橢球變換構(gòu)建工程獨立坐標(biāo)系方法比較*

劉國棟，劉 佳，秦 浩，劉 浪

(重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

隨著社會現(xiàn)代化的進(jìn)程，對工程控制的要求呈現(xiàn)出高精度化、大范圍化，高精度的GNSS定位技術(shù)的發(fā)展，很好的滿足了這個需求。但工程區(qū)域過大會使得區(qū)域跨經(jīng)度范圍過大，地形起伏相對高差變大，若仍采用以參考橢球面作為投影面的3°帶與6°帶國家大地坐標(biāo)系建立方法，那么高精度將無法保證[1]。故在實際的工程中一般會選擇區(qū)域內(nèi)中央經(jīng)線作為新的中央子午線和改變投影面使用新的參考橢球來建立獨立坐標(biāo)系統(tǒng)，從而滿足測區(qū)內(nèi)長度投影變形不大于2.5 cm/km的工程規(guī)范[2]。改變投影面目的是將平面坐標(biāo)歸算到區(qū)域內(nèi)的平均高程面上[3]，即通過改變橢球參數(shù)，使得變換后的參考橢球面與測區(qū)內(nèi)平均高程面相切，作為新的大地坐標(biāo)系的投影面。

首先，分析了工程獨立坐標(biāo)系建系原則，供讀者選擇適合工程實際需求的建系方式，對橢球膨脹法、橢球平移法、橢球變形法原理進(jìn)行探討，論述通過橢球變換建立具有抵償投影面獨立坐標(biāo)系的方法流程，最后，通過算例驗證該方法構(gòu)建獨立坐標(biāo)系對精度提高的可行性，并分析三種橢球變換法建系的差異優(yōu)缺點，為不同實際工程提供選擇參考。

1 工程獨立坐標(biāo)系建系

1.1 工程建系規(guī)范

從外業(yè)觀測值到參考橢球面再投影到高斯平面坐標(biāo)系的過程中，主要有兩次長度變形[4]：

(1)量測邊的高程歸化，假設(shè)量測水準(zhǔn)面已經(jīng)過垂線偏差改正，量測邊的平均水準(zhǔn)面平行于橢球面，平均水準(zhǔn)面與橢球面有一定距離Hm，需要進(jìn)行高程歸化。

(1)

(2)橢球大地線的高斯投影距離改化，橢球面上大地線投影到高斯平面上，需要距離改化。

(2)

為了便于施工放樣工作的順利進(jìn)行，要求在圖紙上量測的邊長數(shù)據(jù)按照比例尺計算的實地邊長，應(yīng)和實地量測的邊長在長度上相等[5]。在《工程測量規(guī)范》(GB50026-2007)中規(guī)定：建立平面控制網(wǎng)坐標(biāo)系統(tǒng)，應(yīng)滿足測區(qū)內(nèi)長度投影變形不大于2.5 cm/km，相對長度變形小于1/40 000。

1.2 工程坐標(biāo)系建立原則

根據(jù)工程建系規(guī)范，結(jié)合實際情況選擇平面投影建系原則：

(1)在滿足工程規(guī)范精度要求前提下，根據(jù)實際工程區(qū)域范圍距離國家標(biāo)準(zhǔn)3°或6°帶中央子午線不超過45 km，選擇標(biāo)準(zhǔn)的國家3°或6°帶高斯投影，建立坐標(biāo)系，有助于工程應(yīng)用。

(2)若邊長的投影歸算不能達(dá)到精度要求，為保證工程坐標(biāo)系能滿足精度，需要考慮其他方式進(jìn)行投影：

①更改中央子午線，一般選擇工程區(qū)域內(nèi)中央經(jīng)線作為投影建系的中央子午線，將地面觀測結(jié)果依然歸算到參考橢球面上，即任意帶高斯投影[6]；

②更改投影面，建系過程仍然采用3°或6°帶高斯投影，但投影面則是選擇合適的高程面作為抵償投影面，一般選擇測區(qū)范圍內(nèi)的平均高程面，即抵償投影面的高斯投影；

③既更改中央子午線又更改投影面，即具有抵償投影面的高斯任意帶投影[7]。

實際工程中為追求高精度，多采用具有抵償投影面的高斯任意帶投影建系，將橢球運用某種方法進(jìn)行變換，使橢球面變換到與原橢球的某一高程面上，再將變換后的橢球控制點按照任意帶高斯投影到新橢球的橢球面上，從而達(dá)到一定區(qū)域范圍的投影變形最小化，極大的提高投影精度。

2 變換橢球獨立坐標(biāo)系建系原理

建立與工程區(qū)域相適應(yīng)的投影坐標(biāo)系，需要先確定合適的參考橢球，橢球都是由橢球參數(shù)所確定的，在原符合全球范圍的參考橢球的基礎(chǔ)上進(jìn)行變換。不同的橢球變換方法會引起橢球參數(shù)如坐標(biāo)原點、長半軸、扁率以及坐標(biāo)軸指向等的變化，但一般不會引起坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)與尺度的變化[8]。橢球參數(shù)的變化會引起大地坐標(biāo)經(jīng)度、緯度的變化，大地坐標(biāo)變化量采用廣義大地坐標(biāo)微分公式可得：

(3)

代入不同平移參數(shù)、旋轉(zhuǎn)參數(shù)、橢球幾何要素以及尺度因子Δm可計算出不同橢球變換方法，主要方法有橢球膨脹法、橢球平移法、橢球變形法[9]。

2.1 橢球變換

2.1.1 橢球膨脹法

橢球膨脹法是保持橢球的扁率α不變、橢球中心點不變，通過增長短半軸與長半軸的長度達(dá)到橢球膨脹效果，使得膨脹后的橢球面與目標(biāo)高程面相切(高程面可能不與橢球面平行，切點稱為基準(zhǔn)點，下同)[10]，如圖1所示。

圖1 橢球膨脹法

P點為地面點，E1為原橢球，E2為膨脹后橢球，Ph為投影抵償面(即指定高程面)，橢球膨脹的過程是將原橢球E1保持扁率α不變，膨脹到投影抵償面Ph，得到新橢球E2，Δh為P點沿著法線方向E1到E2的距離。因為橢球的各向異性，P點在原橢球中的法線與變換后橢球中的法線不一定會重合，這使得橢球膨脹法的長半軸參數(shù)確定出現(xiàn)多種計算方法[11]。本文選用法線方向直接增長法進(jìn)行橢球膨脹法探討，把變換前后P點兩法線視作重合，故有：

(4)

式中，B0為基準(zhǔn)點P點經(jīng)緯度；Δh為選擇抵償投影面的大地高，即Ph大地高；da為橢球長軸變化量，為使得da=0，短軸相應(yīng)發(fā)生變化。

變換前后空間直角坐標(biāo)原點沒有發(fā)生位移，故dX=dY=dZ=0，也沒有發(fā)生旋轉(zhuǎn)和尺度變化，故εX=εY=εZ=0,Δm=0。由廣義大地坐標(biāo)微分公式(3)可得區(qū)域內(nèi)控制點Pi變化量：

(5)

其中，參數(shù)計算如下(后文也如此)：

(6)

2.1.2 橢球平移法

橢球平移法是保持原橢球參數(shù)不變，將橢球整體平移到另一位置，使得平移后的橢球面與投影面相切，如圖2所示。

圖2 橢球平移法

原始橢球E1保持原橢球幾何要素不變，da=dα=0，沿P點的法線平移Δh，與定義投影參考面Ph相切，得到新橢球E2。橢球平移前后的基準(zhǔn)點經(jīng)緯度沒有發(fā)生改變，只有橢球中心坐標(biāo)發(fā)生變化，即：

(7)

上式可計算橢球中心平移量。由廣義大地坐標(biāo)微分公式(3)可得區(qū)域內(nèi)控制點Pi變化量：

(8)

2.1.3 橢球變形法

橢球變形法是保持橢球中心和坐標(biāo)軸指向不變，通過改變橢球長短半軸與扁率α，達(dá)到膨脹目的，變換前后基準(zhǔn)點的經(jīng)緯度不變，如圖3所示。

圖3 橢球變形法

本文介紹方法是將原橢球E1沿著基準(zhǔn)點P點的法線膨脹Δh，使膨脹的橢球面與設(shè)定投影面Ph相切，保持橢球中心及坐標(biāo)指向不變，變換膨脹橢球的扁率dα≠0，使變形后的橢球P點法線與原橢球法線相重合，從而使基準(zhǔn)點的經(jīng)緯度不變，即:

(9)

由廣義大地坐標(biāo)微分公式(3)可得區(qū)域內(nèi)控制點Pi變化量：

(10)

2.1.4 橢球變換比較

三種橢球變換對比，從變換特點、控制點大地坐標(biāo)變化及適用范圍三因素考慮，如表1所示。

表1 三種橢球變換法對比一覽表

2.2 橢球變換獨立坐標(biāo)系的構(gòu)建流程

(1)在工程區(qū)域內(nèi)選擇中心點(B0、L0、H0)作為基準(zhǔn)點P；

(2)選擇區(qū)域范圍內(nèi)的平均高程所在高程面作為抵償投影面(即Ph)，選擇橢球變換法計算橢球參數(shù)；

(3)將區(qū)域內(nèi)的原控制點Pi在新橢球參數(shù)下計算得到新橢球下的控制點坐標(biāo)；

(4)對新橢球控制點進(jìn)行任意高斯平面投影，得到平面坐標(biāo)(x,y)，即獨立坐標(biāo)系建成。流程如圖4所示。

圖4 具有抵償投影面獨立坐標(biāo)系構(gòu)建流程

3 獨立坐標(biāo)系建立算例分析

為驗證建系理論的可行性，設(shè)計模擬算例進(jìn)行驗證，編制橢球變換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換程序。設(shè)定工程原橢球的參考基準(zhǔn)為WGS 84橢球，a=6 378 137,α=1/298.257 223 563，測區(qū)基準(zhǔn)點P的大地坐標(biāo)為(28°,107°,250)，工程范圍為以P點為中心，經(jīng)度與緯度在點P的±0.2° 范圍，高程在±50 m范圍內(nèi)，隨機(jī)生成控制點30個，平均高程為250 m。故算例設(shè)定中央子午線為107°，高程補(bǔ)償面Δh=250 m。

本文選擇3個點為例進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果分析，三點在原橢球的大地坐標(biāo)、方位角與大地線如表2所示。其中,P3距離基準(zhǔn)點最遠(yuǎn)達(dá)到16 km，最短的距離為P1點7 km，三點分別在基準(zhǔn)點的3個方位上具有很好的代表意義。

表2 控制點原橢球坐標(biāo)、方位角與大地線

橢球變換后控制點大地坐標(biāo)變化量如表3所示。緯度變化上橢球變形法小于其他兩種方法；經(jīng)度變化上只有橢球平移法有變化；大地高變化則是橢球平移法明顯小于其他兩種方法。

表3 控制點橢球變換后大地坐標(biāo)變化量

橢球變換后的大地線大地方位角的變化量如圖5所示。三種橢球變換的大地線變化量與大地線呈正比關(guān)系，距離越遠(yuǎn)變化越大；數(shù)值上，橢球平移法變化最大，橢球變形法次之，橢球膨脹法最小。大地方位角變化，橢球變形法最大，橢球膨脹法次之，橢球平移法最小，接近0值；趨勢上，橢球膨脹法與橢球變形法大地方位角變化量隨角度增大呈現(xiàn)正弦函數(shù)式周期性變化，而橢球平移法則不穩(wěn)定。在選擇橢球變換的時候考慮兩種變化因素的綜合影響，因橢球膨脹法的兩種變化因素小且更穩(wěn)定，選擇此方法更為理想。

圖5 橢球變換后相較與原橢球變化量

若在實驗?zāi)M區(qū)域內(nèi)仍采用國家高斯3°帶投影，會使長度變形達(dá)到12 cm/km，遠(yuǎn)大于工程規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的2.5 cm/km，如表4所示。若采用本文所述三種基于橢球變換構(gòu)建具有抵償投影面的高斯任意帶投影，建系的平均精度能達(dá)到0.9 cm/km，均能很好的滿足工程的規(guī)范要求。三種利用變換橢球建系方法的投影變形量均與長度距離呈正比關(guān)系，距離越遠(yuǎn)變形越大，三種方法投影變形量基本相當(dāng)。

表4 邊長投影變形對比

4 結(jié) 語

本文介紹了三種具有投影抵償面的獨立坐標(biāo)系構(gòu)建原理，詳述了建系流程，并設(shè)計算例實驗，分析橢球變換后大地線、大地方位角變化量及變換橢球前后的高斯投影變形量，得出結(jié)論如下：

(1)三種利用橢球變換構(gòu)建獨立坐標(biāo)系的方法，精度不僅明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)高斯投影建系，還高精度滿足了工程規(guī)范的需求。

(2)橢球平移法計算最為簡單，不需要改變橢球的參數(shù)，大地高變化較小，但距離與方位角不穩(wěn)定，適用于需快速實現(xiàn)高斯投影計算時；橢球變形法因控制點大地坐標(biāo)、大地線變化量較小，很具優(yōu)勢，但是其大地方位角變化量較大，計算相對來說較為復(fù)雜，較適用于小區(qū)域范圍建系；在面對大范圍區(qū)域選擇橢球變換時，針對精度高、變化量小的原則，可以優(yōu)先選擇橢球膨脹法。