考研數(shù)學(xué)中的點估計

李佳 鄧有蓮

摘要：點估計不僅是《概率統(tǒng)計》課程中的教學(xué)重點，也是數(shù)學(xué)考研的熱點之一。本文從歷年考研數(shù)學(xué)中點估計試題出發(fā)，詳細(xì)介紹在離散型總體、連續(xù)型總體以及特殊情況下矩估計和最大似然估計的計算方法，總結(jié)出求解步驟和求解關(guān)鍵點，以節(jié)省同學(xué)們寶貴的學(xué)習(xí)時間、復(fù)習(xí)時間和應(yīng)試時間。

關(guān)鍵詞：點估計;矩估計;最大似然估計

引言

自1987年全國工學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士研究生入學(xué)考試實行統(tǒng)一以來，時值今日已有三十多年。概率論與數(shù)理統(tǒng)計在數(shù)學(xué)考研中約占百分之二十，其中有兩個選擇題，一個填空題和兩個解答題，共計34分。注意到，已經(jīng)連續(xù)三年考研數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三的最后一個大題就是關(guān)于點估計的試題。事實上，點估計（即矩估計和最大似然估計）以解答題的身份從1997年首次出現(xiàn)在考研數(shù)學(xué)一當(dāng)中，這么多年來，共有十七年出現(xiàn)此類題型，近幾年來出現(xiàn)得更為頻繁，成為考研的熱點之一。考研大綱[1]數(shù)一和數(shù)三都要求掌握矩估計法（一階矩，二階矩）和最大似然估計法，屬于中高難度題[2]，是概率統(tǒng)計課程復(fù)習(xí)的重中之重。本文緊扣考研大綱，重點介紹點估計的基本概念，矩估計和最大似然估計的求解方法和求解關(guān)鍵，節(jié)省廣大考生寶貴的學(xué)習(xí)時間、復(fù)習(xí)時間和應(yīng)試時間。

1. 點估計、參數(shù)估計量和參數(shù)估計值[3]

設(shè)總體X的分布函數(shù)形式已知，但它含有一個或多個未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，通過樣本觀察值來估計總體分布中的未知參數(shù)的值，這種方法稱為點估計。具體而言，設(shè)總體X的分布函數(shù)F（x，θ）中含有未知參數(shù)θ，我們已知X1，X2，…，Xn是總體的一個樣本，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量T（X1，X2，…，Xn）作為參數(shù)的估計量，記作，對于樣本的一組觀察值x1，x2，…，xn，將T（X1，X2，…，Xn）作為參數(shù)的估計值，記作，當(dāng)然F（x，θ）可以表示分布律或者概率密度。由于T（X1，X2，…，Xn）是實數(shù)域上的一個點，用它來估計未知參數(shù)θ，所以稱這種方法為點估計。而矩估計法和最大似然估計法是最為經(jīng)典的點估計方法。

2.矩估計法

矩估計法是基于一種簡單的“替換”思想建立起來的估計方法，最早由英國統(tǒng)計學(xué)家K.皮爾遜提出。其基本思想就是用樣本矩估計總體矩，選用的矩估計方程不同，所得的矩估計可能也不同，因而矩估計不是唯一的，一般盡量選用低階矩來求矩估計，求解時會更容易。所以，我們就用樣本原點矩估計總體原點矩。具體方法如下：情況一，設(shè)總體X的分布函數(shù)F（x，θ）中只含有一個未知參數(shù)θ，則列一個方程，令，求出參數(shù)估計;情況二（考研試題未出現(xiàn)，但考試大綱有要求），設(shè)總體X的分布函數(shù)含

有兩個未知參數(shù)θ1和θ2，則列一個方程組，令，

求出參數(shù)估計。

3.最大似然估計法

最大似然估計法是在總體類型已知的條件下使用的一種參數(shù)估計方法，首先由德國數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出，英國統(tǒng)計學(xué)家費歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這個方法，并深入研究了它的性質(zhì)。一般而言，若事件A發(fā)生的概率與參數(shù)θ有關(guān)，即θ的取值不同，P（A）也不相同，記為P（A|θ）。如果事件A發(fā)生了，則認(rèn)為此時θ的值應(yīng)該是使P（A|θ）達(dá)到最大的那個θ值，這就是最大似然的思想。

定義[3]：設(shè)總體X的分布函數(shù)F（x，θ）中含有未知參數(shù)θ，X1，X2，…，Xn是總體的一個樣本，x1，x2，…，xn是樣本的觀察值，又假設(shè)θ的似然函數(shù)為。如果存在，使得似然函數(shù)L達(dá)到最大值，即，則稱是參數(shù)θ的最大似然估計值。

具體的求解步驟如下：

步驟一，建立似然函數(shù)L（θ）：

對于離散型的總體分布，其分布律為P{X=x}，則似然函數(shù);

對于連續(xù)型的總體分布，其概率密度為f（x，θ），

則似然函數(shù);

步驟二，因為L（θ）和lnL（θ）在同一處θ取得極值，所以可以建立對數(shù)似然函數(shù)lnL（θ）;

步驟三，求出。

若總體分布中只含一個未知參數(shù)，則令求得;

（考研試題未出現(xiàn) ，但考試大綱有要求）若總體分布中含有多個未知參數(shù)，則可令解出這k個方程的方程組，求得的最大似然估計。

4.似然方程無解的特殊情況，用最大似然估計法求點估計

求最大似然估計的難點是由似然方程解不出θ的估計值，則可由定義直接在邊界點找出最大似然估計。（屬于難題，請大家仔細(xì)研究）

例（2015年數(shù)一數(shù)三）設(shè)總體X的概率密度為，其中θ是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，求θ的最大似然估計量。

解：建立似然函數(shù)=，當(dāng)時，才有對數(shù)似然函數(shù);但是無法求出值θ，從可以看出θ值越接近1，lnL（θ）越大，但受到條件θ≤Xi≤1（i=1，2，…，n）的約束，即只有θ≤Xi（i=1，2，…，n）時，才有非零的似然函數(shù)，所以，由最大似然估計法的定義知=min{X1，X2，Xn}。

注：此類題型出現(xiàn)情況：2015年數(shù)一數(shù)三;2000年數(shù)一。

參考文獻(xiàn)

[1]教育部考試中心.全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)考試大綱：2019版[M].高等教育出版社，2018.

[2]夏天.考研數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計試題分析[J].考試周刊，2013（9）：3-5.

[3]浙江大學(xué)盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第四版）[M].高等教育出版社，2008：149-152.

作者簡介：

李佳（1979-），女，江西南昌人，講師，碩士研究生，主要從事計算機(jī)輔助教學(xué)和心理測量方面的研究.

鄧有蓮（1979-），女，江西泰和人，講師，碩士研究生，主要從事計算機(jī)輔助教學(xué)的研究.