基于Matlab GUI的Talbot效應仿真教學平臺

吳晶晶 高輝

摘? 要：實驗展示Talbot效應能夠加深學生對于周期性物體衍射現象的理解。然而通過實驗平臺展示Talbot效應的靈活性低，且學生參與度不高，不能保證每位學生都有動手操作的機會，不便于學生課后的創新性拓展。基于Matlab GUI搭建Talbot效應仿真平臺，平臺操作的靈活性允許學生自行設計不同的周期性結構并觀察其Talbot效應，激發學生的創造性思維，讓學生在課后也能夠隨時開展對菲涅爾衍射以及Talbot效應的觀察和研究。

關鍵詞：虛擬仿真? Talbot效應? Matlab? 菲涅爾衍射

中圖分類號：O436.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2021）05（b）-0015-05

Abstract： The experiment shows that Talbot effect can deepen students' understanding of the diffraction phenomenon of periodic objects. However， the experimental platform shows that the flexibility of Talbot effect is low， and the participation of students is not high. It can not ensure that every student has the opportunity to operate， which is not convenient for students' innovative development after class. The Talbot effect simulation platform is built based on Matlab GUI. The flexibility of platform operation allows students to design different periodic structures and observe their Talbot effect， stimulate students' creative thinking， and enable students to observe and study Fresnel diffraction and Talbot effect at any time after class.

Key Words： Virtual simulation; Talbot effect; Matlab; Fresnel diffraction

Talbot效應，又稱為衍射自成像效應，是傅里葉光學中一個非常有趣的現象。1830年Talbot發現：用單色平面波垂直照射一個周期性物體時，在物體后面周期性距離上會出現物體的像，這種自成像的現象就稱為Talbot效應[1]。Talbot效應自成像的現象是通過光的衍射實現的，而不是通過透鏡實現的[2]，在光刻、光學測量等領域都有非常重要的應用[3-4]。在大學物理教材中的信息光學的章節通常會介紹Talbot效應。在基礎物理課堂上，教師如果能夠更加直觀地展示這一衍射現象，而不是停留在書本介紹，不但能夠加深學生的理解，還能開闊學生的視野，引起學生對科學研究的興趣。

然而，如果是直接搭建光路來展示Talbot效應，存在3個問題：（1）Talbot效應是對周期性物體的自成像效應，在實驗中無法獲得任意大小、任意周期的周期性物體，降低了實驗的靈活性;（2）單純的老師展示并不能提高學生的積極性，學生的參與感不夠強;（3）課后沒有實驗儀器，不便于學生的復習或者創新性應用[5]。作為教師，不但要直觀地展示這一現象，還要讓每一位學生都能夠參與進來，給予學生充分自由選擇的空間。

Matlab軟件具有強大的數據運算處理能力，能夠快速高效地模擬光波衍射現象，同時，Matlab還支持面向用戶的GUI圖形界面設計，能夠為用戶提供輕松的人機交互途徑[6]。該文利用Matlab設計GUI，使得學生能夠選擇不同結構的周期性光柵或者周期性物體，計算出對應的Talbot距離（自成像距離），利用菲涅爾積分計算并觀察在不同衍射距離下的衍射圖形[7]。這一功能不但為學生提供了更加靈活可選擇的范圍，更直觀地展示Talbot效應，加深學生對衍射現象的理解，還能讓每一位學生都能參與到實驗中，達到較好的教學效果。

1? Talbot效應基本原理

當一束相干光照射一個具有周期結構的物體，在它的Talbot距離處會衍射得到精確的自成像，這個距離定義為：

式中，d為物體的周期;λ為入射光波長。這就是Talbot效應。周期為d的一維周期性物體可以看作是頻率取離散值（n/d，0）的無窮多個平面波分量的線性疊加，其復振幅為：

式中，cn表示各平面波分量的相對振幅和位相分布。當平面波照射物體時，物體后表面的光場分布就是g（x）。這一光場衍射距離z后，其衍射場可以通過菲涅爾衍射理論計算得到。這里從頻率域進行分析。物場的空間頻譜為：

根據菲涅爾衍射理論，g（x）在z距離處的衍射場分布的頻譜為：

因此，在ZT的整數倍距離上可以觀察到物體的像。當距離z為ZT的分數倍時，觀察到的就是分數Talbot效應，其強度分布通常為原物體結構的周期和位移發生變化后的結果[8-9]。

另外，Talbot效應并不局限于光柵結構，對于任意周期性結構都存在Talbot效應。因此，該平臺需要能夠允許用戶自定義周期性結構，并觀察其衍射結果。

2? Matlab GUI模擬Talbot效應

該文利用Matlab的GUI技術實現的主要功能有3項：（1）對方形光柵結構的Talbot效應;（2）對自定義周期結構的Talbot效應;（3）對任意圖像的菲涅爾衍射計算。下面分別進行介紹。

2.1 方形光柵結構的Talbot效應

以二維光柵為例來驗證Talbot效應以及分數Talbot效應。圖1（a）中的二值方形光柵大小為256×256像素，單個周期大小為32×32像素，每個像素為0.125 μm，在x方向和y方向的占空比都為1/2，波長為0.8 μm。圖1（a）在ZT處的衍射強度圖像詳情見圖1（b）所示，與光柵本身完全相同。而根據分數Talbot效應，周期物體在分數Talbot距離處得到的菲涅爾衍射強度分布是物體本身經過平移后的疊加的結果。圖1（c）和圖1（d）顯示了圖1（a）經過ZT/2和ZT/4距離的衍射強度分布。可以看到，當物體占空比為1/4時，物體在ZT/4處的菲涅爾衍射強度分布就是均勻分布。

為了讓學生更好地理解Talbot效應以及更方便地模擬操作，第一個菜單的圖形面板見圖2。其中M和N表示物體整體的長度和寬度，dx和dy表示結構在x和y方向的周期，wx和wy表示一個光柵一個周期內透光部分的x方向和y方? 向的大小。上述參數都是以像素為單位。“尺寸/像素（μm）”表示每個像素的尺寸，單位為μm。“波長（μm）”表示光源的波長。

操作面板分為4個功能，第一個功能是生成物體圖形。根據輸入的光柵結構參數，點擊“1.生成物體圖形”按鈕生成物體結構，并將物體圖形顯示在第一個圖形框中。第二個功能是計算Talbot距離，點擊“2.計算Talbot距離=”按鈕，ZT=2d2/λ的計算結果就會顯示在按鈕后的文本框中。第三個功能是進行衍射運算。先將衍射距離輸入到文本框中，隨后點擊“3.衍射運算”按鈕，在用戶所設置距離處的衍射強度圖像會顯示在第二個圖形框中。這里用戶可以設置衍射距離為ZT的分數倍和整數倍，來觀察衍射圖像的變化和規律。第四個功能是可以設置一個軸向的衍射距離范圍，點擊“4.軸向截面”按鈕，會將所設置的距離范圍內的衍射圖像橫截面顯示在第三個圖形框中，以方便學生更加直觀地觀察Talbot效應的規律。3個圖形框下方有“查看/操作”按鈕，可以對圖像進行保存和后續處理。

2.2 自定義結構的Talbot效應

任意結構的周期性物體也存在Talbot效應，對任意結構的周期性物體Talbot效應的研究不但能促進學生研究的積極性，還能激發出更多的創造性思想。圖3（a）為周期性的字母排列物體，大小為256×256像素，單個周期為64×64像素，其他參數與圖1相同。圖3（b）-3（e）分別為ZT/8、ZT/4、ZT/2和ZT處的衍射強度分布。

第二個菜單的圖形面板見圖4，大部分按鍵與圖2相同，區別在于結構參數部分。這一部分可以讓學生用戶自定義選擇電腦中的圖片作為周期性結構。通過面板上的“自定義圖形……”按鈕，可以打開文件夾選擇電腦中任意圖像作為結構，并將圖像顯示在按鈕右側。操作部分的按鈕與圖2中的功能相同。學生可以自由地選擇和制作不同圖案作為結構，然后設置不同的尺寸和周期，從而制作感興趣的周期性物體，并驗證和觀察其Talbot效應。這一部分的功能為學生在課堂和課后對Talbot效應的拓展性應用提供了自由的平臺。

2.3 對任意圖像的菲涅爾衍射

第三個菜單的功能屬于附加功能。光的菲涅爾衍射理論在波動光學中是非常重要的理論，需要學生能夠深入理解。在實際的光學實驗中，如果想要觀察任意圖形的菲涅爾衍射，通常需要借助空間光調制器等價格較貴的設備，并且很難為每一位學生提供操作機會。對菲涅爾衍射的仿真實驗的需求較高。因此，在第三部分附加了如圖5所示的面板。學生可以通過“選擇二值/灰度圖形……”按鈕選擇電腦中的任意圖片，并顯示到第一個圖形框中。設置不同的衍射參數后，點擊“顯示衍射強度圖像”按鈕，就可以得到菲涅爾衍射結果。

3? 結語

隨著計算機軟件、硬件的發展，計算機仿真實驗平臺的功能越來越全面。利用Matlab GUI功能搭建的Talbot效應仿真實驗平臺能夠為學生提供非常簡單易懂的操作界面、靈活多變的功能、正確可靠的運算結果，不但能夠激發學生的動手積極性，還能拓寬學生的知識面，激發學生的創造能力，并為學生自主科研提供了平臺。

參考文獻

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[3] 尹東旭，周素梅，謝意木男.球面波入射二維光柵的泰伯效應[J/OL].激光與光電子學進展：1-11[2021-07-06].https：//www.kns.cnki.net/kcms/detail/31.1690.TN.20210113.1053.006.html.

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