智慧課堂滲透數學思想精準教學提升學生品質

蔣妙娟

一、源起：

生活中，我們經常看到超市收銀員時常要計算一堆不同面值紙幣的總值，一般會先根據面值的不同將這些紙幣分成一疊疊的，再分別計算出每疊紙幣的值，最后合計出這堆紙幣的總值。法國數學家笛卡爾曾說過： “把你所考慮的每一個問題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解.”唯物辯證法認為，任何事物、現象、過程，內部的各個部分、要素、環節是相互聯系、相互作用著的。而要揭示事物的本質屬性及其發展規律，常常要使用人們在生產生活及科學研究中最為基本的思想方法———分類討論思想.

在運用分類討論思想解決某些初中數學問題時，常常要依據問題的本質屬性中的相同點和相異點，將其分成若干個子問題，通過每個子問題的解決達到整個問題的解決.分類討論思想在初中數學中應用極為廣泛，中考試題中也經常涉及此類問題，該種數學思想對于提升學生分析問題、解決問題的能力、培養學生數學思維的嚴謹性、完整性、有序性、連貫性都很有幫助.但遺憾地看到，學生對于分類討論思想掌握的并不理想.學生不是不知道要分類討論，就是分類討論時遺漏或者重復，因而深入研究分類討論思想很有現實意義.

二、解決

一、結合數學概念的定義教學，準確、科學地滲透分類思想

在初中階段的教學內容中，一些數學概念的定義，如有理數、實數的建立，絕對值的化簡，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式，兩圓的五種位置關系等等……，都滲透著分類討論的數學思想。對涉及到分類討論思想的概念，教師在講授這些概念時要準確、科學，要讓學生對分類討論思想的概念有正確的認知、理解和牢固的掌握.

例1：已知a是有理數，那么 |a| 與a的關系是（ ）

（A） |a| > a （B）|a| < a （C）|a| = a （D）|a| ≥ a

分析：絕對值概念是一種需要進行簡單的分類討論的概念

（1） 當a為正有理數或零時，|a| = a;

（2）當a為負有理數，即a< 0時， |a|= -a > 0，|a| = -a> a.

得正確答案： D.

但我們會發現，總有一部分學生會選C，究其原因，是沒弄清絕對值這一概念，認為求一個數的絕對值，如：|5|=5;|-7.5|=7.5;……，只要去掉絕對值里面的負號.實際上，要講清絕對值這一概念應從絕對值的幾何意義說起，也就是一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點與原點的距離，這樣學生自然而然的會得出絕對值的三種分類討論情況.

例2：（七上課本P16.第6題）數軸上到-3的距離等于2的數是多少？

學生總會丟掉一個數，沒有分類為左右兩邊的數。

例3：在同一平面內有互相平行的三條直線a，b，c，且a與b之間的距離為3， b與c之間的距離為4，則a與c之間的距離為

為了使學生能牢固掌握初中數學中有關涉及到分類討論思想的概念，有時可以采用讓學生操作、分組討論、師生一起加以歸納總結，同時增加變式訓練的教學方法.例如，在學習兩圓的五種位置關系的概念時，教師可讓學生準備大小不等的兩個圓，讓學生自己動手操作，從兩圓（半徑不等時） 五種位置關系：內含、內切、相交、外切、外離，歸納出兩圓的半徑r1、r2與兩圓的圓心距d之間的關系.這樣既培養了學生的探索精神，又有助于學生能形象、直觀、生動和牢固的掌握這一知識點，在碰到問題時也就能迎刃而解.

二、明確分類討論的實質，把握分類討論的標準

當我們所研究的各種對象之間過于復雜或涉及范圍比較廣泛時，或者在解決一個問題無法用同一種方法去解決時，我們大多采取分類討論的方法進行解決，即對問題中的各種情況進行分類，或對所涉及的范圍進行分割，然后分別研究和求解。因此分類討論解題的實質，是將整體問題化為部分問題來解決，以增加題設條件.當然，我們需要一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，通過將這些小問題——加以解決，從而使問題得到解決。因此分類的原則是不重復、不遺漏。討論的方法是逐類進行，還必須要注意綜合討論的結果，以使解題步驟完整.分類討論的步驟為：確定對象、分類討論、歸納綜合.

三、增強分類討論的意識，提高分類討論的準度

分類討論是很重要的一個數學思想，在數學題中經常出現，也是滿分率比較低的一種題.學生在做題的時候經常會犯錯誤，小題經常忘記分類討論，大題經常討論不全，討論全了結果還不一定對.

例4（八上課本P25.第1題）已知等腰三角形的兩邊長為4和6，則它的周長是

例5已知直角三角形的兩邊長為3和4，則第三邊長是 .

首先，教師要增強學生分類討論的意識.很多知識點是分類討論的常客，比如線段及端點位置的不確定、角的一邊會運動、三角形的形狀、等腰三角形的邊是底邊還是腰、等腰三角形的角是頂角還是底角、直角三角形的邊是直角邊還是斜邊、相似三角形的對應邊及對應角等.對于這些知識點，要提醒學生在答題時要保持高度的敏感，時刻緊繃分類討論的弦，以免掉進題目的陷阱.

其次，分類討論是要有一定原則，不要東一榔頭西一棒子的試，要具備一定的條理.分類的原則是（1）分類中的每一部分是相互獨立的;（2）一次分類按一個標準;（3）分類討論應逐級有序進行.

例6（八下課本P112.）剪兩個全等的三角形紙片，在平面上把它們拼在一起，使一組對應邊互相重合.請你試一試，可以拼出幾個形狀不同的平行四邊形？

跟老師和學生們交流之后發現，就算是學習成績很好的同學在這種題上都會多多少少的出現問題.

例7.在平面直角坐標系中直線y=x-1與X軸、Y軸分別交于A、B兩點.__________

1.求A，B兩點的坐標;

2.請在X軸上找一點C，使△ABC 為等腰三角形， 滿足條件的C點有幾個？

因此教師可根據初中學生的特點，教學中遵照循序漸近、逐步深化的原則，并采用靈活多變和有效的教學手段來實施分類討論方法的教學，培養和發展學生思維的條理性、縝密性，從而提高學生全面分析問題和解決問題的能力，提高周密嚴謹的數學教養.

參考文獻：

【1】初中生學業評價指導用書 數學2012.紹興：浙江人民出版社

【2】林崇德 .中學生心理學【M】.北京：北京出版社，1983.

紹興市元培中學 浙江省紹興市 312000