能降低孩子學習理解的難度，讓學生獲得鮮明的感知，再進行有效的聯結，有序系統的整理，從而幫助學生更深刻地理解與記憶，靈活運用所學知識解決相應的數學問題，培養學生的數學思辨能力，進而提高學生的高階思維能力。

（一）研究的源起

《課程標準（2011年版）》中指出：“數學的發展過程標明，再抽象的數學結論總能找到相對直觀的表征和解釋。運用直觀手段是數學研究的重要方式，更應成為我們處理和組織課堂內容的重要方式。數學知識的形成依賴于直觀，數學知識的確立依賴于推理。”

不“思”難以啟智，不“辨”難以明理，而幾何畫板的一些功能，能很好地幫助學生進行猜想、操作、驗證，化抽象為直觀，化想象為現實，有效地培養學生的思辨能力。

（二）概念的界定

1.“幾何畫板”

幾何畫板（The Geometers Sketchpad）軟件是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的優秀教育軟件，可以做出各種各樣的幾何圖形，是適用于數學教學的軟件平臺。

2.“思辨能力”

思考辨析能力，是一種抽象思維能力。“思”指的是分析、推理、判斷等思維活動;“辨”指的是對問題的情況、類別、原理等進行辨別分析。

幾何畫板以數學為根本，以“動態幾何”為特色來表現圖形內在規律，幫助實現思維可視，使我們在重視直觀的同時，使學生的思辨能力得到發展。

（三）實施的路徑

《課程標準（2011年版）》指出：“把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去。”“幾何畫板”軟件的合理使用使其成為現實提供有力的路徑。下面試從三角形等積變形的教學中，幾何畫板的具體運用來探尋學生思辨能力培養的實施路徑。

教學總路徑：

整個知識的架構分起始課、練習課、拓展課三課時進行。用這樣的三個課時，進行知識之間的聯結，梳理知識的脈絡，明晰知識的本質。在解決問題的過程中不斷提高學生的思辨能力，從基礎到拓展，層層深入，抽絲剝繭，抓住實質以不變應萬變，使學生的高階思維能力得到不斷地發展。

1.跟進練習課，提升“認知”

三角形等積變形的本質是底和高相等，乘積相等，其實質仍是“平行線間的距離處處相等”。與之相關的練習，學生最早接觸的是平行四邊形在平行線間的變化。以往的教學中只能運用畫一畫、或者用課件展示一下移動的過程。但幾何畫板不僅僅能體現畫的過程和移動的過程，更是把高的變化與數結合起來，實現一個推理、驗證的實驗過程，從而對這一實質有更深刻的認識。

路徑一：練習課教學思路

練習課中設計平行線間的平行四邊形、梯形、三角形中的相關練習，讓學生體會到高相等，底相等，面積也相等：圖形的變化中，底不變，高是平行線間的距離，而平行線間的距離處處相等。

平行線間的平行四邊形：

先觀察，比較下面兩個圖形面積的大小。（見圖4）

指名回答。

請同學們想辦法用事實來說話！

測量出數據，計算一下。

發現了什么？為什么呢？

對，平行線間的距離處處相等。請看：（幾何畫板進行直觀演示）

你看到了什么？

是的，像這樣在平行線間的平行四邊形，同底等高。同底等高的平行四邊形面積相等，也就是說等底等高的平行四邊形面積相等。

平行線間的梯形：

請計算下面這三個梯形的面積（方格邊長1厘米）。

你發現了什么？

三個梯形的面積相等。

為什么呢？

高相等（高的概念、平行線間的距離處處相等），底相等（上底加下底的和相等），積相等。

還可以進行拖動進行變換進行驗證，調整上下底的數據，但是保持上下底之和始終相等，加深對等積變形本質的理解。

而在學習三角形面積之后緊跟著做相似的練習，再次鞏固等積變形的“實質”。

請同學們計算下圖中三角形的面積。（見圖7）

交流反饋。

他們想得對嗎？有同學還有困難，請看：（幾何畫板動態演示）

現在，你知道了嗎？

你能比較下圖中兩個三角形的面積嗎？

等底等高三角形面積相等，兩個面積相等的三角形減去同一個三角形。

利用幾何畫板拖曳功能，用不同的顏色進行標注、對比，真正讓學生在思辨中聯系、架構，進而提升對等底等高等面積的理解——平行線間的距離處處相等。

2.補充拓展課，思辨“本質”

有了前面的起始課和練習課的認識，更進一步設計項目學習。通過項目學習把所學的知識通過思辨內化為技能，達到深度學習和理解。

路徑二：拓展課教學思路（見圖11）

拓展課中，通過嘗試、回溯與變式這三個練習環節，讓學生辨析本質，判斷、聯系溝通各練習，使學生能對復雜的練習，去偽存真，挖掘其數學實質，從而正確地解決問題。

嘗試——尋真求是

請同學們獨立練習：

交流反饋進行回顧：平行線間的距離處處相等，等底等高的三角形面積相等。用幾何畫板對學生的想法進行說明。（見圖13）

回溯——格物致知

拖動點L、M、N，使它們慢慢重合，觀察面積的變化，感受形狀在變，面積不變。并分析原因。

變式——思變思辨

再次嘗試求出同樣的兩個正方形中構成的不同三角形的面積：（見圖15）

四人小組討論交流。

學生在畫板上操作，嘗試自己的想法。

重點指導第一個圖形：

圖中為什么要畫這條虛線？

為什么兩條對角線是平行的？

請繼續研究：

你還能有其它的變化嗎？

通過這節課的變式拓展，喚起學生的知識儲備，靈活地運用“平行線之間的距離處處相等”這一知識源探索圖形的變化及特點。

在這個內容的教學中，先挖掘出“本源”，然后在各起始課中利用幾何畫板“化靜為動”，生動地進行理解與聯系，幫助學生辨析高的本質。在不斷地探究中打開學生的思路，辨析問題實質，延伸思維觸角，靈活運用圖形知識解決問題，高強度地培養空間想象能力，有效發展學生思辨能力。

三、收獲與期望

《課標》指出：“作為課程的數學內容在充分展示它獨有的抽象性的同時，還要考慮到學生學習數學的可接受性和心理適應性。因此，采用恰當的直觀性手段就顯得很有必要。”

本文試圖讓大家感受到幾何畫板的動圖功能對于數學教學的輔助作用。借助幾何畫板的“動點”幫助學生在聚焦知識“本源”、提升“認知”、思辨“本質”的過程中，在有效解決圖形問題的教學路徑中讓學生經歷解決復雜問題的全過程。問題即使再復雜，但只要能思辨問題的實質，抓住本質，就能去偽存真，靈活地運用所學的知識進行聯系與溝通，通過數形結合、化靜為動等手段，找到正確的解決方法。從而有效地培養學生的數學思辨能力，提升學生的問題解決能力，發展學生的高階思維。

當然，在實際操作過程中存在的問題肯定也很多，還需要我們更深入地思考與研究。筆者只是試圖通過本文“幾何畫板”培養學生數學思辨能力，提升小學生高階思維能力的路徑探究，拋磚引玉，讓更多的數學教師參與到幾何畫板與數學教學深度融合的研究中來，開發和完善更多的動圖功能，讓現代信息技術更好地為數學教學服務，與時俱進！

參考文獻：

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