關于《高等數學》課程思政案例教學的探究
——以“導數的應用”教學單元模塊為例

王曉晨

遼寧鐵道職業技術學院

導數是《高等數學》課程的重要教學內容，學生學習過程中雖然能夠通過練習達到一般的解決計算問題的能力，但往往在本質理解與實際應用的聯系中缺乏一定的邏輯認識。因此，關于導數內容的教學，可以通過典型的數形結合、數學建模、軟件繪圖等專業方面加以深度挖掘，同時融入課程思政元素，例如勞動教育、辯證統一規律、量變質變規律等。就導數的幾何意義、函數單調性的判定、函數最值的應用、曲線凹凸性的判定這四個導數應用內容進行案例教學設計，從專業學習、課程思政育人、教學創新應用等角度加以分析，助力教學過程更好地開展。

一、曲線的切線

（一）案例：設函數f(x)=x2-1，求該函數在點(2,3)處的切線方程。

【知識點分析】

導數的幾何意義，點斜式直線方程公式。

【答案解析】

解：求導得，f'(x)=2x

由導數的幾何意義知：

函數在點(2,3)處的切線斜率得，k= 2x|x=2=4

則代入點斜式直線方程公式，整理得，切線方程為：

（二）課程思政切入點探析

本案例屬于導數幾何意義的理解及應用，要求學生具備求導計算的能力，通過這類曲線的切線方程的類型題，注重培養學生理論聯系實際的能力，同時要掌握的關鍵點是：當所求題目當中的點是函數圖像上面的點時，才滿足該點處的導數為切線斜率。

（三）教學技能創新導入點

為了增強學生的勞動精神，可以讓學生課后自主研究如何使用數學軟件《MATLAB》繪制出函數的圖像以及切線圖像，通過小組合作的方式，可以舉一反三，編輯相似題目進行習題練習，對于簡單函數的圖像，可以在紙上進行描繪，體現了美育教育與勞動教育相結合的作用。

（四）課外探究與提升

求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程和法線方程。

提示：平面內切線與法線的斜率關系。

二、函數的單調性與極值

（一）案例：求函數y=ex2的單調性和極值。

【知識點分析】

復合函數的求導問題，函數單調性的判定條件，函數極值的求解步驟。

【答案解析】

解：函數y=ex2的定義域為：(-∞,+∞)

計算復合函數y=ex2的導數得，y'=2xex2

令y'=0，解得駐點x=0

由于ex2＞0，則令y'＞0，解得函數的單調遞增區間：(0,+∞)

令y'＜0，解得函數的單調遞減區間：(-∞,0)

且x=0是函數的極小值點，極小值是f(0)=1

函數y=ex2無極大值。

（二）課程思政切入點探析

本案例屬于導數的應用（即利用函數導數的符號關系來判定原函數的單調性的問題），要求學生掌握定理的本質，同時具備抽象的數學理解分析能力，明確事物間的邏輯關系，培養學生獨立思考、探索鉆研的科學精神。

（三）教學技能創新導入點

通過介紹“天問一號”火星探測器升空發射飛向火星過程中的軌道運行情況，讓學生了解我國航空航天事業的領先科學技術進一步增強愛國情懷和文化自信，并且引導學生計算出平面內曲線軌道函數的單調性與極值的問題。

（四）課外探究與提升

求函數y=2x3-3x2-12x+2的單調區間與極值。

三、函數最值的應用

（一）案例1：用一塊邊長為60厘米的正方形鐵皮，按照將四角分別截去面積相等的小正方形，然后折成一個無蓋的鐵盒，請問：當截去的小正方形的邊長為何值時，所得到的鐵盒的容積為最大？

【知識點分析】

求函數的最大值，數學建模構造函數式，柱體的體積公式。

【答案解析】

解：設截去的小正方形的邊長為x厘米，則折成的無蓋鐵盒的體積為V立方厘米。根據題意分析可知，該鐵盒的底面正方形邊長為(60-2x)厘米，高為x厘米，因此根據柱體的體積公式可得：

求導整理得：

令V'=0，解得唯一駐點：x=10

因此，當x=10時，函數取得最大值：V(10)=16000(cm3)=0.016(m3)

答：當截去的小正方形的邊長為10厘米時，所得到的鐵盒的容積最大，最大容積為0.016立方米。

注意：實際問題當中，可以靈活運用單位間的換算關系，便于使結果簡化。

（二）案例2：要用鐵皮做一個容積為16πm3的帶蓋圓柱形桶，問圓桶的底半徑為何值時用料最省？

【知識點分析】

求函數的最小值，數學建模構造函數式，柱體的表面積公式。

【答案解析】

解：設所做圓桶的底面半徑為r，表面積為S，高為h，容積為V。

根據題意，V=πr2h=16π，則得

圓桶用料即圓桶的表面積（上下兩個底圓面積與側面積之和）：

因此，當底面半徑為2 m時，圓柱體的表面積最小。

答：當圓桶的底面半徑為2 m時用料最省，此時圓桶的高為4 m，最省用料為24π m2。

（三）課程思政切入點探析

這兩個案例涉及數學建模的應用意識，需要學生具備理解題目、分析題意、轉化數學問題的綜合應用能力，在思考問題過程中，體現了學習由淺入深、化繁為簡的對立統一規律，強化學生邏輯抽象思維能力及導數的應用計算能力。

（四）教學技能創新導入點

讓學生以小組合作學習的方式，對這兩個案例進行討論式學習，指引學生可以通過動手畫圖的方式分析問題，也可以制作紙板模型直接觀察理解，課后可以思考使用計算機編程進行函數最值的求解，通過這種創新的學習方式，啟發學生思考的興趣和主動學習的意識。

（五）課外探究與提升

想要制作一定容量的正圓錐形容器，容器的高與底面半徑比例如何，所需材料最少？

提示：圓錐體體積公式，圓錐體表面積公式。

四、曲線的凹凸性與拐點

（一）案例：求曲線f(x)=x^4-2x^3+x+1的凹凸性和拐點。

【知識點分析】

計算二階導數，求導法則，曲線凹凸性的判定條件，曲線拐點的計算方法，一元二次不等式的解法。

【答案解析】

解：函數f(x)=x4-2x3+x+1的定義域為：(-∞,+∞)

求導得：f'(x)=4x3-6x2+1

求二階導數得：f'' (x)=12x2-12x=12x(x-1)

令f'' (x)＞0，得曲線的凹區間是(-∞,0)和(1,+∞)

令f'' (x)＜0，得曲線的凸區間是(0,1)

令f'' (x)=0，解得x=0或x=1

根據拐點的定義，可知曲線有兩個拐點：點(0,1)和點(1,1)。

注意：計算中每步都需要檢查，尤其注意根據二階導數符號來判定原函數的凹凸性。

（二）課程思政切入點探析

曲線的凹凸性根據文字的音譯與象形的關系非常直觀易于理解，對于定理的學習同樣可以聯想“凹凸”圖像的方式加以生動傳神的理解記憶。對比凹凸性，可以升華為學習之路有如逆水行舟不進則退，求學攀登之路雖為艱難險阻，確是無限風光在險峰，但切忌驕傲自滿，要不斷學習。

（三）教學技能創新導入點

小組任務項目單：完成曲線圖像的繪制。要求學生進行團隊合作分工，任務一是完成項目分工明細責任清單（即注明任務的工作分解與責任人），任務二是具體完成人的工作任務詳細表（即具體的計算過程），任務三是選派小組代表進行項目完成的總結匯報（即任務完成情況的總結）。通過具體任務的解決，鍛煉了學生應用數學知識解決實際問題的能力，同時也增加了小組團隊合作的互助精神，提升了學生的交流溝通表達能力。

（四）課外探究與提升

求曲線y=xe^2x的凹凸區間與拐點。

高職院校的《高等數學》課程的教學改革應與課程思政同向同行，體現專業與道德品質的雙育人模式，通過數學史的案例導入、數學建模意識的案例融入、數學軟件的案例創新等形式，讓學生增添了學習的興趣、樂趣、積極性、主動性，充分體驗到數學之史、數學之美、數學之思，對于教師而言，在教學研究過程當中，也是收貨頗豐，有助于深入挖掘知識點中所蘊含的本質原理，從而實現教研與科研的雙向互動提升，對于基礎學科的知識體系要不斷鉆研，求真務實，給學生樹立正確的科學技術攀登精神，讓學生懂得科技創新的重要性，堅定學生刻苦學習的意志品質。