深度研讀教材策略四：探尋數學知識的實用價值

崔晶磊 李惠萍

【導讀】

“分段計費”是人教版數學五年級上冊第16頁例9的教學內容。“分段計費”是生活中常見的數學問題，看似簡單，教學起來卻非常難：有時候分兩段，有時候分三段;有時候的基礎價是“包干”的，有時候不“包干”;超出價的計價數量，有時候取整，有時候不取整……

簡簡單單的一個收費問題，為什么要搞那么復雜呢？這其中有什么奧妙？來自昆明市盤龍區金康園小學的崔晶磊老師，從函數滲透和社會公平的角度，為我們帶來了不一樣的教學思路。從崔晶磊老師執教的過程中，我們可以看出數學對于維持人們生活秩序的重要性。

【案例】

課堂實錄：

一、梳理條件，初步建模

師：同學們，你們知道嗎，出租車在很多地方都被叫作計程車……

師：出示教學圖片，數學課本上的例9。（根據后面的課程設計，將例9中6.3千米改為5.3千米）

師：請同學們觀察這幅圖，你們從圖中能找到哪些數學信息？

生1：3 km以內7元。

生2：超過3 km每千米收費1.5元，不足1 km按照1 km計算。

生3：路程5.3 km應該看作6 km。（教師板書）

師：那現在老師打了一張出租車，出租車行駛了1千米，我該付款多少錢？

生：7元。

師：那出租車行駛了2.1 千米呢？

生：7元。

師：出租車行駛了2.9 千米呢？為什么？

生：還是7元。因為根據條件“3 km以內7元”。

師：現在出租車行駛了4千米，我下車了，這時候我該付款多少錢？怎么計算？

生：8.5元，根據條件“超過3 km每千米收費1.5元”，超出了1千米，所以要增加付款1.5元，加上“起步價”就是8.5元。

師：題目中李叔叔的行駛里程是5.3千米，該怎么付費呢？能用線段圖表示嗎？

……

師：請你給我們講述一下你的想法。

生1：我先畫了3 cm表示前3千米收費7元，再畫了2.3厘米表示后面超出的部分每千米收費1.5元。

師：你說得非常好，大家都是這么畫的嗎？有沒有哪位同學的作品和他不一樣？

生2：我畫的是6 cm的線段，因為有一個條件是“不足1千米按照1千米計算”。

師：哪位同學最懂他？

生3：李叔叔打車一共行駛了5.3千米，根據條件“不足1千米按照1千米計算”應該把這個小數看作一個整數來計算。

師：為什么要取整數？

生1：計算起來麻煩。

師：如果在臨時停車點計算這么麻煩的費用就會……

……

師：所以，取整數是為了更加方便地付費，節約時間。

師：那把一整段分成兩段又怎么理解？

生4：3千米以內和超過3千米的收費不一樣。

師：能不能給兩個部分分別起一個名字？

（板書：基礎價 超出價）

師：現在能算一算總價了嗎？能否使用一個公式來解決？

生：基礎價+超出價=總價

師：能列算式計算了嗎？試一試。

二、循序漸進，深入感知

（一）初識函數，埋下一顆數學的種子

師：同學們，老師昨天也畫了一張圖，大家看看。橫著的這一條叫做橫軸，表示行駛的里程，豎著的這一條叫做豎軸，表示價格，同學們可以相互交流，最后告訴我，你的想法。

生：黃色的線表示3千米以內，白色的線表示超出的部分。

師：你說得非常好，（教師手指橫軸0-3任意位置）（多次），那走這么遠呢？

生：7元。

師：那3千米以內7元的意思是？

生：只要是車子啟動不超過3千米，就要付7元。

師：那正好3千米呢？（教師手指橫軸3）

生：還是7元。

師：所以3千米以內7元包含了……？

生：3千米。

師：所以我用一個實心黃色圓點表示。那上面的空心圓點表示？

生：剛好3千米還沒有超出。

師：咱們再來看看白色的線，誰懂它的意思？

生1：白色的線表示超出的部分，每多行駛1千米，就要增加1.5元。

師小結：同學們，通過這幅圖我們又從另外一個視角看到了今天要解決的問題“分段計費”，在整個打車的過程中，有兩種計費方式，我們要分開計算。

（二）縱向挖掘，透徹領悟

師：同學們，張叔叔也打出租車了，他的行駛里程是11.2千米。不計算，你能從圖象上找到答案嗎？

生：20.5元。

師：怎么如此迅速，快起來說說。

生：11.2在11和12的之間，根據條件不足1千米按照1千米計算，所以11.2千米應該收費是20.5元。

師：那張叔叔打車走了11.5千米，應該付多少車費呢？11.9千米呢？11.95千米呢？

生：都是20.5元，因為不足1千米要按照1千米計算。

師：對比張叔叔和李叔叔的路程與車費，你有什么發現？

生：我發現打車的路程越長，車費就越多。

師：張叔叔的車程是李叔叔幾倍？

生（齊）：2倍。

師：那張叔叔打車的費用也是李叔叔的2倍吧。

生：不是，李叔叔花了11.5元，張叔叔花了20.5元，不是2倍。

師：怎么會這樣呢？計價里程明明就是2倍關系啊？

生：我想應該是總價中包含了基礎價，所以它們不成倍數關系。

師：說得非常好！你們真的太厲害了。基礎價和超出價哪個更貴？

生（齊）：基礎價。

師：在李叔叔和張叔叔的打車費中，基礎價所占的分量如何？

生1：李叔叔的車費中，基礎價占到了一半，所以比較貴。

師追問：張叔叔的呢？

生2：基礎價占不到一半。

師：也就是便宜的部分……

生2：占的比較多，所以總體上更劃得來。

師：這就是說，打車路程越短……

生（迫不及待）：越不劃算。

師：為什么要這么規定呢？

……

師：對了！之所以把出租車收費弄得那么復雜，就是為了促進社會的公平性。

（三）拓展提升，將生活中的問題“還給”生活

師：同學們，生活中還有哪些地方在使用分段計費？

生：水費、電費、停車場收費……

師：你們覺得分段計費的方法公平嗎？為什么？

生：公平。

師：是的，分段計費就是為了讓更多的人享受到公平的待遇。

……

師：那么所有分段計費中的“基礎價”都比“超出價”更貴嗎？

生1：不是，水費就是“超出價”更貴。

師：為什么呢？

……

（四）全課小結，設疑思考

師：是的，分段計費是對計費方式進行人為干預的一種消費模式。希望同學們去發現生活中更多分段計費的例子，體會數學給生活帶來的更多價值。

板書設計：

【評析】

本節課是昆明市李惠萍數學名師工作室和盤龍區周佳泉數學名師工作室合作、研討的成果結晶，經過多次磨課后初步形成的“雛形”，最終由崔晶磊老師完善并執教。本節課在以下幾方面做出了一些新的嘗試和突破：

1.不斷深化對數學模型的理解。這是一節容易被簡單化的課，在實際教學中，部分老師和學生僅止步于會應用“基礎價+超出價”求出問題答案，卻沒有對這一問題模型中的細節進行深度關注：在“基礎價”中，“3千米以內”究竟是指幾千米？在超出價中，學生是否真正理解“不足…按照…”這個條件？——是否所有“超出價”的計價數量都是按照這個方法取整？總體來講，車程越長付費越多，但付費是否與車程長的增長成倍數關系（六年級學的正比例關系）？這些關鍵細節的忽略，無疑會使本節課的價值大打折扣。從這節課的實際操作可以看出，關注這些細節，對于學生深入理解“基礎價+超出價”這一數學模型的本質和實際應用的范圍、邊界，無疑是大有裨益的。

2.用動態的眼光看待世界。“3千米以內收費7元”這句話的含義，對于小學生來說無法用靜止的觀點去準確描述。它必須用動態的觀點舉例說明——從0千米至7千米（包括“0千米”和“7千米”這兩個點）在內的任何一個車程點下車，都是收費7元。對于學生以往的數學學習經驗來說，這是第一次出現的“奇葩”問題，但是結合生活實際卻非常容易理解，哪怕你只坐上出租車就立即下車，你也“耽誤”了出租車司機的一單生意，應該給予人家補償，所以仍然要付費7元。而在“超出價”的車程計數中，如果不“取整”就會給計算帶來很大麻煩，一些臨時停車點的停車時間就會超時，造成交通擁堵。因此，分段計費問題在圖象上，表現為分段函數的形式。

3.體會分段計費的公平價值。“3千米以內收費7元”的規定看似不合理，卻對那些隨意打車的人做出了行為限制，讓他們在“不劃算”的心理壓力下，選擇其他更適宜的出行方式，把出租車的服務提供給真正有需要的顧客。而同樣是分段計費，“階梯水費”“階梯電費”的基礎價為什么不實行“包干”價呢？學生根據自己的實際經驗，很快有了正確答案——如果“階梯水費”“階梯電費”的基礎價也實行“包干”價的話，那就會促使本來用不了那么多水和電的小額用戶大量用水和用電——反正都要收那么多錢嘛！這就反而造成了浪費。由此可見，出租車計價當中的“基礎價”規定偏高，正是為了限制低消費，促進出租車業務流向有真正需要的消費群體;而“階梯水費”“階梯電費”等收費規定中“超出價”偏高是為了限制高消費，促進社會厲行節約良好風尚的形成。

“分段計費”這節課，教好數量關系（即數學模型）已屬不易，再加入函數思想的滲透，從而深入理解分段計費的人為干預特性和它在促進社會公平中的巨大價值，無疑就使得這節課的內涵更加豐富了。