回轉式振動控制裝置參數優化設計

徐 訓， 陳 浩， 朱亞杉， 田克兢， 林廷燦

(武漢理工大學 土木工程與建筑學院， 武漢 430070)

主動質量阻尼器(active mass damper, AMD)因其減振效果好、控制力實時可調以及魯棒性強等優點，在工程結構的振動控制中得到了廣泛研究與應用[1-4]。主動控制算法直接影響著AMD的控制效果，許多學者在此方面做出了貢獻。Yang[5]最先將現代控制理論引入到土木工程的振動控制中來。Chang等[6]利用LQR最優控制理論研究了ATMD的控制性能。Nishimura[7]提出了最優位移反饋的控制算法。還有一些如H∞最優控制[8]，極點控制算法[9]也被學者應用到AMD的算法實現中來。

結構AMD控制系統的控制品質取決于AMD的系統參數和控制參數。因此，參數的選取也成為了值得研究的問題。祁皚等[10]采用估計的結構參數K和M選取權矩陣Q，并分析了AMD參數對控制效果的影響。王磊等[11]采用人工魚群算法優化了AMD系統的權矩陣，驗證了該方法對權參數選取的準確性和有效性。

然而基于上述研究的AMD采用的作動器大多為液壓作動器或伺服電機作動器，前者構造復雜、占空間大、維護成本高，后者需要機械傳動部件，響應慢等。歐進萍等[12]所提出的電磁驅動AMD系統雖能解決上述問題，但存在著質量塊行程受限的問題。在大震或較大風荷載作用下，AMD行程很大，加上結構空間有限，質量塊易與主體結構發生碰撞，破壞控制系統。因此為保證直線AMD安全穩定運行，通常需要在軌道兩端增設限位裝置來約束AMD行程 ，不僅給設計來帶麻煩，還會限制AMD最優的控制效果。為此Zhang等[13]提出一種旋轉激勵的作動器，慣性質量通過輕桿連接電機做旋轉運動，解決了電磁驅動直線AMD質量塊的行程問題。

本文將“旋轉”運動的概念，引入到直線電磁驅動的AMD裝置，將直線軌道改進為旋轉軌道，提出一種電磁驅動的回轉式振動控制裝置(RVCD)。不同于文獻[13]的是，其驅動無需旋轉電機帶動，而是由電磁直接驅動。質量無需輕桿連接，這會解決輕桿的承重和所占空間的問題。軌道形式不局限于圓形，以適應不同條件下的控制。本文首先，建立了結構和RVCD耦合的數學模型，針對該系統的強耦合性和非線性，采用無量綱處理以及全局坐標變換將其簡化為級聯形式，并為其設計了滑模控制器；接著，通過仿真來驗證RVCD控制系統的減振效果和魯棒性，并對裝置物理參數進行敏感性分析；最后，針對滑模控制算法中多參數的最優取值問題，本文從AMD做負功的角度構造了目標函數，提出了一種基于粒子群算法的優化方法。

1 RVCD模型及控制器設計

1.1 系統模型

RVCD的構造如圖1所示，固定組件安裝于被控結構，軌道組件安裝在固定組件外表面，線圈繞組環繞在軌道外側的定子鐵芯上，質量塊卡接于軌道，內部貼有永磁體，并通過滾珠在軌道內滑行。其驅動方式利用了同步電機的原理：定子線圈繞組通入三相正弦交流電后會產生旋轉磁場，質量塊內的永磁體會產生恒定磁場，由于磁極間的相互作用，定子的旋轉磁場與永磁體的恒定磁場之間產生的磁拉力會拉動質量塊旋轉，并最終使質量塊跟隨旋轉磁場同步旋轉。質量塊在旋轉時會受到切向的慣性力和法向的向心力作用。這兩個力的反作用力充當結構的控制力，從而控制結構的振動。

1. 固定組件; 2. 質量塊; 3. 限位彈簧; 4. 擋板; 5. 線圈繞組; 6. 永磁體; 7. 定子鐵芯; 8. 軌道組件; 9. 滾珠; 10. 連接螺栓圖1 回轉式振動控制裝置構造圖Fig.1 Construction of rotary vibration control device

由拉格朗日方程可以得到其動力學模型

圖2 回轉式振動控制裝置/結構耦合系統俯視圖Fig.2 Top view of rotary vibration control device/structure coupled system

(1)

(2)

為便于控制器的設計，引入下列無量綱量[14]

(3)

(4)

(5)

(6)

式中:xd,fd,u,Cd表示無量綱化的結構位移，外界干擾，控制力矩和阻尼；τ表示無量綱化時間；ε是一個輔助參數，表示水平運動與旋轉運動的耦合關系。

結構與RVCD耦合的數學模型(1)和(2)可寫為

(7)

(8)

可以看出，系統(7)和(8)具有強耦合性，引入下列坐標變換[15]

(9)

系統(7)和(8)轉化為下列級聯規范形式

(10)

式中：

(11)

1.2 控制器設計

對于具有非線性項的系統(10)而言，其控制變量(η和ξ)數目大于輸入數目(ν)，是一個典型的欠驅動系統，本文采用滑模控制算法設計其控制器。

系統的控制目標是使狀態變量達到平衡點，即

(12)

由式(9)可知，式(12)等價于

[η1η2ξ1ξ2]T=[0 0 0 0]T

(13)

取滑模函數為

s=c1η1+c2η2+c3ξ1+ξ2

(14)

其中，c1,c2,c3均大于0

(15)

采用指數趨近律，有

(16)

其中，h=h0+c2D,|fd|≤D,h0>0,κ>0

結合式(15)和式(16),可以求解出

ν=-c1η2-c2(-η1-Cdη2+εsinξ1+εCdξ2cosξ1)-c3ξ2-hsgn (s)-κs

(17)

定義Lyapunov函數為

(18)

則

κs2≤0

(19)

故系統的狀態變量會漸進穩定到平衡點。

(20)

式中，φ>0，其大小決定了函數的拐點位置，雙曲正切函數的穩定性可由同樣方法證明。

2 PSO優化滑模控制參數

粒子群算法(particle swarm opimization，PSO)是一種常用的進化優化算法，其原理是：在解空間內隨機生成一群粒子，計算每個粒子對應的初始適應度值(目標函數值)，通過每一次迭代過程，粒子會更新自己的位置，從而獲得新的適應度值，與初始的最優適應度值進行比較，直到找到全局的最優解。粒子的更新公式為

(21)

式中:k表示迭代次數;h1,h2表示學習因子；r1,r2是[0,1]內的隨機數；V為粒子速度,P為個體極值；G為群體極值；X表示粒子當前位置。

AMD對結構的控制效果從本質上來講，是通過主動控制力對結構做負功來抵消外界干擾輸入到結構的能量實現的[17]，故可從能量角度設定優化的目標函數。對式(1)各項同乘位移微分,在外界激勵持時t內積分，可以得到RVCD-結構能量平衡方程

Ek+Es+Ed+Eu=Ei

(22)

其中：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

對于彈性結構，無塑性變形，其應變能等于彈性勢能。在振動結束時系統的動能和彈性勢能變為零，輸入到結構的能量最終由自身阻尼耗能和RVCD所作功來承擔，RVCD通過摩擦將負功轉化為熱能耗散掉。因此RVCD所做的負功越大，結構承擔和消耗的能量就越小。

文獻[18]指出，AMD控制力過大不僅無法取得更好的控制效果，還可能超出作動器的額定驅動力。本文的控制目標應為在保證結構控制效果的前提下適當降低作動器的出力，因此本文定義目標函數為

(28)

式中:Eie和Eue表示結構停止振動時外界干擾輸入到結構的能量和RVCD所做的總功；Nmax和Ns表示RVCD的最大驅動力和額定驅動力；λ1和λ2是權系數，二者之和取為1。

在優化過程中，必須始終滿足實際結構中AMD的約束條件，即

Nmax

(29)

控制算法的性能由Q=[c1,c2,c3,h,φ,κ]這些控制參數所決定，為便于搜尋，Q應該滿足一定取值范圍：

Q∈W

(30)

式中，W為Q中各參數的取值范圍。

所以本文將基于PSO算法優化RVCD，在滿足控制轉矩的約束條件下找到最優目標函數值對應的控制參數。

其具體優化流程如圖3所示。

圖3 粒子群算法優化流程圖Fig.3 Flow chart of weighting matrices using PSO

3 仿真分析

3.1 RVCD控制系統的仿真模型

為探究采用RVCD控制的減振效果與魯棒性，本文選用一個單層框架結構進行仿真，被控結構質量為983 kg，剛度為2×105N/m，阻尼為390 N·m/s。為減輕結構自重，實際工程中AMD與結構質量比一般不超過5%，本文RVCD系統與結構質量比取為2%，旋轉半徑取為0.15 m，則轉動慣量為0.44 kg·m2。可計算出方程(10)參數：ε=0.099 2,Cd=0.027 5。

S函數是系統函數(system function, SF)的簡稱，在 MATLAB中具有特定的語法格式，能夠以代碼的形式實現Simulink中的模塊功能，適合于復雜動態系統的數學描述。本文分別編寫了被控結構響應求解以及滑模控制算法模塊的S函數，并在Simulink環境下進行了仿真，其仿真模型如圖4所示。

圖4 RVCD控制系統仿真模型Fig.4 Simulation model of RVCD control system

3.2 控制系統的有效性及魯棒性分析

施加0.05 m的初始位移激勵，并與無控結構、TMD控制結構進行比較，其結果如圖5所示。

取系統穩態誤差為±5%[19]。假設為結構位移降低到初始位移5%所用的時間。由圖5可知，不施加控制時，ts大于10 s；采用TMD控制時，系統在4.66 s到達穩定；采用RVCD控制時，系統在2.40 s時到達穩定。

圖5 初始位移激勵下結構位移響應Fig.5 Structural displacement response under initial displacement excitation

實際工程中，結構的模型參數會存在不確定性，這需要控制器具有良好的魯棒性。考慮惡劣情況，分別將結構的質量增加15%，剛度減少15%，采用RVCD進行仿真，結果如圖6和圖7所示。

圖6 質量增加15%結構位移響應Fig.6 Structural displacement response with 15% mass increase

圖7 剛度減少15%結構位移響應Fig.7 Structural displacement response with 15% stiffness decrease

由圖6和圖7可以發現，當結構質量增加15%，TMD控制時，系統穩定時間由4.66 s增加7.40 s，增加58.8%;RVCD進行控制時，系統到達穩定的時間并無明顯變化，僅由2.40 s增加到2.85 s，增加到18.7%。當剛度減少15%時，結論類似。這說明當結構模型存在不確定性時，RVCD具有良好的魯棒性。

為進一步研究RVCD抵抗外界干擾的能力，考慮了地震輸入，選用El Centro波(1940,NS)進行仿真，地震波幅值為2 m/s2,其仿真結果如圖8～圖10所示。

圖8 地震激勵下結構位移響應Fig.8 Structural displacement response under earthquake wave

圖9 RVCD轉角位移Fig.9 Angle of rotary vibration control device

圖10 RVCD輸出轉矩Fig.10 Output torque of rotary vibration control device

由仿真結果可知，在地震激勵作用下，采用RVCD進行控制時，結構峰值位移與無控結構相比，下降了42%，這說明RVCD具有很好的減振效果。

3.3 RVCD系統參數分析

實際AMD設計中，由于考慮到AMD控制系統安全性、安裝空間、成本或減輕結構自重等因素，AMD參數的設計往往會受到限制，如AMD的質量，最大行程等。這就需要AMD在這些參數受限的情況下仍具有良好的控制效果，故在此對RVCD在地震作用下系統參數偏離時對結構振動控制的有效性進行分析，并與傳統的直線AMD和TMD進行對比。其中，AMD采用LQR算法進行設計，權矩陣Q和R的待定系數取為：α=104，β=1。TMD的最優參數按Tsai等[20]提出的優化方法取值。定義峰值位移的減振效果為

(31)

式中，xu max和xc max分別為無控和施加控制后結構的最大位移。

由圖11可看出，隨著質量比的增加，TMD、直線AMD、RVCD的減振效果均逐漸增加，直線AMD效果略好于RVCD。TMD控制效果明顯差于上述兩種控制裝置，無論質量比取何值，其最大的峰值位移減振效果小于另外兩種控制裝置最小的峰值位移減振效果。當質量比由0.05下降到0.01時，RVCD的減振效果仍有34.16%，說明其在質量受限的情況下仍具有良好的魯棒性。

圖11 結構峰值位移減振效果與質量比的關系Fig.11 Relationship between vibration reduction effect of peak displacement and mass ratio

調整LQR算法中的參數Q和R,可以得到直線AMD減振效果與質量塊行程的關系，從圖12的結果可以看出，當質量塊的最大行程由0.202 m減少到0.1 m時，結構的減振效果由50.17%下降到25.15%。這說明在建筑空間受限的情況下，AMD無法按理想的最大行程設計，結構的減振效果下降顯著。而RVCD控制時，質量塊作旋轉運動，無行程限制。安裝空間主要會限制裝置的旋轉半徑，圖13給出旋轉半徑對控制效果的影響。當半徑r由0.2 m減小到0.1 m時，結構的峰值位移減振效果略有下降，僅由45.38%下降到40.14%，說明在安裝空間受限的情況下，RVCD比直線AMD具有更好的控制效果。

圖12 直線AMD控制時結構峰值位移減振效果與質量塊行程的關系

Fig.12 Relationship between vibration reduction effect of structural peak displacement and mass stroke under linear AMD control

圖13 RVCD控制時結構峰值位移減振效果與旋轉半徑的關系Fig.13 Relationship between vibration reduction effect of structural peak displacement and rotation radius under control of RVCD

結合之前分析結果，結構RVCD控制系統具有很強的魯棒性，在結構模型參數變化和自身物理參數受限的情況下仍具有很好的控制效果。

3.4 粒子群算法優化滑模控制參數結果

為進一步提升滑模控制器的控制效果，現用粒子群算法結合上述構造的目標函數(J)對滑模控制算法中的參數進行優化，仍采用上述結構在地震激勵下進行仿真優化。經試算，Q取值范圍{c1,c2,c3∈[0.5,50],h∈[1,10],κ∈(0,10],φ∈(0,1)}。權系數λ1和λ2分別取0.8和0.2。最終的優化結果如圖14～圖19所示。最優參數取為：[c1,c2,c3,h,κ,φ]=[6.32,10.26,5.54,5.71,4.39,0.39]。

圖14 粒子群算法迭代結果Fig.14 Iterative results of PSO

圖15 無控結構能量時程Fig.15 Energy time history of uncontrolled structures

圖16 RVCD控制時結構能量時程Fig.16 Energy time history of structures under control of rotary vibration control device

圖17 地震輸入能對比Fig.17 Comparison of seismic input energy

圖18 結構自身耗能對比Fig.18 Comparison of energy dissipation of structures

圖19 結構動能和彈性勢能之和對比Fig.19 Comparison of the sum of structural kinetic energy and elastic potential energy

從圖15可以看出，整個地震響應過程中系統的能量是守恒的。地震前期較為劇烈，因此輸入能和結構的阻尼耗能增加很快，結構的動能和彈性勢能也較大。隨著地震的強度下降，輸入能和結構的阻尼耗能漸漸穩定，而動能和彈性勢能慢慢慢減小到0，能量最終幾乎全部由結構自身阻尼消耗掉。

從圖16～圖19可以看出，采用RVCD進行控制后，由于主動控制力做負功而承擔了大部分的能量，結構最終自身阻尼耗能下降了81.6%，前期的動能和彈性勢能峰值減小了62.8%。這說明采用RVCD進行控制時，能量大部分由主動控制裝置承擔，結構的自身承擔的能量很少，RVCD起到了保護結構的作用。

為驗證所優化參數結果，選取通過試算得到的一般解進行對比。從表1可以看出，在最優參數控制下，其控制效果要明顯優于未優化參數的控制效果。

表1 優化前后減振效果對比Tab.1 Comparison before and after optimization

4 結 論

對于所提出的回轉式振動控制裝置(RVCD)，通過理論分析和數值仿真，得到了以下主要結論：

(1) 本文所提出的RVCD以及所設計的控制方法能有效控制結構振動，并且對模型參數的不確定性和外界干擾具有很強魯棒性。在初始位移激勵下，當結構質量增加15%或剛度減小15%時，TMD控制時系統到達穩態的時間增加了60%左右；RVCD控制時系統的穩態時間增僅加了19%左右。當系統受到2 m/s2的地震作用時，RVCD系統的減振效果達到42%。

(2) 結構RVCD控制系統對裝置物理參數的改變具有不敏感性。當質量比由0.05下降到0.01時，RVCD的峰值位移減振效果仍有34.16%。當半徑r由0.2 m減小到0.1 m時，結構的減振效率仍有40.14%，而直線AMD最大行程由0.2 m減少到0.1 m時，減振效果下降到25.15%，這說明在建筑空間受限的情況下，RVCD比直線AMD能發揮很好的控制效果，RVCD能有效解決直線AMD的行程問題。

(3) 采用PSO結合AMD做負功的優化方法表明：RVCD通過主動控制力做負功，承擔了地震輸入的大部分能量，明顯減小了結構的能量響應，結構阻尼耗能下降了81.6%，結構的動能和彈性勢能之和的峰值減小了62.8%。

(4) 對于滑模控制算法中控制參數的選取問題，從能量角度構造目標函數結合粒子群優化算法能夠確定算法的最優參數值。