不同荷載工況下鋼筋混凝土深梁的拓撲優化設計

張鵠志，王 熙，謝獻忠，楊彤麟，范 達

(1.湖南科技大學土木工程學院，湖南 湘潭 411201； 2.湖南科技大學結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201)

鋼筋混凝土深梁[1]作為一種高承載能力構件，在高層建筑轉換層等荷載工況較復雜的部位已得到廣泛應用。但荷載工況的復雜性，也讓深梁的受力機理比一般梁復雜得多，從而造成設計具有較大難度。有時為了方便管道通過可能會在深梁腹部開洞，使其配筋設計變得更為困難[2]。為應對這一問題，美國ACI 318-14《混凝土結構設計規范》[3]推薦壓桿-拉桿模型方法，有不少國內外學者基于這種應力設計方法開展了相應的機理探討[4]和試驗研究[5-6]。而我國GB 50010—2010《混凝土結構設計規范》[7]在附錄G深受彎構件的設計參考條文中給出了參照一般梁并經驗性修正后的設計方法。2種方法中，前者缺乏不同荷載工況條件下的針對性，缺少可靠的壓桿-拉桿模型構建方法，同時實用性也有待提高；后者則力學依據模糊，設計合理性明顯不足。

隨著計算機技術的日新月異，拓撲優化[8-9]的飛速發展和大量相關的應用研究為設計領域打開了一扇門，從早期的基結構法[10]、均勻化法[11]，到變密度法[12]、變厚度法[13]，再到近期的漸進結構優化(ESO)法[14]和固體各向同性材料懲罰模型(簡稱SIMP)法[15]，都展現出良好的工程應用前景。尤其是ESO和SIMP，直觀而穩定的優化進程、高效的進化方式和良好的尋優能力讓它們在眾多拓撲優化方法中脫穎而出，從而關于它們，無論是基于全局尋優能力提升的算法改進[16-18]，還是出于工程設計與優化理論銜接的應用研究[19-20]都成為研究熱點,為鋼筋混凝土深梁的拓撲優化和工程設計提供了一條全新思路。

本文以拓撲優化算法為工具，展開不同荷載工況條件下鋼筋混凝土開洞深梁的拓撲優化和工程設計研究，以期建立合理的力學模型，掌握相應的力學機理，最終能為相關工程設計提供參考。

1 不同集中加載工況下開洞深梁的最優拓撲結構對比

通過逐步刪除低效材料或增加高效材料，使結構向最優化解演化，這是漸進演化類拓撲優化算法尋找結構最優拓撲的基本思想。細化到不同類別時，總體優化目標、刪除或增加單元的準則、優化單元依據的靈敏度以及最優結構判定標準就存在一定差別。例如加窗漸進結構優化(WESO)法[21]，一般以單元應力或應變能密度為靈敏度，設定自適應單元刪除率窗口，在不斷迭代中刪除低效和無效材料，演化出滿足最小自重、最大剛度或應力均勻化等總體目標的結構最優拓撲。

本節以單側開洞深梁為例，主要討論不同加載位置引起的構件最優拓撲結構差別以及相應的力學原因。數值算例均以ANSYS有限元軟件為平臺，選用PLANE82單元對材料的線彈性行為進行模擬，在ANSYS的APDL功能下編寫程序實現WESO，以求得的拓撲解作為對比研究的基本數據。

1.1 基本參數

算例的結構尺寸為2 000 mm×1 000 mm，兩端均設有120 mm寬的固定鉸支座，梁左側腹部開設一個洞口，洞口尺寸為400 mm×400 mm。算例包括5種單點集中加載工況：加載點位于梁頂近洞口側、梁跨中頂部、梁頂遠洞口側、梁跨中腹部以及梁跨中底部，具體構件尺寸參數及荷載工況如圖1所示，加載點下設有100 mm寬的剛性墊塊以防止構件局部承壓破壞。

圖1 單側開洞深梁在不同位置單點集中加載工況下的初始設計域(單位：mm)Fig.1 Initial design domain for deep beams with openings on one side under single-point concentrated loading conditions at different positions (units: mm)

1.2 最優拓撲結構

以圖1(b)工況Ⅱ下的拓撲優化為例，簡述WESO的拓撲優化過程。初始拓撲如圖2(a)所示，圖2(b)～(f)分別為優化至刪除率為17%、34%、44%和58%時對應的拓撲圖，圖2(f)為尋得的最優拓撲(刪除率為92%)。由圖2(a)(b)(c)可以看出，優化初期主要集中在右端的頂部和跨中的下腹，緊接著開始優化左端頂部和右側底部；從圖2(d)(e)可以看出，隨著迭代次數增加，拓撲結構顯著沿著壓力和拉力的傳遞路徑向桿系結構演化，至圖2(f)所示的最優拓撲結構，右側部分已完全演化為一根斜直壓桿，左側受洞口影響，演化出瓶形組合壓桿。

圖2 單側開洞深梁在單點集中加載工況Ⅱ下的拓撲優化過程Fig.2 Topology optimization process of deep beam with opening on one side under single-point concentrated loading condition Ⅱ

其他工況下的最優拓撲結構如圖3所示。從圖3可以看出，不同的單點集中加載工況下最優拓撲結構均顯著表現為由直桿組合而成的桿系結構，這在反映結構內部最直接傳力路徑的同時，也為建立闡釋其受力機理的壓桿-拉桿模型等力學模型提供了參考依據。

圖3 單側開洞深梁在其他單點集中加載工況下的最優拓撲結構Fig.3 Optimal topology structures of deep beams with openings on one side under other single-point concentrated loading conditions

1.3 壓桿-拉桿模型

圖4為依據第1.2節最優拓撲結構建立的壓桿-拉桿模型。從圖4(a)(b)(c)可以看出，當深梁承受頂部的集中荷載時，梁體內均以壓力形式分別向兩端底部的固定鉸支座傳遞，未開洞的右側即為斜直桿，受開洞影響而無法直接傳遞壓力的左側則構造變換出從洞口兩側分化傳遞的折線壓桿，僅圖4(a)工況Ⅰ下因繞過洞口右下方的折線壓桿向左端底部固定鉸支座傳力有一定困難，因而表現出一些局部特性，即在集中加載點附近的梁頂區域形成類Michell桁架體系以幫助這根洞口右下方的折線壓桿的傳力。從圖4(d)可以看出，當深梁承受跨中腹部的集中荷載時，由左側繞過洞口左上方的折線壓桿、頂部的弧形壓桿和右側的斜直壓桿構成一個主受壓結構，跨中腹部的集中荷載通過傘狀拉桿懸吊在這個主受壓結構上，而洞口右下方因還存在直接向左端底部固定鉸支座直接傳遞部分壓力的條件，故留有一條次要折線壓桿。從圖4(e)可以看出，當深梁承受跨中底部的集中荷載時，在洞口上下各形成了一道近似壓拱的結構，集中荷載則通過傘狀拉桿懸吊在這兩道近似壓拱結構上。

(虛線表示拉桿；實線表示壓桿)圖4 單側開洞深梁在不同位置單點集中加載工況下的壓桿-拉桿模型Fig.4 Strut-and-Tie models of deep beams with openings on one side under single-point concentrated loading conditions at different positions

1.4 最優拓撲結構差異原因分析

Michell準則通常被視為結構獲取滿應力狀態的理論描述，其認為滿應力解中2個主應變同號的點，可在其鄰域內沿任意方向布置桿件；2個主應變異號的點處的桿件必須正交。由此，Michell桁架解須滿足所有相交的壓桿和拉桿保持正交。圖5(a)和(b)分別為跨高比為2的兩端固定鉸支深梁(未開設洞口)在跨中梁頂和跨中腹部作用集中荷載的Michell桁架解。

圖5 跨高比為2的兩端固定鉸支深梁 單點加載時的Michell桁架解Fig.5 Michell truss solutions of deep beams supported by fixed hinge at both ends with pan height ratio of 2 and single-point loading

由圖5(a)可知，集中荷載作用在梁頂時形成的Michell結構為三角桁架，即荷載以壓力的形式從加載點向兩端支座直接傳遞，因而圖4(a)(b)(c)的右側均表現為這樣的傳力方式，而它們的左側則因洞口的存在而無法直線傳力，則完成相應的力學構造變換，以瓶形組合壓桿的形式代替三角桁架中的直壓桿。仔細觀察圖4(a)(b)(c)的差別可以發現，圖4(b)左側洞口上下的折線壓桿基本關于洞口對稱，故該側的瓶形組合壓桿也表現為軸對稱形態；圖4(c)左側洞口右下方的折線壓桿更接近直線，因而成為該側的主壓桿，故該側的瓶形組合壓桿也表現為偏向右下方的不對稱形態；而圖4(a)不僅左側洞口左上方的折線壓桿更接近直線，成為該側的主壓桿，而且洞口右下方的折線壓桿回折的角度較大，使其向左端底部固定鉸支座傳遞壓力的能力極其有限，隨之在洞口上方演化出一個水平梭形的類Michell桁架體系來跨越洞口，同時也保障兩側主壓桿的傳力角度。由此可見，圖4(a)(b)(c)均為從Michell結構變換而得的力學體系。

由圖5(b)可知，集中荷載作用在梁腹時形成的Michell結構為以兩側斜直壓桿和頂部弧形壓桿為主壓桿，輔以加載點至該主壓桿的傘狀拉桿組成的桁架體系。顯然，圖4(d)十分接近該Michell結構，僅左側洞口右下方表現出局部與圖4(b)類似的折線壓桿特征。而且根據集中荷載作用點從跨中梁頂向跨中梁腹移動所引起的從圖5(a)向圖5(b)的變化，不難推斷集中荷載作用在梁底時形成的Michell桁架解為主拱圈輔以加載點至該主拱圈的傘狀拉桿組成的體系，且圖4(e)正符合這樣的Michell結構。

2 不同荷載集度工況下開洞深梁的最優拓撲結構對比

以第1節的單側開洞深梁為算例，探討降低荷載集度，即從集中荷載逐漸向均布荷載轉化引起的構件最優拓撲結構的差別及相應的原因，分析及優化參數均與第1節相同。

算例包括3種不同的荷載集度工況，分別為2點集中加載工況(每點集中荷載大小為79.7 kN)，3點集中加載工況(每點集中荷載大小為51.6 kN)與均布荷載工況(荷載大小為106.4 kN/m)，并與圖1(b)所示的單點集中加載工況進行對比，荷載值的選取是出于跨中彎矩等效的原則，具體構件尺寸參數及荷載工況如圖6所示，未表明的其他參數均與第1節相同。

圖6 單側開洞深梁在不同荷載集度工況下的初始設計域(單位：mm)Fig.6 Initial design domain for deep beams with openings on one side under different load concentration conditions (units: mm)

圖7為單側開洞深梁在不同荷載集度工況下的最優拓撲結構，圖8為依據這些最優拓撲結構建立的壓桿-拉桿模型。比較圖2(f)和圖7可以看出，隨著梁頂荷載集度的降低，深梁內部傳遞荷載至兩端支座的主受壓結構從桁架結構向拱結構轉化，當某側的主壓桿受到開洞影響時，則構造變換出瓶形壓桿在該口兩側繞過該洞口，以保證該側的壓力傳遞。由圖5(a)中給出的梁頂單點集中加載工況下的Michell桁架解，再結合節點力的平衡關系可以推斷，在主受壓結構上，每一點集中力的匯入，在其作用處形成一個節點，即改變該處壓桿的角度。因此，從圖4(b)到圖8，壓桿-拉桿模型從桁架結構向拱結構轉化的原因就比較清楚了，而關于在洞口附近構造變換出瓶形壓桿的原因在第1.3節和第1.4節已進行了相應的解釋，此處不再贅述。

圖7 單側開洞深梁在不同荷載集度工況下的最優拓撲結構Fig.7 Optimal topology structures of deep beams with openings on one side under different load concentration conditions

(虛線表示拉桿；實線表示壓桿)圖8 單側開洞深梁在不同荷載集度工況下的壓桿-拉桿模型Fig.8 Strut-and-Tie models of deep beams with openings on one side under different load concentration conditions

3 不同荷載工況條件下鋼筋混凝土深梁設計建議

利用漸進演化類拓撲優化算法獲取深梁在不同荷載工況下的最優拓撲結構，并據之建立相應的壓桿-拉桿模型，同時分析也表明這些力學模型都是出于滿應力分布，滿足Michell準則的最優化結構，從而使鋼筋混凝土深梁的設計有了可參考且可靠的力學依據，以下給出具體設計建議：

a.當有較大的單點集中荷載作用在鋼筋混凝土深梁頂面時，應在加載點與支座連線上設計配筋加強的斜直壓桿。當梁體上開設了洞口且該洞口又阻礙了加載點與支座連線上斜直壓桿的設置時，又分為2種情況：(a)加載點在洞口近端，這種情況下可以小幅增大斜直壓桿的傾角α，同時在洞口上方設置類過梁區連接主壓桿的頂端，如圖9(a)所示，由此規避洞口對配筋的影響，保證壓桿的直線傳力；(b)加載點離洞口有一定的距離，這種情況下可將與洞口同側的加載點至支座連線上的壓桿設計成涵蓋洞口的瓶形壓桿，如圖9(b)所示，但此時洞口內側上方和外側下方的箍筋或斜拉鋼筋要進行構造加強。

b.當單點集中荷載作用在鋼筋混凝土深梁腹部或底部時，應在作用點布置向上的傘狀受拉鋼筋，如圖9(c)所示。

c.當單點集中荷載作用在鋼筋混凝土深梁下腹或梁底，又或者均布荷載作用在鋼筋混凝土深梁上時，特別是后者，應在梁體內設置一道甚至多道暗藏主拱圈來受壓，如圖9(d)所示；當梁體上開設洞口影響了主拱圈直接傳力時，受影響的拱圈部分可等代為組合壓桿，形成拱-組合壓桿的受壓組合體系，如圖9(e)所示。

圖9 不同荷載工況條件下鋼筋混凝土深梁設計建議Fig.9 Design suggestions for RC deep beams under different load conditions

此外，漸進演化類拓撲優化算法從構件內部傳力機制出發，設計的配筋多集中在彈性應力較大的部位，出于對構件彈塑性受力特性的考慮，同時從正常使用極限狀態的角度出發，在優化設計的“空白處”還需要添加一些最低構造要求的分布鋼筋。

4 結 論

a.利用漸進演化類拓撲優化算法可以尋得不同荷載工況條件下鋼筋混凝土深梁的最優拓撲結構，依據這些最優拓撲結構可以建立起壓桿-拉桿模型，且經證明，這些最優拓撲結構和壓桿-拉桿模型均較為符合滿應力分布的Michell結構。

b.單點集中荷載作用在鋼筋混凝土深梁頂面時，最優拓撲結構表現為通過最短直線壓桿向支座傳力的形態；單點集中荷載作用在鋼筋混凝土深梁底部時，最優拓撲結構為主壓拱和在該拱上懸吊集中力的傘狀拉桿。當梁體上開設洞口影響了壓桿的直線傳力時，則可將直壓桿構造變換成受力等效的，繞過洞口的瓶形壓桿。

c.隨著鋼筋混凝土深梁上荷載集度的降低，最優拓撲結構從桁架結構向拱結構轉化。

d.可以依據漸進演化類拓撲優化算法的結果，按不同的荷載工況條件在鋼筋混凝土深梁內部設計隱藏的受壓加強構件或配置有針對性的受拉鋼筋，從而完成不同荷載工況條件下鋼筋混凝土深梁的工程優化設計。