高考數學平面向量問題的解題策略

陳軍

摘要：在高中數學中，平面向量模塊知識內容并不多，但所體現的數學思想與方法卻意義深刻，耐人尋味。在高考試題中，既可出簡單題，又可出中高檔題。一旦為中高檔題，會讓不少考生所費解。平面向量結合的知識較廣，如不等式、平面幾何、代數，也可與三角函數、導數、數列等融合。故我們常稱它是一種有力的工具，是溝通代數與幾何的重要橋梁。為此，本文將著重探究如何在高考數學中如何處理好平面向量的相關問題，促進學生思維發展。

關鍵詞：平面向量;坐標法策略;幾何化策略;極化恒等式

引言：

近幾年高考題中，平面向量的綜合問題深受命題人的青睞，其考察難度有所增加。如何才能讓學生在短時間找到問題的最佳思路，如何讓學生靈活使用各項策略，這需要廣大高中教師在日常教學中刻意訓練學生的解題策略，使學生在這類問題前從容不迫，自信解題。

下面，我以一道2018年天津高考題的多種解法來引入平面向量問題的多種策略。

故此時，簡直一個字“妙”啊。

綜合看這一題高考題，采用不同策略，其計算過程的繁雜性不一樣，分別體現了不同的數學思想，因而數學思想在高中教學中的滲透至關重要。下面就高考數學中平面向量問題的常見解題策略列舉如下：

一、策略一：坐標化策略

坐標是向量代數化的一種表達形式，可以利用向量的坐標進行向量的各種運算，也可以體現共線等位置關系。所以向量坐標化就是將幾何圖形問題代數化的過程。對于求解：如向量的運算，求參數值，向量中的最值或范圍等這些問題，坐標化后便迎刃而解，或轉化為代數中的常見問題。見幾題：

（一）坐標化策略可以解決最值或范圍問題

此題建立平面直角坐標系，重點在于計算B點坐標，此環節中又結合了解三角形求邊長知識。

二、策略二：幾何化第略

向量可以用有向線段表示，向量的相關運算也可以用圖形語言描述。對于向量問題，我們可以借助于圖形直觀化的特點幫助我們破解解題疑點。比如說，向量的加減圖形表示，模長問題，夾角問題等。將所涉及的題設條件的幾何意義與圖形相關聯，然后進行解題。

（一）數量積中投影長度問題

例3：（2020山東），已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF下內的一點，則范圍為

掌握好數量積中投影的幾何意義能建解，比坐標法后求范圍取值問題更加速解。

（二）模長問題的幾何化

例4.已知，為平面內兩個相互垂直的單位向量，若向量滿足，求最大值。

解析：本題做法很多，既可以坐標化，也可以直接去括號轉換為關于夾角的函數問題。

那么.，數量積為0想到向量的垂直關系，如圖∵∠BCA=90°，連接BA，故動點C是在以AB中點，Q為圓心的圓上，半徑，求最大值，故.直徑所對應的弦長最長。

此題關鍵是挖掘垂直關系，直徑所對應的圓周角為90°。

三、策略三.基底化策略

平面向量基本定理是一項重要的解題依據。定理規定了平面上任何一個向量總是可以由兩個不共線的向量（基底）線性表示。日常教學中，很多學生只會去機械刷題，而不熱衷于挖掘數學定理與定義中所蘊含的一些本質內容：積極培養基底化思想解決平面向量問題，勢必可以促進學生數學思維的發展，順著走，我們使用基本定理，將未知向量用已知向量表示。逆著走，已知向量表示未知向量，求參數值問題就有簡單化了。應用平面向量基本底表示向量的實質是平行四邊形或三角形法則進行向量的加法，減法或數乘運算，在此，產生了三點共線問題的結論。如圖：△ABC中，B，Q，C三點共線，若，那如何用、線性表示呢？

四、策略四：談談極化恒等式的妙用

結束語

平面向量兼具代數與幾何兩種形式，兩種形式并不是獨立分割的，而是相互促進轉化的，很好的體現了數形結合思想，轉化與化歸思想。使用坐標化策略，將求解問題代數化，向量運算變成代數運算，可用于求值，求范圍或最值問題。幾何化策略，需要充分將已知條件轉化為幾何語言，如：長度，夾角，軌跡，投影。借助幾何直觀將問題化解。基底化策略，實現了未知向已知的轉化，選擇合適的基底很重要。極化恒等式是廣義平方差的推導公式，遇到數量積問題可以考慮使用其進行優解。不同的策略均可發展學生思維，領悟數學思想。廣大教師應該教會學生對不同策略的思想方法進行領悟，不同問題可能選擇的策略不一，其解題過程的復雜性也不一，廣大考生也應該靈活處理。希望本文能夠給廣大教師，讀者帶來啟示，若文中有不當之處，還請批評指正！

參考文獻：

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[2]刁肖俊.高中平面向量問題處理的策略[D].試題研究，2015

[3]郭建明.淺析高中數學教學之平面向量[J].數學學習與研究，2019