大概念視角下的初中數學單元整體教學設計 ①——以函數為例

斯海霞 葉立軍

(杭州師范大學經亨頤教師教育學院 310018)

新一輪課程改革以發展學生學科核心素養為導向，這促使著課程教學設計從關注單個知識點、課時轉向關注單元整體設計[1][2].單元整體教學設計的難點在于以何作為統合單元的支架，如何將學科素養落實到單元及具體課時中，對此，國內外學者皆將目標指向“學科大概念”[3]～[6]，提出學科大概念是對學科知識的精煉和整合，是引導學生深入挖掘學科本質，促成知識理解、素養培育落地的錨點.因此，研究認為大概念視角下的單元整體教學設計需以明確的學科素養培育為指向，通過深入研究課程標準、學科知識特征及學情，提煉學科大概念，重組和優化教材內容，以形成相對完整、內在關聯、目標一致的整體教學單元[7][8][9].

當前單元整體教學設計在國內中小學數學教學中受到了廣泛重視[7]，但以學科大概念為中心的單元設計路徑并不統一[7][10]～[14]，小學階段主要借鑒逆向教學設計或科學-寫作啟發式教學設計思路[15]，初中階段雖有大概念為統攝，但其設計路徑并不聚焦如何提煉大概念.且上述單元教學設計中皆未體現如何將學科素養落實到單元及具體課時中.事實上，科學-寫作啟發式教學是科學學科論證式教學的一個子類，其教學設計是典型的以大概念為中心的單元教學設計.這類設計需經歷制作單元概念圖、確定大概念及子概念、規劃與大概念及其子概念相一致的學習活動這三個步驟[15].數學學科知識具有嚴密的邏輯性與層級性，數學學科大概念是學科知識的精煉，屬于上位概念，適合通過概念圖進行確定.因此，研究主要借鑒科學-寫作啟發式單元教學設計思路[15]，同時結合已有相關設計研究經驗，探析如何突出以數學核心素養培育為指向，系統設計以學科大概念為錨點的初中數學單元整體教學.

1 單元整體教學設計路徑

借鑒上述已有相關研究中的單元教學設計路徑，明確學科核心素養指向下，以學科大概念為中心的單元整體教學設計需要經歷前期分析與開發設計兩個環節.

圖1 單元設計路徑示意圖

如圖1所示，前期分析環節共三步，第一步明確具體的學科核心素養指向，結合課標中內容要求，提煉學科大概念及關鍵概念，其中關鍵概念是大概念的細化和延伸[16]；第二步規劃與大概念及其關鍵概念相一致的大任務或大概念，并結合學情確定單元教學目標；第三步通過對不同版本教材中大概念統攝下的相關單元編排分析，明確素養培育指向下的單元教學主題及結構.開發設計環節指針對前期分析中的單元目標及主題，設計相應的學習子任務、學習活動及評價活動.

2 指向建模素養的函數大概念單元整體教學設計

2.1 明確素養指向與課標要求，提煉學科概念圖

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“高中數學課標”)首次明確提出六大數學核心素養，其中數學建模素養的提升已成為全世界中小學數學教育的一個重要目標，但如何將其整合到數學教學過程中仍缺乏共識[17].我國高中數學課標將數學建模作為內容主線突出強調，并在新版高中數學教材中將其單獨成章或冊，以便教師開展相應教學.《義務教育階段數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱“義教數學課標”)雖也強調培養學生的模型思想，將其作為十大核心概念之一，但教材并未設計相應專題，如何將建模素養培育融入初中數學教學仍在探尋.

事實上，數學建模素養在初中數學幾大內容領域教學中皆有滲透，且在“數與代數”領域尤為清晰，如方程模型、函數模型等.為此，研究選擇“數與代數”內容為設計對象，并基于義教數學課標第三學段內容要求，繪制圖2所示“數與代數”內容概念圖，以明確概念之間的層次與聯系[18]，提煉該內容領域在數學建模素養指向下的大概念.具體繪制步驟如下：1)根據義教數學課標“數與代數”內容標準選定基本知識作為概念圖節點；2)根據“數與代數”領域內容劃分及知識概況性程度確定層級，連接各層級概念節點，并在連線上標明概念之間的關系，即連接詞.

課標中“數與代數”內容領域原為三塊，即數與式、方程與不等式、函數.其中方程、不等式、函數是初中階段表示數量相等關系、不等關系、變化關系的重要數學模型.而數與式分為數與代數式，代數式是對現實問題中的量進行抽象的模型，且包含數.因此，在數學建模素養指向下，研究提取的“數與代數”內容領域的學科大概念為代數式、方程、不等式、函數.如圖2所示，這四個大概念最終都指向構建相應模型，即構建分式方程、不等式、方程、函數模型解決問題.

圖2 “數與代數”內容領域概念圖

2.2 解析概念圖層級關系，聚集函數大概念及其關鍵概念

初中函數是代數式、方程、不等式三大概念的集成[19]，它研究變量之間的依賴關系.變量是辯證性概念，學生理解函數需達到辯證思維水平[20]，但學生在初中階段概念形成水平又較低，因此函數成為初中數學最難教、最難學的概念之一[21].為更好地突破初中數學教學難點，落實數學建模素養培育，研究將以大概念“函數”為錨點設計單元整體教學.

在圖2函數各下位概念中，變量是理解函數概念的基礎，但出現頻率最高的是函數概念、函數表征(包括三類特殊函數)及用函數建模，皆出現4次，其次為出現3次的函數性質(三類特殊函數的性質).函數表征中的圖象是研究函數性質的主要載體，且通過函數表達式，可將函數與代數式、方程、不等式進行關聯.因此，研究將函數大概念的關鍵概念確定為函數表征、函數性質及用函數建模，其相應的大任務則為理解“什么是函數的本質？”“如何研究函數性質？”以及“如何用函數建立模型解決問題？”.

2.3 基于學情與教材分析，確定單元學習目標及結構

2.3.1 基于學情與任務驅動，明確單元學習目標

已有關于初中生函數學習認知特征的研究表明[19][20][22]，初中生對函數概念的理解在認知上存在困難，在實際教學中可通過強調以下三點來突破難點：首先，理解變量.通過對一些熟悉的客觀事例進行分析理解變量；通過繪制圖象、列表，直觀呈現變量的變化過程，進而理解變量之間的相依關系.其次，突出關系.引導學生體會變量之間的制約性，建立函數模型；且為避免學生將函數與表達式等同起來，需強調函數表達式是建立函數模型的重要形式，但不限于表達式，列表法與圖象法都可以表示函數，通過歸納三種表達形式的共性揭示初中函數本質.再者，區別函數與代數式、方程、不等式.代數式可以看作是帶有變量的函數表達式，解方程是求已知函數滿足一定條件的變數值，解不等式是求已知函數滿足一定條件的變數值范圍.

基于上述學情分析與函數學習大任務驅動，研究將數學建模素養指向下的函數大單元學習目標設計如下：

函數大單元學習目標 (1)理解變量:能通過對現實問題情境的分析,理解變量以及變量之間的依賴關系;(2)理解函數本質:通過分析表示現實情境下變量關系的表達式、圖象及列表(沒有表達式),歸納其共性以揭示函數本質,即表示變量之間的依賴關系;理解表達式是表征函數的重要形式,但不是唯一方式;通過與相應的方程、不等式進行聯系,促進概念聯結,深化函數理解.(3)掌握函數研究方法:從函數本質出發,分析并歸納得出一次函數、二次函數、反比例函數的概念;知道且會用函數圖象研究函數性質;(4)發展數學建模素養:通過經歷現實問題分析、建立函數模型,并應用函數解決實際問題的過程來發展數學建模能力.

2.3.2 基于教材比較分析，提煉單元主題及結構

函數是解決現實問題的數學模型，為實現從單元整體到局部課時設計皆滲透對學生數學建模素養的培育，其課程教學設計應以實際問題的完整解決帶動函數單元教學，使學生在函數學習的一開始就對函數產生整體性的認識，再借助圖象對函數性質進行深入研究，解決實際問題，即設計“總-分-總”型[13]函數學習路徑.研究結合上述教學突破點，提煉“理解變量”、“突出關系”、“聯系方程與不等式”、“‘總分總’結構強化素養培育”四個指標，對國內目前使用較廣的五版初中數學教材中函數單元的編排進行分析，以便更好地明確函數單元主題及結構，達成學習目標.

表1 五版初中數學教材函數編排結構比較分析

表1顯示五版教材中只有人教版的函數單元編排強調了“理解變量”、“突出關系”、“聯系方程與不等式”及“‘總分總’結構強化素養培育”.且僅人教版按“函數→一次函數→二次函數→反比例函數”順序編排章節，其它版本教材皆為“函數→一次函數→反比例函數→二次函數”.函數解析式是函數重要的表達形式，一次函數與二次函數表達式皆為整式；按一次函數、二次函數順序學習有助于學生類比一元一次方程、一元二次方程學習函數.基于上述分析，建模素養指向下的函數大概念單元主題為“函數”、“一次函數”、“二次函數”及“反比例函數”，且借鑒人教版章順序編排.考慮到學生在九年級已具備一定的形式推理能力，因此仍將“一次函數”(含變量及函數)編排在八下，“二次函數”、“反比例”皆編排在九年級.但具體章節且問題設計相比人教版有調整，如考慮前后章節連貫性及學習難度，刪除原人教版《函數圖象》的內容.

具體地，研究設計如圖3所示的“總—分—總”型函數單元整體教學結構.首先，為避免學生將函數與函數解析式等同，在函數概念形成時引導學生分析現實情境中的變量，以及表示變量依賴關系的表達式、圖象與列表(沒有表達式)；在通過歸納共性建立函數模型后，隨即引導學生利用函數模型解決之前現實情境中待解決的問題.此后，三類特殊函數的教學分別引導學生從理解函數本質入手，進而歸納得到三類特殊函數的一般表達式，并解決導入情境下的實際問題；且為更好地借助函數模型解決問題，設計引導學生從圖象入手研究函數性質，為后續利用函數模型解決更為復雜的問題做準備；最后將函數與方程、不等式進行關聯，以提高學生對代數領域的整體認知，深化函數理解.

圖3 函數大單元結構設計圖

2.4 以大任務為驅動，設計單元學習活動與評價

由圖3可知，函數單元設計中三類特殊函數“一次函數”、“二次函數”、“反比例函數”的學習路徑相似.由于“函數”概念課時較少，可將其融入“一次函數”單元，研究以“一次函數”單元設計為例，呈現如何設計大任務下的子任務及學習、評價活動.該單元的學習目標只需要將上述函數大單元目標中的(3)與(4)聚焦在一次函數上.

“一次函數”單元設計將遵循上圖3中的設計路徑，先引導學生理解變量與函數概念，再從揭示變量依賴關系入手，歸納得出一次函數概念，并通過一次函數圖象深入研究函數性質以更好地解決實際問題；最后聯系一次函數與方程、不等式，以深化對函數本質的理解.表2中“一次函數”各子主題學習活動設計呈現“總分總”型結構，即引導學生在單元整體到局部課時的學習中皆經歷數學建模全過程，逐步滲透數學建模素養的培養.學習評價主要考察學生在理解函數相關概念的同時，其數學建模素養的水平(四水平)[23]，即能用數學語言表征變量之間的依賴關系建立函數模型→能在實際情境中建立函數模型，并嘗試運用函數性質解決實際問題→能在實際情境中建立函數模型，并嘗試基于現實背景驗證模型和完善模型，并最終解決實際問題→能在實際情境中建立相應的函數、方程、不等式模型，結合實際情境探索比較函數、方程、不等式的聯系與區別，進而解決實際問題.詳見表2.

表2 一次函數單元設計

續表

3 單元整體教學設計啟示

3.1 以大概念為錨點，揭示數學知識整體結構及本質

數學概念(知識)之間具有嚴密的邏輯關系，且能按一定的層次網絡結構進行組織[24].研究以建模素養為指向，根據課標內容要求建構概念圖，以揭示意義建構下“數與代數”領域，從具體到一般的概念間的層級關系及相互滲透的網狀關系[25].教師可借助概念圖提煉學科大概念及其關鍵概念，明晰學科知識結構體系.研究建模素養指向下的函數單元教學設計路徑，亦可引導教師以大概念為錨點連接課程與課時[26]，將對知識結構體系及本質的理解融入單元教學設計中，進而引導學生理解概念本質，掌握學習方法，發展學科核心素養.

3.2 堅持素養為指向，實現課程、教學與評價的一致性

研究第一步基于課標內容要求與素養指向，通過構建概念圖提煉了函數大概念及其關鍵概念，并確定學習任務；第二步根據函數概念特征及學情分析，在任務驅動下明確指向概念理解與數學建模素養培育的學習目標；第三步以“理解變量”、“突出關系”、“聯系方程與不等式”、“‘總分總’型強化建模素養”為指標，分析了國內五版教材編排特征，進而設計素養指向下的函數單元結構與活動.上述設計過程始終堅持以學生數學建模素養培育為指向，以學科大概念為錨點，通過函數“總分總”型單元整體設計過程，實現課程、教學與評價的一致性.這不僅回應了素養指向下數學課程建設實施的基本問題，亦是促進初中數學課堂落實素養培育的重要途徑.

3.3 以設計單元整體教學為載體，促進教師專業發展

教師專業發展的核心是獲得專業教學實踐性知識[27]，具體表現為教師具備專業的教學設計能力、課堂教學能力及教學反思能力[28].依循上述單元整體教學設計路徑設計教學，可助推教師專業發展[29].首先，上述設計路徑為教師設計單元整體教學提供方法參考.其次，課程、教學與評價一致的單元教學設計，更有利于教師切實開展素養指向下的單元教學與評價，提升教師課堂教學實施能力.再者，單元整體教學設計需用系統論的觀點分析課程內容、教材編排以及學情等要素，進而整體規劃素養指向下的學習目標、學習任務、學習及評價活動.這個設計過程本身即教師不斷反思，使自身教學理解與實踐不斷融合，促進自身專業發展的過程[7][30].

4 結語

研究以學科核心素養培育為指向，設計大概念統攝下的初中數學單元整體教學.該路徑有助于教師基于素養指向下，系統地梳理知識結構，挖掘數學概念本質，把握學生學習起點與難點，在學生最近發展區內，整體有序安排單元主題，設計相應的學習、評價活動，在促進學生素養培育落地的同時，提升自身專業發展水平.當然，上述教學設計仍有待教學實踐后不斷完善.