基于知識關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)思維脈絡(luò)

蔣安娜 劉洋

摘要：數(shù)學教學可以基于知識關(guān)聯(lián)設(shè)計體現(xiàn)思維脈絡(luò)的問題鏈，驅(qū)動學生自主探究、有序思考，建立知識體系，學會思維方法。教學《分式》一課，基于分式與分數(shù)及整式的關(guān)聯(lián)，設(shè)計體現(xiàn)類比思想以及一類代數(shù)對象研究基本路徑的問題鏈。這樣的問題鏈設(shè)計還體現(xiàn)了“關(guān)注學生的數(shù)學現(xiàn)實，以更好地促進學生對數(shù)學本質(zhì)的理解”“立足感性經(jīng)驗的積累，逐步建立抽象概念”的立意。

關(guān)鍵詞：《分式》;問題鏈;知識關(guān)聯(lián);思維脈絡(luò);類比

數(shù)學學科以邏輯嚴謹、結(jié)構(gòu)清晰等特點著稱，數(shù)學結(jié)構(gòu)所體現(xiàn)的數(shù)學對象之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)反映了數(shù)學學科的基本思維方法——從喻平教授提出的CPFS結(jié)構(gòu)理論的角度看，就是網(wǎng)絡(luò)中知識點之間的“連線集”是一個“方法系統(tǒng)”。因此，數(shù)學教學可以基于知識關(guān)聯(lián)設(shè)計體現(xiàn)思維脈絡(luò)的問題鏈（序列），驅(qū)動學生自主探究、有序思考，建立知識體系，學會思維方法。教學浙教版初中數(shù)學七年級下冊《分式》一課時，筆者便嘗試運用了這一思路。

一、教學內(nèi)容分析

從算術(shù)到代數(shù)，從數(shù)及其運算到式及其運算，研究對象更具有一般性了，但其本質(zhì)并沒有變，因此，兩者之間有很多相同和相似之處。就像分數(shù)是整數(shù)基礎(chǔ)上數(shù)系的一次擴充，因不夠分（除不盡）而產(chǎn)生一樣，分式是整式基礎(chǔ)上代數(shù)式的一次擴充，也因無法整除而產(chǎn)生。“類比思維是指，在A、B兩個或兩類對象之間存在某種相同或相似的屬性或特征，由已知的A及其相關(guān)的屬性推出未知的B需要研究的問題以及可能具有的屬性。”因此，我們可以基于分式與分數(shù)及整式的關(guān)聯(lián)，設(shè)計體現(xiàn)類比思想以及一類代數(shù)對象研究基本路徑的問題鏈，引導學生學習。

二、問題鏈設(shè)計

問題1過去我們學過整式概念以及整式運算等知識，你能寫出一些整式，然后用整式運算編一些題嗎？同桌之間把編好的題交換著做，比一比誰對得多。

這是一個起點性問題，目的在于利用已知的整式引出分式的形式，體現(xiàn)了對分數(shù)產(chǎn)生過程的類比。讓學生自己舉出整式的例子，編題給同桌做并與同桌比賽，能較好地激發(fā)他們的學習熱情，使他們快速地投入學習。這中間肯定會出現(xiàn)兩個整式除不盡的情況，便會引起學生的認知沖突，甚至有些學生還會抱怨同桌編了一道無法除盡的題，這就為引出分式的形式提供了契機。具體來說，當學生發(fā)現(xiàn)兩個整式除不盡時，教師可以先將這樣的式子全都抄寫在黑板上，如實際教學中給出了b÷a、7÷p、（2x-3）÷4x、x÷（2y-1）等式子，再引導學生回憶之前的學習經(jīng)驗，這便自然地產(chǎn)生了問題2（含問題21和問題22）。

問題2在過去的學習中是否也碰到過除不盡的情況？是怎么處理的？

問題21在數(shù)的除法的學習中是否也出現(xiàn)過除不盡的情況？能舉例說一說嗎？

問題22為了解決這種除不盡的問題，是如何處理的？

問題2的主要目的在于激活學生已有的分數(shù)學習經(jīng)驗，從而為通過類比引入分式概念提供思路與方法。問題21和問題22是問題2的輔助問題（子問題），提供了一些分步的、具體的提示。具體地，學生在小學學習自然數(shù)的除法時，面臨過兩個自然數(shù)除不盡的情況，其中一種處理方法就是引入分數(shù)概念。這最終導致了數(shù)系的進一步擴充。而進一步的事實是，為了追求運算的完備性，數(shù)學中經(jīng)常會拓展數(shù)系。學生通過回憶上述學習經(jīng)驗，能自然地聯(lián)想到，面對整式除不盡的情況，也可以進一步拓展“代數(shù)式”的概念。

問題3根據(jù)問題2激活的經(jīng)驗，你會如何處理問題1解決過程中出現(xiàn)的除不盡的情況？能試一試嗎？

問題3試圖讓學生將通過引入新數(shù)解決自然數(shù)除不盡問題的方法遷移到整式除不盡的情況中，并仿造分數(shù)的表示方法表示整式除不盡的結(jié)果，如ba、7p、2x-34x、x2y-1等。在此基礎(chǔ)上，讓學生琢磨“自然數(shù)除不盡后引入分數(shù)”這句話，說出“整式除不盡后引入分式”，使得“分式”這一數(shù)學“名字”自然產(chǎn)生。

問題4結(jié)合黑板上的例子，這些被我們稱為“分式”的代數(shù)式有什么共同的特點？

問題4的目的是引導學生結(jié)合例子，進一步歸納“分式”的本質(zhì)屬性，從而由對“名字+例子”的理解進一步上升到對內(nèi)涵的把握。

問題5下列代數(shù)式中，哪些是整式，哪些是分式？觀察這些式子，你認為分式和整式最主要的區(qū)別是什么？32、b-32a+1、m（n+p）7、45b+c、m7、x2-xy+y22x-1、3π。

問題5的目的既是對分式概念的鞏固與應(yīng)用，也是通過比較、辨別使得分式概念與整式概念得到更精細的區(qū)分。這對學生知識結(jié)構(gòu)的形成是極為必要的。

問題6 既然分式與分數(shù)有著一定的相似性，那么，分數(shù)的學習主要包括了哪些內(nèi)容？你覺得分式的學習應(yīng)該包括哪些內(nèi)容呢？

問題6的目的在于為分式學習建立一個基本框架，一方面使后續(xù)的學習目標更為明確，另一方面也是為后面的學習提供思維方法的啟發(fā)。面對這一問題，學生會提出如分數(shù)中分母的限制、分數(shù)大小的比較、分數(shù)的運算等內(nèi)容，并認為這些方面也是分式學習的內(nèi)容。當然，有些內(nèi)容并不需要在本節(jié)課研究，由此可以提出問題7—問題9，引導學生研究。

問題7分式中分母上的字母有怎樣的限制？請結(jié)合之前的例子說一說。

問題8分式1-x4x-8、3x-9x-2什么時候有意義？什么時候等于0？

問題9若當x=2時，分式x-ax+b沒有意義，你能獲得什么結(jié)論？

問題7—問題9通過與分數(shù)概念的比較，引導學生發(fā)現(xiàn)分式概念中伴隨著用字母表示數(shù)而來的新問題，從而自然引出分式有無意義、分式什么時候值為零的相關(guān)知識，給學生提供了縱向深化的視角，讓學生提升對分式概念的理解。而問題8和問題9也注意有機地植入對學生理解分式概念的評價，體現(xiàn)問題鏈教學“評價的伴隨性”特點。

問題10這節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？是如何得到這些內(nèi)容的？你覺得我們還將學習分式的什么知識？

問題10除了引導學生回顧本節(jié)課的核心內(nèi)容之外，還重視對數(shù)學對象探究過程以及方法的回顧，試圖為學生建立探索問題的框架與脈絡(luò)。具體地，希望學生類比整式學習所涉及的方面，為分式的學習建立一個整體性的框架與脈絡(luò)，理解分式的學習要包括分式的概念、分式的性質(zhì)、分式的運算等內(nèi)容。

三、進一步的立意

上述基于知識關(guān)聯(lián)、體現(xiàn)思維脈絡(luò)的問題鏈設(shè)計還體現(xiàn)出以下兩點立意：

一是中學數(shù)學教學中，問題鏈的設(shè)計要關(guān)注學生的數(shù)學現(xiàn)實，以更好地促進學生對數(shù)學本質(zhì)的理解。強調(diào)聯(lián)系學生的生活現(xiàn)實（相當于弗賴登塔爾所說的“橫向數(shù)學化”），是我國當前數(shù)學教學改革的一個重點。但是，數(shù)學教學除了聯(lián)系學生的生活現(xiàn)實之外，還要聯(lián)系學生的數(shù)學現(xiàn)實（相當于弗賴登塔爾所說的“縱向數(shù)學化”）。雖然聯(lián)系學生的生活現(xiàn)實，有效地加強了數(shù)學的具體性和直觀性以及學習的體驗性和趣味性，但是隨著數(shù)學學習的深入，知識的密集性和關(guān)聯(lián)性不斷加強，不斷積累的數(shù)學現(xiàn)實能給學生的“前概念”“前經(jīng)驗”提供更大的發(fā)揮空間。因此，中學數(shù)學教學中，教師要特別注意選擇從學生已有的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，通過滲透類比、歸納、演繹等數(shù)學思維方法，設(shè)計飽含“數(shù)學味”的問題鏈。比如，雖然分式與整式一樣，也是表示現(xiàn)實情境中數(shù)量關(guān)系的常見數(shù)學模型，但是為了突出數(shù)學的知識結(jié)構(gòu)、思想方法，上述問題鏈設(shè)計選擇從整式、分數(shù)、除法運算等學生的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)。

二是受初中學生認知水平的限制，數(shù)學問題鏈的設(shè)計要立足感性經(jīng)驗的積累，逐步建立抽象概念。變式是數(shù)學問題鏈設(shè)計的一種重要方式，即通過變換數(shù)學對象的非本質(zhì)特征來突出數(shù)學對象的本質(zhì)特征。上述問題鏈設(shè)計始終貫徹這一思想。比如，問題1—問題4的研究，讓學生先通過整式運算的舉例得到分式的一些例子，再結(jié)合這些例子提煉出分式的內(nèi)涵。再如，問題7—問題9的研究，讓學生借助所舉的具體例子分析，深化對分式概念的理解，慢慢建立起感性經(jīng)驗與抽象概念之間的聯(lián)系。

總之，數(shù)學問題鏈就像一條紐帶，將數(shù)學知識體系中的關(guān)鍵要素和思想方法有序地連接起來，充分地體現(xiàn)出來。在具體設(shè)計時，需要注意數(shù)學關(guān)聯(lián)的分析與數(shù)學思維的滲透，并根據(jù)不同的教學功能呈現(xiàn)多樣的問題鏈，從而促進學生自然、深入地探究學習。

參考文獻：

[1] 唐恒鈞，張維忠.數(shù)學問題鏈教學的內(nèi)涵與特征[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）.

[2] 傅贏芳，喻平.CPFS結(jié)構(gòu)理論及其對數(shù)學概念教學的啟示[J].教育研究與評論（中學教育教學），2020（6）.

[3] 馬波，鄧文紅，張曉東.類比——中學數(shù)學有效教學的重要方法[J].數(shù)學通報，2013（9）.

[4] 張奠宙，林永偉.關(guān)于“現(xiàn)實數(shù)學”和“數(shù)學現(xiàn)實”[J].數(shù)學教育學報，2008（2）.

[5] 鮑建生，黃榮金，易凌峰，等.變式教學研究[J].數(shù)學教學，2003（1）.