Geogebra在高中函數教學中的應用探究

徐畢娟

函數是高中數學最基本的概念，是描述客觀世界變量關系和規律最為基本的數學語言和工具，函數的學習貫穿整個高中數學的主線。但函數內容的抽象，思想的深刻等使得學生在函數學習的過程中頗感艱難。在“互聯網+ ”時代，信息技術的廣泛應用正在對數學教育產生深刻影響。它是教師教學和學生學習的重要輔助手段。教師應重視信息技術與數學課程的深度融合，借助信息技術優化傳統教學手段。Geogebra因為內置函數豐富，繪制函數圖像非常方便、迅速，函數檢視功能很實用等優點成為函數教學和學習過程中師生的好幫手。以下介紹Geogebra不同的功能在函數教學幾個不同方面的應用。

一、神奇滑動條、變中探規律

Geogebra的優點之一便是用滑動條表達變量，控制研究對象，且滑動條設置極為簡單，滑動速度、方式、變量范圍等都可直接設置。以三角函數的學習為例，設置三個滑動條，讓它們逐一滑動，學生便可直觀地看到每一個參數對函數圖像的影響，尤其是變化先后順序調整時函數圖像左右移動的量，這是學生理解上的一個難點。反復觀看，學生可自主歸納參數的意義、函數的平移、伸縮變化規律以及各個性質等。指數函數、對數函數、冪函數等初等函數的教學都是同樣的道理。授之以魚不如授之以漁，通過教師的引導，學生完全可以掌握Geogebra滑動條的使用，課余便可自行或者小組合作探究如等其他未知函數的圖像和性質，都是簡潔、直觀而高效的。也可以培養學生自主學習的能力，提高數學研究的興趣。

利用滑動條控制變量在函數學習中除了可以探究函數圖像和性質，還有很多非常廣泛，如在學習定積分的概念時，學生初次接觸曲邊梯形，對其分割的理解是一個難點。課本提出曲邊梯形面積算法是“以曲代直”：將曲邊梯形拆分成若干個小的曲邊梯形，用矩形來近似表示這些小曲邊梯形，用多個矩形面積的總和近似代替曲邊梯形的面積。分割越細致，近似程度就越高，這便是用逼近思想求不規則圖形面積。傳統的教學中，課本講授是難以讓學生體會分割、近似代替、求和再取極限的思想，而Geogebra可以利用非常簡便的操作展示整個過程。通過滑動條的滑動，學生可以直觀看到曲邊梯形面積的過剩近似值和不足近似值趨于同一個數。Geogebra 環境下的可視化教學不僅能將概念的形成過程進行思維可視化，讓學生更易接受和吸收，還能增加課堂的活動性和趣味性，使學生積極地參與課堂，不僅僅只做一個傾聽者，還能自己思考問題，進行探究，培養學生的創新思維。

二、魅力輸入框、變中找關系

Geogebra的輸入框可以關聯到具體函數解析式，而借助該功能可以巧妙判斷兩個甚至多個函數之間的關系。比如與函數圖像之間的關系。可以設置，將輸入框關聯函數.這樣可以讓學生隨意在輸入框中輸入函數解析式，無論什么樣的解析式，都會直觀得出結論：將圖像的左側擦除，右側沿y軸翻折即可得到的函數圖像.同樣只要教師引路，學生學會該方法后就可以獨自對與的關系、互為反函數的兩個函數之間的關系等其他函數之間的關系進行探究歸納。

三、便捷表格區，函數求零點

Geogebra中的Spreadsheet，即表格區，有著跟Excle相似的功能，可以儲存數據、公式、變量、實現序列、迭代等。但與Excle不同的是它不是獨立的軟件，而是Geogebra的一個功能區，可以跟其他區域結合，使用起來更為便捷。例如求函數的零點（下圖示），通過繪圖區可以發現函數零點介于0和1之間。之后在表格區第二行前三格分別輸入左右端點和區間中點，在E2、F2、G2分別輸入“=lgA2-1+2A2”、“=lgB2-1+2B2”、“=lgC2-1+2C2”。其次，在A3、B3分別輸入“If（E2*G2<0，A2，C2）”、“If（F2*G2<0，B2，C2）”，之后下拉E2、F2、G2，得到E3、F3、G3的值，再下拉A3、B3、C3，得到A4、B4、C4的值，以此類推，最終得到函數的零點為0.61.任意方程的近似解或函數的零點都可以如此求解.除零點問題外，函數建模過程中的函數的擬合等都利用表格區很好地解決。

四、聯合多區域，函數求最值

GeoGebra 最大的特點就是在同一界面內可以運行多種數學區域，例如運算區、表格區、代數區、繪圖區、3D 繪圖區，還可以同步展示作圖過程，可以在不同區域內對數學對象進行相應的操作。例如一個邊長為L的正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個無蓋長方體容器，求截去的小正方形邊長a為多少時，容積最大？（下圖示）。學生固然可以用導數知識解決此問題，但很抽象，沒有直觀感受。如果能同時用GeoGebra演示整個過程，學生對此問題的理解會更深刻，學習數學的興趣也會大大增加。首先在繪圖1區繪制該函數圖像，邊長L是個變量用滑動條表示，再在繪圖2區繪制依題意繪制平面圖形，在3D立體區繪制立體圖形，用滑動條控制折疊的角度，演示折起的過程。容積V的最大值也會顯示出來，跟學生用導數求解的結果完全相同。但代數運算和幾何直觀相結合，學生數學運算、直觀想象等數學素養都可以得到培養。

《2017版普通高中數學課程標準》明確指出數學教師在教學實踐中要不斷探索和創新教學方式，引導學生學會學習，促使更多的學生熱愛數學。史寧中教授在課程標準的解讀方案中也指出現代數學教師要提高自身信息技術應用能力，有效發揮信息技術的教學功能，拓展數學課堂空間、構建數學學習環境，服務于發展學生數學核心素養，最終落實數學學科立德樹人根本目的。使用Geogebra 軟件進行數學可視化教學，使學生通過探索發現，合作交流等學習方式掌握數學知識，解決數學問題，并真正理解問題本質，掌握其中蘊含的思想方法，提升直觀想象、邏輯推理、數學建模等數學核心素養。Geogebra功能強大，對函數問題的研究還有很多應用，讓我們繼續研究，開發更好的課例。