關于高等數學中的數學思想探討分析

夏路杰

摘要：在學習高等數學的過程中，首先接觸到的就是關于數學名詞的概念問題，那么深入了解概念是學習掌握高等數學的第一要務;在掌握了概念之后，接下來就是運算能力以及對數學符號的熟識程度;然后就是在學習過程中及做題中學習實踐的做題技巧，這就逐漸形成了數學思想方法。數學知識中蘊含的思想方法是極其豐富的，尤其是隱藏于數學知識背后的數學思想的價值不可忽視。本文對數學分析內容中的函數思想、極限思想、連續思想、數形結合思想進行初步的分析。

關鍵詞：數學分析;數學思想分析

一、函數思想

函數概念和函數思想的提出和運用，使得變量數學誕生了，常量數學發展到變量數學，函數思想起了決定性作用。函數是數學分析的研究對象，函數思想就是運用函數的觀點，把常量視作變量、化靜為動、化離散為連續，將待解決的問題轉化為函數問題，運用函數的性質加以解決的一種思想方法。

在數學分析中，我們通常用來解決不等式的證明、方程根的存在性與個數、級數問題、數列極限等。

二、極限的思想

極限的思想方法是近代數學的一種重要思想方法，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究初等函數的一門學科。極限是研究無限的有力工具，“極限”揭示了常量與變量、有限與無限、直線與曲線、勻速運動與變速運動對立統一的關系。極限的思想方法貫穿于數學分析課程的始終，一方面利用極限的思想給出了連續函數、導數、定積分、無窮小（大）量、級數的斂散性、多元函數的偏導數、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、曲線弧長、曲面積分等的概念，數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限的思想。另一方面在閉區間列上的區間套定理體現了極限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項式函數去逼近已知函數等。學習者以”極限理論”為工具，以現實具體的問題為背景，從具體到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本質，可以增強分析和解決問題的能力。

對所求量，先構造與其相關的變量，前提是該變量無限變化的結果就是所求量，此時采用極限運算得到所求量。例如邱瞬時速度、曲面弧長、曲變形面積等問題，就是采用了極限的思想。

例3，如果物體做非勻速直線運動，其運動規律的函數是s=f（t），其中t為時間，s是距離，求它在時刻t0的瞬時速度。

解：物體從時刻到時刻這段時間內的平均速度是：

三、連續的思想

在數學分析中，把函數的連續性局部化到當函數的自變量在某點鄰域內作微小變動時，相應函數值也在對應點的函數值鄰域內作微小變動。

這種思想應用到連續函數求極限的情形，就可以把極限的復雜問題轉化為求函數值的問題，從而大大簡化了運算。如果給定的函數不連續，可以通過整理、化簡、變換等途徑將其轉化為連續函數，再利用上面的方法求其極限。

四、數形結合的思想

數學是研究空間形式和數量關系的科學，而空間形式和數量關系之間往往存在密切的聯系，又有各自特點。數形結合思想方法，就是充分利用形的直觀性和數的規范性，通過數與形的聯系轉化來研究數學對象和解決數學問題。具體包括：數轉化為形的思想;形轉化為數的思想。這種方法使得復雜問題簡單化、抽象問題具體化、形象化、直觀化，化難為易，最終找到最優解決方案。

數形結合的思想在數學分析課程中的應用廣泛，很多抽象問題中都蘊含著某種幾何意義，借助幾何圖形，對抽象問題進行幾何解釋，使抽象問題結合圖形更容易深入理解，更容易掌握其最本質的知識。

比如：極限、曲線的漸近線、導數與微分、二元函數偏導數與全微分、定積分與重積分、反常積分（無窮積分與瑕積分）、函數的單調性、函數的凹凸性等概念的幾何意義，對于確切理解并正確掌握這些基本概念是非常重要的，同時為解決各種實際問題提供了多樣化的方法。

又比如：閉區間上連續函數基本性質（介值性定理、根的存在定理）、微分中值定理（羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）、積分中值定理、費馬定理、隱函數存在唯一性定理等幾何意義，不論對定理的深入理解，還是對啟發證明定理結論方面有很大幫助。

例5，下面僅談談幾何圖形對拉格朗日定理的內容的理解及證明所起的作用。

參考文獻：

[1]復旦大學數學系數學分析（第二版）（上、下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007，4。

[2]高等數學（上）.同濟大學出版社，2003，4。

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