從“經(jīng)驗(yàn)操作”到“學(xué)會(huì)推理”

張彥伍 王金發(fā)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，合情的推理就是“從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果”。教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)歷和生活經(jīng)驗(yàn)，通過動(dòng)手操作、觀察，從多角度驗(yàn)證和推理出知識(shí)的規(guī)律，是培養(yǎng)學(xué)生具有良好學(xué)習(xí)能力的方法，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解和提升學(xué)生探究能力。筆者現(xiàn)以人教版四年級(jí)下冊(cè)第五單元《四邊形內(nèi)角和》的教學(xué)為例，談?wù)勅绾谓淌趯W(xué)生從已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行操作，學(xué)會(huì)推理。

一、課例展示

《四邊形內(nèi)角和》是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的。筆者課前對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況做了一個(gè)小測(cè)試。

《四邊形內(nèi)角和》課前探究

問題1：四邊形的內(nèi)角和是（? ? ? ?）度。

問題2：你是如何驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和的度數(shù)？

從學(xué)生對(duì)問題的反饋來看，問題1回答的正確率在90.5%。這說明四邊形內(nèi)角和的認(rèn)知，大部分學(xué)生已經(jīng)知道;問題2（如圖1）從回答情況來看，大部分學(xué)生的驗(yàn)證主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，學(xué)生探究的方法較為單一;第二，學(xué)生從特殊的四邊形中獲得了四邊形內(nèi)角和的度數(shù)。據(jù)此，筆者將教學(xué)的重心“要知道什么？”轉(zhuǎn)為“怎么知道的？”教學(xué)中，重點(diǎn)將引導(dǎo)學(xué)生利用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，借助三角形內(nèi)角和這一結(jié)論，推理出四邊形的內(nèi)角和，并將方法延伸。根據(jù)前測(cè)情況，教學(xué)實(shí)錄如下：

（一）溫故引新，激發(fā)探究

課件出示一個(gè)三角形。

師：上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和，知道了三角形的內(nèi)角和是多少 度？

生：180°。

師：我們是如何發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是180°？

生1：通過量一量，折一折。

生2：還有拼一拼，把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成了一個(gè)平角。

生3：我們還從特殊的直角三角形中得到了三角形內(nèi)角和的度數(shù)。

師：真棒！看來同學(xué)們對(duì)上一節(jié)課的知識(shí)掌握的很好，還能夠記得從特殊中尋找一般的規(guī)律。同學(xué)們請(qǐng)看，像這樣將三角形減去一個(gè)角（如圖2），將會(huì)得到兩個(gè)什么圖形呢？

生：一個(gè)三角形，一個(gè)四邊形。

師：這個(gè)小三角形還有內(nèi)角和嗎？

生：有，還是180°。

師：那這個(gè)四邊形它有內(nèi)角和嗎？是多少呢？這節(jié)課我們就一起來研究四邊形的內(nèi)角和。

（二）遷移經(jīng)驗(yàn)，操作實(shí)踐

師：同學(xué)們，有沒有那么一種四邊形，一看到它，就能知道它的內(nèi)角和？

生：有。

師：它是什么樣的四邊形呢？

生1：我知道它是長(zhǎng)方形，因?yàn)樗乃膫€(gè)角都是直角，90°×4=360°。

生2：正方形也有4個(gè)直角，每個(gè)角是90°，它的內(nèi)角和是90°×4=360°

師：真不錯(cuò)，這樣說來四邊形的內(nèi)角和估計(jì)也應(yīng)該是360°。但是，這只是我們的一種假設(shè)，因?yàn)殚L(zhǎng)方形和正方形是一種特殊的四邊形。是所有四邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是90°嗎？

生：不是。

師：同學(xué)們，特殊四邊形并不能完全說明一般四邊形內(nèi)角和這一規(guī)律，顯然我們還得研究一般四邊形的內(nèi)角和到底是多少度？

師：同學(xué)們，你能借助研究三角形內(nèi)角和學(xué)習(xí)的方法和經(jīng)驗(yàn)，也研究一下一般四邊形的內(nèi)角和嗎？現(xiàn)在小組合作，一起嘗試研究吧。

（小組合作學(xué)習(xí)后匯報(bào)）

小組1：我們小組用量角器測(cè)量了4個(gè)角的度數(shù)，再把它們加在一起，計(jì)算的結(jié)果是75°+105°+75°+105°=360°。

小組2：我們組用的是折一折的方法（如圖3），經(jīng)過折疊后，4個(gè)內(nèi)角拼成了一個(gè)周角，周角的度數(shù)是360°，所以這個(gè)四邊形的內(nèi)角和是360°。

小組3：我們組是把這個(gè)四邊形的四個(gè)角剪了下來，（如圖4）然后把它們拼在一起，也拼成了一個(gè)周角，所以這個(gè)四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：還有其它方法嗎？

小組4：我們組是直接把四邊形撕成四份，把四個(gè)內(nèi)角拼在一起也是一個(gè)周角，所以我們小組得出四邊形內(nèi)角和也是360°。（如圖5）

師：以上小組的匯報(bào)非常精彩，都能運(yùn)用研究三角形內(nèi)角和的方法和經(jīng)驗(yàn)，來研究四邊形的內(nèi)角和，雖然方法不同，但都得出了四邊形內(nèi)角和的度數(shù)是360°。

（三）突破經(jīng)驗(yàn)，嘗試推理

師：同學(xué)們，在剛才的研究中，大家先從特殊的四邊形開始猜想，接著運(yùn)用了量一量、折一折和拼一拼的方法進(jìn)行了驗(yàn)證，這些都是上一節(jié)課學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。我們也熟知三角形的內(nèi)角和是180°這一結(jié)論，也就是說只要有一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和就一定是多少度？

生：180°。

師：同學(xué)們，你能運(yùn)用這個(gè)結(jié)論來研究一下四邊形的內(nèi)角和嗎？想一想，能在這個(gè)四邊形中找到三角形嗎？

（學(xué)生思考）

師：你可以用筆連一連，畫一畫。

（學(xué)生先獨(dú)立完成，再小組交流）

師：剛才老師發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)都已經(jīng)找到了三角形，請(qǐng)同學(xué)們一起看下他們是怎樣連的。（投影出示）（如圖6）

師：從這兩種連線方法我們可以看出，它們都把四邊形分成了兩個(gè)三角形，

一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，兩個(gè)就是180°×2=360°，說明四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：從連線的方法上看，這個(gè)四邊形只要連接不相鄰的兩個(gè)點(diǎn)，就可以連出三角形。我們也可以沿著連線的地方剪開兩個(gè)三角形，兩個(gè)三角形的內(nèi)角和加在一起同樣是360°。你們同意嗎？

生：同意。

師：但老師有疑問了，四邊形原來只有4個(gè)內(nèi)角，這樣剪開后變成6個(gè)角，這是怎么回事呢？你能解釋現(xiàn)在的6個(gè)角就是原來的4個(gè)角嗎？

生：（學(xué)生板演并說明）（如圖7）這兩個(gè)角原本是四邊形的內(nèi)角，剪開后分別是三角形的內(nèi)角了，現(xiàn)在把它拼回來，還是四邊形原來的內(nèi)角。