基于等效單層理論的鋼-混組合梁動力分析方法

孫琪凱， 張 楠， 張 冰， 劉 瀟， 程澤農(nóng)， 陶曉燕

(1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081；3.高速鐵路軌道技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081；4.中鐵工程設(shè)計咨詢集團(tuán)有限公司 城市軌道交通設(shè)計研究院，北京 100055)

鋼-混組合梁是指由混凝土板和鋼梁兩部分組成并采用柔性剪力鍵傳遞結(jié)合面之間剪力的一種新型結(jié)構(gòu)形式。這種結(jié)構(gòu)既能夠發(fā)揮鋼材抗拉又能夠發(fā)揮混凝土抗壓的材料特點。因其具有自重輕、承載力高等特點，而在工程中被廣泛應(yīng)用，特別是高速鐵路橋梁中。由于抗剪連接件是柔性的，即使很小的荷載作用下，混凝土梁和鋼梁之間也會產(chǎn)生相對滑移[1-2]，使組合梁動力分析時必須考慮滑移帶來的影響。鋼-混組合梁動力特性分析是為了研究結(jié)構(gòu)振動的固有規(guī)律，是研究其相關(guān)動力性能的基礎(chǔ)，可以為下一步分析鋼-混組合梁動力荷載響應(yīng)做準(zhǔn)備。目前，已有學(xué)者開始關(guān)注鋼-混組合梁動力特性的分析。

Newmark等[3]是最早基于Euler-Bernoulli梁理論分析組合梁受力性能的研究學(xué)者之一，在試驗分析的基礎(chǔ)上，Newmark等提出并驗證了子梁界面間存在相對剪切滑移，并且滑移量與剪切力有關(guān)。隨后，大量的學(xué)者擴(kuò)展了這一理論。Girhammar等[4]采用直接平衡法推導(dǎo)了考慮界面上剪切滑移的鋼-混組合梁的運動平衡微分方程，得到了自振頻率解析解。后又進(jìn)一步推導(dǎo)了一般彈性支撐時，鋼-混組合梁動力特性解析解[5]。Huang等[6]討論了邊界條件為簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支的情況下，鋼-混組合梁自振特性隨剪力連接鍵剛度的變化規(guī)律以及移動荷載作用下組合梁的動力響應(yīng)。侯忠明等[7]根據(jù)理論分析結(jié)果，提出了鋼-混組合梁的頻率折減系數(shù)和剛度折減系數(shù)。楊驍?shù)萚8]研究了界面掀起和軸向力雙重作用對鋼-混組合梁動力彎曲特性的影響。以上這些研究均沒有考慮橫向剪切變形的影響。然而，對于大高跨比、低抗剪剛度或連續(xù)跨度的組合梁，橫向剪切變形的影響是不容忽視的。因此，將Timoshenko梁理論應(yīng)用于組合梁的研究。

在Timoshenko梁理論中，假定各子層在彎曲前垂直于其軸線的橫截面一直保持平面，但是變形后不再垂直于子層軸線。Xu等[9-12]基于Timoshenko梁理論研究了組合梁的虛功原理和功互等定理，分析了材料和幾何參數(shù)變化、剪力連接鍵剛度等因素對組合梁動力性能的影響。李曉偉等[13]提出了求積元法，提高了有限元法在組合梁動力特性與瞬態(tài)響應(yīng)分析中的計算效率。然而，組合梁截面上剪切應(yīng)力的實際變化是拋物線形的，在梁頂和梁底表面應(yīng)為零。因此，基于Timoshenko梁理論很難準(zhǔn)確預(yù)測組合梁的應(yīng)力分布。此外，它也不能得到令人滿意地精確的組合梁動力響應(yīng)。為了解決這些問題，人們開始用高階梁理論來描述組合梁的位移場。常用的高階梁理論有Reddy梁理論[14]和Kant梁理論[15-16]，He等[17-19]把Kant梁理論用于組合梁研究。與Kant梁理論相比，Reddy梁理論保留的未知項更加精煉，使其在應(yīng)用中更加有優(yōu)勢[20-21]。

對于鋼-混組合梁剪力滯效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動力性能影響的研究已比較常見。周旺保等[22]分析了相對滑移和剪力滯效應(yīng)對連續(xù)鋼-混組合箱梁自振特性的影響，結(jié)果表明：當(dāng)自振頻率低階時，剪力滯效應(yīng)的影響很小。陳玉驥等[23]分析了相對滑移和剪力滯效應(yīng)對鋼-混組合梁一階自振頻率的影響，得出了剪力滯效應(yīng)對自振頻率的影響很小，可略去不計的結(jié)論。綜上所述，剪力滯效應(yīng)對鋼-混組合梁一階自振頻率的影響可忽略不計。

蘇慶田[24-27]對鋼梁和混凝土板界面連接處的黏結(jié)效應(yīng)和摩擦效應(yīng)進(jìn)行了試驗和理論研究，結(jié)果表明：黏結(jié)效應(yīng)和摩擦效應(yīng)對鋼-混組合梁的動力性能影響較小，一般可忽略不計而只考慮二者間的剪力連接鍵作用。

本文基于Reddy高階梁理論和黏結(jié)滑移理論，提出了鋼-混組合梁動力的等效單層理論有限元計算模型。使用Heaviside函數(shù)構(gòu)造雙層組合梁的軸向變形的高階理論位移場，使其預(yù)先滿足子梁間的剪力連續(xù)、位移和應(yīng)變不連續(xù)和上下自由表面條件。從而，得到不包含橫向位移一階導(dǎo)數(shù)?W/?x的等效單層位移場函數(shù)，因此在有限元計算時只需構(gòu)造C0連續(xù)插值函數(shù)，提高了計算效率。最后，通過與已發(fā)表文章中數(shù)值模型結(jié)果對比，驗證了文中有限元計算模型的適用性，討論了高跨比對文中理論計算精度的影響。

1 等效單層理論位移場

圖1 鋼-混組合梁構(gòu)造圖Fig.1 Structure of steel-concrete composite beam

基于Reddy高階梁理論和和黏結(jié)滑移理論，將雙層鋼-混組合梁等效為單層梁結(jié)構(gòu)。基本假定如下：(1) 混凝土板與鋼梁之間始終保持豎向密貼而水平向可相對滑動；(2) 鋼-混組合梁沿厚度方向的正應(yīng)變和平面外剪切應(yīng)變均可忽略不計；(3) 鋼-混組合梁滿足小變形假設(shè)；(4) 混凝土板與鋼梁之間是光滑的,結(jié)合面處剪力全部由剪力連接鍵承受，剪力鍵等效為連續(xù)分布的彈簧，彈簧水平剛度為常量K。

基于Reddy高階梁理論的位移場如圖2所示，建立笛卡爾坐標(biāo)系，滿足h1=h2+h3=h/2，h為組合梁高。

圖2 鋼-混組合梁位移場構(gòu)造圖Fig.2 Displacement field of steel-concrete composite beam

使用Heaviside函數(shù)構(gòu)造基于Reddy高階剪切理論的雙層鋼-混組合梁位移場函數(shù)。該函數(shù)在鋼-混凝土結(jié)合面上滿足位移協(xié)調(diào)和應(yīng)力平衡條件。結(jié)合面處，鋼梁和混凝土板表面的剪力相等，但由于結(jié)合面處兩個子梁的面積不同且兩種材料的彈性模量不同，故其剪應(yīng)力和剪應(yīng)變不相等，這表示鋼-混組合梁位移場函數(shù)在結(jié)合面處的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。根據(jù)位移場函數(shù)的這一特征，假設(shè)組合梁等效單層理論位移場函數(shù)如下

(1)

式中:U、W分別為鋼-混組合梁的軸向位移和橫向位移；H(x)為Heaviside函數(shù)；ui(i=0～3)為假定單一截面時軸向位移沿梁高的分布函數(shù)；δi(i=0～3)為由于材料不同和剪力連接鍵柔性造成得混凝土板層軸向位移分布函數(shù)的變化量。

本文基于線彈性假設(shè)，因此鋼-混組合梁的應(yīng)力、應(yīng)變和剪力連接鍵剛度滿足如下關(guān)系：

(1) 鋼-混組合梁軸向應(yīng)變和剪切應(yīng)變?nèi)缦?/p>

(2)

(2) 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

(3)

式中:σxx、τxz分別為正應(yīng)力和剪應(yīng)力；εxx、γxz分別為正應(yīng)變和剪應(yīng)變；E、G分別為彈性模量和剪切模量；Qcs、K和Ucs分別為組合梁單位長度的剪力連接鍵的合計剪力、剪切剛度和剪切滑移量。

首先，使假設(shè)的位移場函數(shù)式(1)滿足頂、底板自由表面條件，有以下公式成立

(4)

(5)

由式(4)、式(5)，可把u2和δ2表示出來，如下

(6)

式中，α0=1/h,α1=3h/4,β0=-2/h,β1=-3h/2,β2=-1/h,β3=-3h/4。

然后，使假設(shè)的位移場函數(shù)式(1)滿足層間剪力連續(xù)條件，有以下公式成立

(7)

式中:Qc、Qs分別為混凝土板底面和鋼梁頂面的剪力；Gc、Gs分別為混凝土板和鋼梁的剪切模量；γxz,c(h2)、γxz,s(h2)分別為混凝土板底面和鋼梁頂面的剪切應(yīng)變；Ac、As分別為混凝土板底面和鋼梁頂面的面積。

再者，由鋼-混結(jié)合面上的剪力與剪力連接鍵承受的剪力相等可得

(8)

由式(7)、式(8)，可表示出u3和w0,x，如下

(9)

將式(6)和式(9)代入式(1)可得鋼-混組合梁的等效單層理論位移場函數(shù)

(10)

式中，Ψ0(z)=H(z-h2)[1+(C0β0+D0β1)z2]+

(C0α0+D0α1)z2+D0z3，

Ψ1(z)=H(z-h2)[z+(C1β0+D1β1+β2)z2]+

(C1α0+D1α1)z2+D1z3，

Ψ2(z)=H(z-h2)[z3+(C2β0+D2β1+β3)z2]+

(C2α0+D2α1)z2+D2z3。

式(10)即為等效單層位移場函數(shù)。其不包含橫向位移一階導(dǎo)數(shù)?W/?x，因此在有限元計算時只需構(gòu)造C0連續(xù)插值函數(shù)。對應(yīng)于式(10)的自由(F)、簡支(S)和固支(C)等三種工程中常見的邊界條件為

(11)

2 運動微分方程及求解

根據(jù)虛功原理，基于式(10)的鋼-混組合梁的動力響應(yīng)可以表示為

(12)

式中:σxx、τxz、εxx和γxz分別為組合梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力、正應(yīng)變和剪應(yīng)變；q(x,t)為作用在組合梁上的橫向力。

如式(13)所示，采用一維有限元近似分析鋼-混組合梁動力特性時，將u0、u1、δ0、δ1、δ3和w0作為位移場的相關(guān)分量。構(gòu)造一個3節(jié)點的C0連續(xù)等參梁單元，三個節(jié)點記作1，2，3，以節(jié)點2為原點。根據(jù)等參公式[28]，所有變量都是根據(jù)其節(jié)點值進(jìn)行插值的，其表達(dá)方式為

v=Nδe

(13)

根據(jù)上述公式，可導(dǎo)出式(13)中所需的所有形狀函數(shù)向量。對于軸向和橫向位移，形狀函數(shù)矢量可以寫成

(14)

正應(yīng)變和剪應(yīng)變的形狀函數(shù)為

(15)

分界面處剪切滑移量的形狀函數(shù)為

(16)

把式(14)、式(15)和式(16)代入式(12)可得

(17)

由于(δδe)T是任意的，在滿足位移邊界條件的前提下，式(17)可以簡化為標(biāo)準(zhǔn)的有限元離散方程

(18)

式中，Me、Ke和Fe分別為單元質(zhì)量矩陣、單元剛度矩陣和單元力向量。如下

(19)

因此，鋼-混組合梁的自由振動的公式為

(Kg-ω2Mg){Φ}=0

(20)

式中:Mg和Kg分別為整體質(zhì)量矩陣和整體剛度矩陣；{Φ}為整體振幅向量；ω為自振頻率。

3 算例分析

He等分別基于Euler-Bernoulli梁理論(EBT)和Timoshenko梁理論(TBT)，給出了簡支-簡支(S-S)、固支-簡支(C-S)、固支-自由(C-F)和固支-固支(C-C)等四種邊界條件(圖3)下，不同高跨比的鋼-混組合梁自振頻率計算結(jié)果。本節(jié)的目的是通過與He等的計算結(jié)果進(jìn)行對比，驗證文中有限元計算模型可適用于常見的四種邊界條件，并討論該理論的計算精度。

He等的分析模型的梁長由高跨比確定，各層截面和材料特性見圖4。剪力連接鍵剛度為K=50 MPa。ANSYS建模時，上下層結(jié)構(gòu)均采用采用SOLID65單元，單元數(shù)為5 760個，節(jié)點數(shù)為9 660個。采用COMBIN39三維彈簧單元連接上下兩層結(jié)構(gòu)，豎向耦合，縱橫向為彈性約束，彈簧剛度取值為剪力鍵剛度。根據(jù)本文的式(17)～式(20)采用Matlab編制有限元計算程序，計算該算例的一階豎向自振頻率。四種邊界條件下，高跨比分別為0.05、0.2和0.5時，本文計算模型、He等計算模型和ANSYS FEA計算模型(見圖5)的一階自振頻率計算結(jié)果見表2。括號內(nèi)數(shù)值為計算值與ANSYS FEA計算值的誤差，(f數(shù)值-fANSYS)/f數(shù)值×100%。

圖4 組合梁的尺寸和材料特性Fig.4 Dimensions and material properties

(a) 高跨比為0.5

(b) 高跨比為0.2

(c) 高跨比為0.05圖5 ANSYS FEA計算模型Fig.5 The calculation model of ANSYS FEA

三種高跨比下，采用上述四種方法計算所得的邊界條件為簡支-簡支的振型結(jié)果見圖6。

表2和圖6結(jié)果表明：

(1) 四種邊界條件各種高跨比下，本文提出的有限元計算模型的基頻計算結(jié)果與ANSYS FEA計算結(jié)果基本一致。說明了四種常見邊界條件下，等效單層理論有限元計算模型均可適用于分析鋼-混組合梁的自振特性。

(2) 本文基于Reddy高階梁理論提出的計算模型的計算精度明顯高于Euler-Bernoulli梁理論和Timoshenko梁理論計算模型，而且高跨比越大，該計算模型的準(zhǔn)確度優(yōu)勢越明顯。

(3) 本文模型、ANSYS FEA、Euler-Bernoulli梁理論和Timoshenko梁理論分析得到的結(jié)構(gòu)振型模態(tài)基本一致。

4 結(jié) 論

通過以上分析，結(jié)論如下：

(1) 基于Reddy高階梁理論和黏結(jié)滑移理論，提出了鋼-混組合梁動力分析的等效單層理論有限元計算模型。模型中預(yù)先滿足層間剪力連續(xù)和上下自由表面條件，使得等效單層位移場中不包含橫向位移一階導(dǎo)數(shù)?W/?x，有限元計算時僅需構(gòu)造C0連續(xù)插值函數(shù)。

(2) 通過與已發(fā)表的文章中算例結(jié)果對比，說明了文中提出的等效單層理論計算模型可適用于四種常見的邊界條件和任意高跨比的鋼-混組合梁動力特性的分析。

(3) 三種典型高跨比下，本文模型、ANSYS FEA、Euler-Bernoulli梁理論和Timoshenko梁理論分析得到的結(jié)構(gòu)振型模態(tài)基本一致。

(4) 本文提出的計算模型具有較高的計算準(zhǔn)確度，且與Euler-Bernoulli梁理論和Timoshenko梁理論計算模型相比，高跨比越大，等效單層理論有限元計算模型的準(zhǔn)確度優(yōu)勢越明顯。

表1 不同計算方法的豎向一階自振頻率對比表Tab.1 Comparison of vertical fundamental frequencies