囚禁離子非線性J-C模型量子態保真度

劉寶元， 孫小斌， 劉王云， 張玉虹

(1. 西安工業大學 光電工程學院, 西安 710021; 2. 安康市科技資源統籌中心, 安康 725000 )

1 引 言

在量子通信、量子計算和量子密碼術中，量子態是信息的載體，量子信息的存儲、復制和傳遞通過量子態的演化來實現，而量子態的演化需要考慮保真度問題. 1994年，R.Joza首先提出保真度是表示信息在傳輸過程中保持原來狀態的程度[1]，保真度也是通信質量的一個重要參數，且任何形式的信息編碼也要考慮保真度問題[2]. 因此，對于保真度的研究關系到量子通信的失真度、量子計算的可靠性以及量子復制的精確度.

近年來，不少文獻對具體量子模型的保真度作了大量研究，如純態編碼中的保真度[3]，量子信息和量子隱形傳態理論中的保真度[4]，量子糾錯中的保真度[5]，量子克隆術中如何提高保真度[6]以及光場與物質相互作用體系中的量子態保真度[7-9]等等. 隨著腔量子電動力學(QED)技術和囚禁離子技術的發展，人們試圖將這兩種技術方案結合起來，利用囚禁離子與腔場之間的相互作用來實現量子信息的存儲與傳遞，并已取得了一些令人鼓舞的成就[10-13]. 然而，囚禁離子受勢阱漲落和環境噪聲等因素影響造成所傳輸的信息退相干，進而出現一定概率失真[14]. 所以研究囚禁離子與腔場相互作用中的保真度是十分必要的. 然而，對于囚禁離子與駐波激光場相互作用系統中反映系統、腔場與囚禁離子保真度的演化行為討論甚少. 本文利用全量子理論研究高Q腔中單個二能級囚禁離子與單模駐波激光場相互作用系統中，當駐波激光場頻率與囚禁離子第一個紅振動邊帶呈單量子共振時，駐波激光場、囚禁離子以及系統量子態的保真度，并借助數值計算給出了離子質心在駐波激光場中的位置及囚禁離子初始狀態對保真度的影響，所的結論對于量子信息的存儲與傳遞具有一定的參考意義.

2 理論模型及其解

如圖1所示，研究單個二能級囚禁離子與單模駐波激光場相互作用系統，囚禁離子質心振動頻率為ω，內部電子態之間躍遷頻率為ω0，駐波激光場的頻率為ωL.當駐波激光場頻率與囚禁離子第一個紅振動邊帶呈單量子共振[15](ωL=ω0-ω)，且忽略原子衰變效應并作旋轉波近似，在相互作用繪景中系統哈密頓量為[16-18](?=1)

HI=g(A+σ-+Aσ+)

(1)

圖1 囚禁于Paul阱中的單個二能級離子與單模駐波激光場相互作用示意圖 Fig. 1 The schematic diagram of the interaction between a single two-level ion trapped in a Paul trap and a single-mode standing-wave laser field

式中g為耦合常數，σ+、σ-為離子的贗自旋升、降算符，A+、A為諧振子的非線性產生、湮滅算符，且

A+=a+f(a+a),A=f(a+a)a

(2)

a+、a為囚禁離子振動態的產生、湮滅算符，f(a+a)為非線性耦合算符函數，

在粒子數表象中表式為

f(a+a)=f(n)=

(3)

其中η是Lamb-Dick參數，φ表示振動離子質心相對于駐波激光場位置的初相位，確定離子質心在駐波激光場中的位置，當φ=π/2時相應于離子處在駐波激光場波節處.

由(1)式可得相互作用繪景中系統時間演化算符為

(4)

式中AA+=(a+a+1)f2(a+a),A+A=a+af2(a+a-1).

假設初始時刻(t=0)囚禁離子與駐波激光場間不存在任何相互作用，離子處于相干疊加態，駐波激光場處于單模相干態(取其初相位為零)，即

(5)

(6)

則系統初始聯合態為

(7)

式中|g〉、|e〉分別表示二能級囚禁離子的基態和激發態，0≤θ≤π,0≤φ≤2π.

在t>0的任意時刻，由于囚禁離子與駐波激光場間發生了各種交叉耦合相互作用而不再處于純態，相互作用繪景中系統的狀態演化為

|ψI(t)〉=UI(t)|ψ(0)〉=|C〉|e〉+|D〉|g〉

(8)

(9)

從而可得任意時刻系統的密度算符及腔場和囚禁離子子系統的約化密度算符

ρs(t)=|ψI(t)〉〈ψI(t)|=

(10)

ρf(t)=Tra(ρs(t))=|C〉〈C|+|D〉〈D|

(11)

ρa(t)=Trf(ρs(t))=

(12)

式中下標s,f,a分別表示系統、腔腸和囚禁離子.

3 保真度的演化

為了描述輸入量子態ρ1和輸出量子態ρ2的偏差程度，人們提出了保真度的概念，其定義為[1]

F(ρ1,ρ2)的取值范圍在0～1之間，當F(ρ1,ρ2)=0時，表示信息(量子態)在傳輸過程中完全失真；而當F(ρ1,ρ2)=1時，則表示理想信息傳輸過程. 一般情況下，0

根據上述定義及相互作用系統初始條件，可得系統、腔場和囚禁離子量子態保真度

(13)

Ff(t)=|〈ψf(0)|C〉)|2+|〈ψf(0)|D〉|2

(14)

(15)

〈ψf(0)|C〉=

〈n|D〉=

(16)

為了形象地描述保真度與系統參數之間的關系，下面將以囚禁離子在駐波場中位置及囚禁離子初始狀態為變量，通過數值分析討論這些變量對系統、腔場和囚禁離子量子態保真度的影響. 為便于討論取相對相位φ=0.

4 結果討論

(1)囚禁離子在駐波場中的位置對保真度的影響

圖2 囚禁離子在駐波場中不同位置時系統保真度隨標度時間的演化曲線 Fig. 2 The evolution curve of system fidelity with scale time when trapped ions are at different positions in the standing wave field

圖3 囚禁離子在駐波場中不同位置時光場保真度隨標度時間的演化曲線 Fig. 3 The evolution curve of field fidelity with scale time when trapped ions are at different positions in the standing wave field

圖4 囚禁離子在駐波場中不同位置時離子保真度隨標度時間的演化曲線Fig. 4 The evolution curve of ion fidelity with scale time when trapped ions are at different positions in the standing wave field

(2)囚禁離子初始狀態對保真度的影響

圖5 囚禁離子處于不同初態時系統保真度隨標度時間的演化曲線Fig.5 The evolution curve of system fidelity with scale time when trapped ions are in different initial states

圖6 囚禁離子處于不同初態時光場保真度隨標度時間的演化曲線Fig. 6 The evolution curve of field fidelity with scale time when trapped ions are in different initial states

圖7 囚禁離子處于不同初態時離子保真度隨標度時間的演化曲線Fig.7 The evolution curve of ion fidelity with scale time when trapped ions are in different initial states

5 結 論

綜上所述，本文利用全量子理論研究了囚禁于Paul阱中的二能級離子與光腔中的駐波激光場相互作用系統中量子態保真度，通過數值計算詳細討論了囚禁離子在駐波激光場中的位置及其初始狀態對保真度的影響，結果如下：

(1) 系統、腔場與囚禁離子的量子態保真度呈現出非周期性振蕩特性，隨著囚禁離子從遠離駐波激光場波節處向波節處移動，量子態保真度的振蕩頻率越來越快，振蕩幅度幾乎不變，且保真度到達第一個極小值所用的時間越來越短，保真度的值都不會為零，即不會出現信息完全失真的情況.

(2) 系統、腔場與囚禁離子的量子態保真度呈現出近似周期性振蕩特性，隨著囚禁離子處于基態概率的增加，量子態保真度的振蕩頻率幾乎不變，振蕩幅度越來越小，且保真度的值都不會為零，即不會出現信息完全失真的情況. 囚禁離子的保真度明顯優于系統與腔場的保真度.

由此可見，囚禁離子保真度明顯比系統和光場的保真度大，即在量子信息傳輸過程中，囚禁離子的量子態失真要比系統和腔場量子態失真要小. 根據上述囚禁離子與駐波激光場相互作用時保真度的演化特性，人們可以控制離子在駐波激光場中合適的位置以及使得離子初始處于恰當的狀態來存儲和傳遞信息，從而使得信息以更高的保真度傳輸.