對平面向量教學的深度思考①

于道洋 寧連華

(南京師范大學數學科學學院 210079)

平面向量是高中階段重要的必修內容，是解決諸多數學問題必不可少的有力工具，也是高中知識與大學知識能夠順利銜接的重要橋梁.當前，平面向量教學中尚存有部分“疑難雜癥”亟待解決，包括但不限于：某些知識點的導入方式，如何促進對某些概念的深層次理解，這些都有進一步完善的空間.以下根據教學實踐，試圖對幾處教學設計給出切實可行的優化策略.

1 如何減少向量學習中的負遷移現象

從小學階段到高中階段，由于學生長期與“數與數的運算”打交道，實數系統的種種規則在學生心目中的印象根深蒂固，因此，盡管學生還沒有認知近世代數當中運算封閉性的嚴格定義，但學生普遍認為：同類的乘積得到的不應該是“異類”，向量作為一個新接觸的體系，它的內部乘積應當像數與數的乘積一樣是封閉的，即向量乘向量得到向量，而并非得到一個實數.顯然，這是學生在學習過程中的一種負遷移現象.此前，已有部分文章對平面向量學習的遷移現象進行了研究，但未涉及此問題，因此，有必要進一步予以探討.

事實上，學生之所以形成這種印象，除了上述原因之外還有一個重要因素，即高中階段只講向量的內積而不涉及外積.按照學生的思維定式，向量乘向量理應等于向量，誠然，這樣的情形的確存在，只不過是外積，而不是高考考查的數量積.學生從未接觸過外積，自然容易將本應是外積的運算結果錯誤地賦予內積.

要減少乃至避免負遷移的發生，應當著力于明晰前后兩個概念或是兩個系統的本質區別.學生在高中階段認為向量的內積就是向量之間的乘法運算，然而，在數學的世界中，事實并非如此，向量的外積(向量積)才是向量與向量真正的乘法.因此，盡管高考不做要求，但是拿出短暫的時間向學生簡單介紹外積的定義，讓學生意識到這才是他們腦海中所設想的向量應有的乘積，恰恰能夠起到讓學生深刻理解內積的作用，不至于再存有向量的內積等于向量的錯誤認知.

這樣的教學策略不僅能夠有效破除學生的錯誤認識，與此同時，還能夠拓寬學生的數學視野，促進學生對平面向量有更為系統和完整的認識.目前，新高考已經凸顯出考查學生數學素養和數學應用能力的趨勢，在考題中命制具有更高知識背景和更高視角的信息題，測試考生臨場學習新概念并且快速應用的能力，是順應新高考趨勢的必由之路.而平面向量的外積，從知識難度、信息量等方面綜合考量，無疑是命題的熱門備選素材.進而，為應對這一高考的新變化，在日常教學中，適當地、適時地補充新概念，同時，這些新概念又起到了促進學生對舊概念深入理解的作用，這也正與新課標的理念、新高考的追求相吻合.

除上述現象之外，在實際學習過程中，部分學生“創造性”地讓平面向量擁有了結合律，這顯然是錯誤的.究其原因，第一，學生仍然認為向量系統滿足實數系統的一切運算法則，實數運算具有結合律，向量自然也應該有，這仍然是一種負遷移；第二，這源于學生對平面向量點乘積的認識浮于表層，未能理解其本質.對此，需引導學生思考如何舉出反例.通過認真的思考便不難得知，三個向量a，b，c做數量積，若先算a和b的數量積再計算與c的數量積，最終結果一定和向量c的方向一致，反之，若先算b和c，最終結果一定和向量a的方向保持一致，因此結合律自然被推翻.

2 問題驅動下的教學設計——巧借疑題教點乘

目前，大量學生對于平面向量數量積的坐標表示這一知識點認識不夠深刻，其具體表現是計算公式記憶有誤以及不能主動地在解題過程中運用這一方法處理相關問題.在課堂教學中，教師通常按照教材寫法推導向量內積的坐標運算，即將任意兩個向量分解為水平方向、豎直方向單位向量i和j的線性組合，再通過向量點乘計算得到結果.

這種教學設計是典型的接受型教學，多年沿襲，無可厚非.但綜合知識內容和學情狀況，此處的教學引入不妨在接受的基礎上增加一些探究.正如顧繼玲教授的觀點：“設計相應的數學活動可以增進學生對知識的理解和方法的領悟，其中蘊含著豐富的策略性知識，但這些策略性知識學生難以自發產生，需要老師通過適當的問題啟發引導.”[1]對于該知識點，筆者嘗試給出一種“探究+接受”的引入方式，首先，請看以下習題：

此題使用絕對值三角不等式最為簡潔，該年湖南卷的參考答案給出的也正是這一方法.然而，在實際教學過程中，部分學生未能獨立想到參考答案的解法，而是給出了如下解題步驟：

這道題目本身也許平淡無奇，但學生給出的上述解法引發了筆者新的思考.何不用此題作為向量數量積坐標表示的課前引入？在講授過平面向量的坐標表示后，拋出上述習題.此時的極限情況是全體學生中無人給出教師期待的解法，那么，教師需現身說法，請學生思考這一解法能否奏效.若班級學生中有人給出了類似解法，則教師可以因勢利導，抓住學生解題中遇到的這一障礙，適時地提出如下問題：是否有一種方法，能求出x和y的線性組合的最大值？

隨后，教師不妨暫且擱置本題，詳細推導向量數量積等于橫坐標相乘加縱坐標相乘的由來，在此過程中，學生始終帶著如何創造解題新工具的好奇跟隨教師的思路前行，這節新授課的教學效果自然得到了提升.同時，在完成此題求解的過程中，學生無形之中又溫習了用模長和夾角計算向量點乘積的舊知，一舉多得.

縱觀數學發展史，在數學研究過程中，好奇心和解決問題過程中遇到的障礙往往是催生新方法和新數學工具的催化劑.對于這樣的輔助元素，波利亞曾說：“要通過適當的說明，使得最引人注目的步驟的動機和目的可以被理解.”[2]對于學生而言，在解決問題的過程中遇到的瓶頸，以及對此所做的嘗試正是學生學習的起點.此時引入能夠帶領學生突破瓶頸的新知識，能夠讓學生更真切地感受到學習該內容的必要性，對知識的理解也自然加深了幾分.

3 結束語

平面向量是高中階段十分重要的數學工具，毋庸置疑，本章的教學效果和教學方式直接影響著學生對數學的系統性理解水平和解題能力.盡管當下已不乏針對平面向量教學設計、解題訓練方法等方面的研究論述，但學生和課堂教學都是處于不斷發展變化中的復雜綜合體，始終有新的疑難和新的障礙產生.因此，平面向量的教學，值得教學研究者和數學教育工作者進一步深入思考和探討.