關注問題探究，促進學生學習

張超

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-2-169

認知心理學認為：學生學習的過程是一個把教材知識結構轉化為自己認知結構的過程。”高效的解題練習有助于學生認知結構的過程。學生學習能力的提升，大多通過數學解題訓練獲得，如何在課堂中高效的開展探究性學習，怎樣能夠讓學生通過對解題的反思獲得“關鍵能力”，引發了筆者的思考，現將自己教學過程中的一些想法，供給大家指正。

問題呈現 如圖1：△ABC中，AD是角平分線，∠B=2∠C.求證：AC=AB+BD.

對于探究線段和差關系，解題思路往往是通過“截長補短”構造三角形全等，利用圖形全等進行線段的轉化。

解法1（截長）圖2中，在AC邊截取線段AE=AB，連接DE，根據AE=AB，AD是∠BAE的角平分線，AD公共邊三個條件，判定△ABD≌△AED。從而AB轉化為AE，再由∠B=∠AED=2∠C，得到ED=EC=BD，即AC=AB+BD。

解法2（補短）在圖3中，延長AB至AE，使得AE=AC，連接DE，根據AE=AC，AD是∠BAE的角平分線，AD公共邊三個條件，判定△AED≌△ACD。從而把AC轉化成AE，再由∠B=2∠C，∠C=∠E得到BD=BE，即AC=AB+BD。

問題1中，解法1和2從“截長”，“補短”兩個途徑給出了證明，追求了解決幾何問題方法的多樣性。但對于本題的探究，如果學生的思維成面只僅僅停留在利用“截長”和“補短”的方法來構造圖形全等，還遠遠不夠。不妨，我們再對問題1的變式展開探究。

變式：如圖4，△ABC中，AD是∠CAB的角平分線，AD=BD，AB=2AC.求證：△ACB是直角三角形.

問題分析：立足題意證明目標是△ACB是直角三角形，根據角平分線與兩對線段之間的關系，容易通過圖形中的角度關系得到關聯.在圖4中，易得∠CAD=∠DAB=∠ABD。如何利用這三個角建立與∠C的聯系，成為了解決問題最大的障礙。

由于此時的目標是角度，學生關聯問題的思維很難與前面“截長”或“補短”建立聯系。當然，在此題的本質仍然是“截”和“補”，但不同的問題情境，學生分析問題的思路卻大相徑庭。為何學生的思維會頓時失靈？兩道同質類型的問題，前后竟有如此差異，足以引起我們的深思。

在問題1中，重新審視AD是角平分線這個條件.通常教學中，強調最多的是角平分線的性質以及它的判定條件，而對于軸對稱圖形中角平分線是對稱軸的理解卻不夠。實際解題過程中對于角平分線的認知也僅僅停留在外在特征。從動態角度分析：角平分線把這個角的上下兩個部分通過翻折能夠重合。通過對角平分線的本質特征的介紹，滲透了“翻折”這一核心思想。學生對于角平分線能夠認知這一思想后，無論是問題一還是變式，都能夠結合圖形利用翻折來轉化線段與角度之間的數量關系，這樣的解題方法更為自然。

方法鞏固 如圖，BC >AB，BD平分∠ ABC，∠ A+∠C=180°. 求證：AD=CD.

方法點撥：利用角平分線的對稱性構造全等三角形。

解法1：如圖6，BD平分∠ ABC，可將△ABD沿BD進行翻折，點A的對應點是點E，利用軸對稱性可證△ABD≌△BED，易得AD=DE，∠ A=∠ BED，根據“等角的補角相等”可知∠ DEC=∠ C，證得AD=CD.

解法2：如圖7，也可將△CBD沿BD進行翻折，構造△CBD≌△EBD，從而易證AD=CD.

解法3：利用角平分線的性質，作垂直，構造三角形全等，證明線段相等，這里不再贅述.

解后反思

1.反思解題方法，提高綜合解題能力

數學問題，靈活多變，解題方法途徑繁多。日常習題訓練中，學生在解題時多半就題論題，滿足于做出問題，對于解題方法的優劣不做評價，作業中的問題時常出現解題思路單一、邏輯錯亂、描述冗長等問題。學生的思維如何打開，學生如何將自己已有的知識經驗運用起來，這一切需要在日常教學中對于幾何問題開展探究性學習，引導學生通過解題后形成自我的反思，優化解題過程，總結解題經驗。在問題1的探究中，除卻“截長”和“補短”兩種方法的介紹外，還需滲透角平分線本質特征，“軸對稱”的核心思想，真正能讓學生學會解一題、通一法、聯一片。

2.反思歸類，舉一反三，融會貫通

筆者在日常教學中，有意培養學生學會分析、比較不同問題中的類似點，探究共性，掌握規律。基于這一考慮，教學中設計的變式和方法鞏固，引發學生對于同一種問題的思考，收獲了解決這一類同質問題的技能，強化了幾何中邏輯思維的訓練。在幾何解題教學中，教師必須引導學生進一步反思、分析方法的優劣，尋根溯源，努力找尋解決問題的“關鍵點”，對于類如“角平分線”這一問題，抓住問題的本市特征，不斷提高和深化學生分析問題、概括問題、研究問題的能力，促使學生著眼于相互聯系的數學知識體系，形成更為系統性的知識結構。

本文系2019年蘇州市教育學會“十三五”教育科研規劃課題 “數學實驗在初中數學課堂中的實踐研究”（課題編號：“十三·五”sjh[616]）的階段性成果

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