基于豪斯道夫分形導(dǎo)數(shù)的膨脹性非飽和多孔介質(zhì)反常擴(kuò)散（模型）吸收方程

單戰(zhàn) 吳子恒

摘要：吸收是非常普遍的過程，發(fā)生在從多孔介質(zhì)到新的納米材料和生物組織的各種類型的材料上，而大多數(shù)關(guān)于吸收的研究報告都集中于“剛性”多孔介質(zhì)上，這與經(jīng)受膨脹和收縮變化的真實多孔介質(zhì)的性質(zhì)相矛盾。這里，我們參考材料坐標(biāo)系，提出了從分形工具中的豪斯道夫?qū)?shù)出發(fā)，導(dǎo)出新的異常吸收隨時間變化函數(shù)，并進(jìn)行了曲線擬合。此類擴(kuò)散對于多孔介質(zhì)的吸收屬于快擴(kuò)散類別，這是傳統(tǒng)吸收方程所不具備的，我們希望所提出的我們希望所提出的新吸收方程為膨脹性非飽和土壤中污染物的預(yù)測和治理提供準(zhǔn)確的力學(xué)模型和具體的參考建議。

關(guān)鍵詞：膨脹性非飽和;反常擴(kuò)散;豪斯道夫?qū)?shù)

1.介紹

土地是人類和生態(tài)系統(tǒng)賴以生存的基礎(chǔ)。 目前，土壤嚴(yán)重污染、土地縮減以及不穩(wěn)定的環(huán)境變化的問題十分突出，人類面臨嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。當(dāng)下的迫切任務(wù)是為環(huán)境和土壤解毒--尋求緩解土壤污染和恢復(fù)土壤健康的技術(shù)措施和途徑，這是關(guān)系食物鏈污染安全，影響人畜和生態(tài)系統(tǒng)健康的緊急問題。面對如此嚴(yán)峻的現(xiàn)實，2016年國務(wù)院公布了《土壤污染防治行動計劃》。定量研究溶質(zhì)（包括化學(xué)元素，肥料和微生物等微小顆粒）是治理土壤不可缺少的一步。這些污染物在膨脹性非飽和土壤中的運移屬于溶質(zhì)遷移。為了解決此類環(huán)境污染問題，分析膨脹性非飽和土壤中溶質(zhì)遷移過程的機理是前提。然而，溶質(zhì)在膨脹性非飽和土壤中的機理仍不明確，對應(yīng)溶質(zhì)濃度長期演化的規(guī)律仍很不成熟，相應(yīng)力學(xué)本構(gòu)模型研究是環(huán)境流體力學(xué)一個重要基礎(chǔ)問題。

通常情況下，非飽和土壤內(nèi)部結(jié)構(gòu)為非均質(zhì)、各向異性，其內(nèi)部溶質(zhì)遷移是一類非菲克擴(kuò)散。根據(jù)溶質(zhì)粒子的遷移速率，可以分為快擴(kuò)散、慢擴(kuò)散和特慢擴(kuò)散。快擴(kuò)散和慢擴(kuò)散統(tǒng)稱為反常擴(kuò)散，其擴(kuò)散粒子的均方位移是時間的冪率函數(shù)。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是目前常用于描述和刻畫膨脹性非飽和土壤中反常擴(kuò)散的主要力學(xué)工具，能夠準(zhǔn)確刻畫溶質(zhì)濃度的演化規(guī)律。需要指出的是，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是一個非局部算子，包含卷積積分，計算量比較大，且模型參數(shù)未與介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征和分形維數(shù)之間建立聯(lián)系。與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)相比，豪斯道夫?qū)?shù)是一種局部算子，計算成本低，該導(dǎo)數(shù)通過冪律時空尺度變換，刻畫介質(zhì)的分形特征。豪斯道夫分形導(dǎo)數(shù)模型能夠描述污染物濃度空間的擴(kuò)展高斯分布和時間的擴(kuò)展指數(shù)衰減，時間和空間導(dǎo)數(shù)分別與擴(kuò)散粒子軌跡的分形維數(shù)和介質(zhì)結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)建立了量化關(guān)系。因此，本項目將采用理論和實驗數(shù)據(jù)分析相結(jié)合的方法，同時考慮介質(zhì)變形對擴(kuò)散過程的影響，引入豪斯道夫?qū)?shù)，建立機理明確且參數(shù)較少的力學(xué)模型。結(jié)合實驗數(shù)據(jù)，給出確定模型參數(shù)的確定的方法，量化模型參數(shù)與介質(zhì)結(jié)構(gòu)特性之間的關(guān)系，分析模型參數(shù)的物理意義，為膨脹性非飽和土壤中的反常擴(kuò)散現(xiàn)象提供理論依據(jù)。

2. 膨脹性多孔介質(zhì)上吸收的分?jǐn)?shù)擴(kuò)散波方程

殘差平方和為0.8274，可見擬合效果較好。而α=1.2640意味著這種擴(kuò)散屬于反常擴(kuò)散類。（大于1屬于快擴(kuò)散、其中大于1小于2時表征快吸附，β大于0小于1時表征慢吸附，β等于1時表征正常吸附）相比之下，傳統(tǒng)的擴(kuò)散模型所沒有的特征。

3. 結(jié)論

本文介紹了膨脹性非飽和多孔介質(zhì)使用材料坐標(biāo)系中的擴(kuò)散表達(dá)式。結(jié)果表明，與已公布的實驗室數(shù)據(jù)，可得到材料擴(kuò)散系數(shù)，分形維數(shù)等參數(shù)。本實驗中的階為1.2640，意味著該介質(zhì)的擴(kuò)散屬于反常擴(kuò)散。

參考文獻(xiàn)

[1]Ninghu Su. Equations of anomalous absorption onto swelling porous media.2009

[2]Ninghu Su. Equations of anomalous absorption onto swelling porous media.2010

[3]陳文，蔡偉，梁英杰.豪斯道夫?qū)?shù)模型及其工程應(yīng)用[J].2018