探索軍校向量組的線性相關性概念的講解

劉海燕

摘要：向量組的線性相關性是《工程數學》中的一個重點內容，但其定義、判定及基本性質十分抽象，是學員學習的難點內容。要掌握向量組線性相關性的判別法，必須要深刻理解向量組線性相關性的概念。

關鍵詞：向量組;線性相關性;線性表示

《工程數學》是軍校的一門必修公共課，為適應新時代教育方針、軍隊院校教育條例、四項評估及不同專業學員的學習要求，提高教學質量，討論如何實施教學十分必要。本文簡要闡述“向量組的線性相關性概念的講解”。

一、熟悉大綱

根據武警部隊最新下發的科學文化課程大綱，第16頁，第一部分線性代數，（三）維向量與向量空間中第2個內容，要求：理解向量組的線性相關、線性無關的概念;掌握向量組的線性相關、線性無關的基本性質及判別法。

二、熟悉課程教學計劃

根據最新制定的《工程數學》課程教學計劃，第6頁，第四章向量組的線性相關性。學習要求：理解向量組的線性相關、線性無關的概念;掌握向量組的線性相關、線性無關的基本性質及判別法。授課要求：重點是向量組的線性相關性及判別法。

三、熟悉教材

我們選用的教材是同濟大學數學系編的《工程數學﹒線性代數》（第六版），此內容選自第四章第二節向量組的線性相關性，教材第87頁，

定義4給定向量組，如果存在不全為零的數，使，則稱向量組是線性相關的，否則稱它線性無關。

我認為向量組線性相關性的判別法及基本性質必須根據概念推導得出，而要掌握向量組線性相關性的判別法，必須要深刻理解向量組線性相關性的概念。

四、概念講解的設計

1.概念的引入

①導入主題——電腦配色原理

調出電腦配色的調色板，自定義中可以查看到，每一種顏色由一個三元數組（3維向量）唯一確定。提問學員，為什么這樣的3維向量可以刻畫混色疊加原理？生活實例或者是某些現象作為引例，能激發學員學習的興趣。

②復習

介于向量組線性相關性與向量線性表示、線性方程組解的判定有直接聯系，我選擇先復習上一節向量線性表示的定義及判定。

③概念引入

問題：任意給定一個向量組，問零向量能否由此向量組線性表示？若能，試問線性表示的系數能否不全為零？

最好是借助兩個簡單且具體的向量組來演示解答，即向量組和向量組。由此得出向量組內部關系的兩種情況，進而提出線性相關、線性無關的概念。這種方式引入較順暢，此外概念的解讀十分必要。

2.概念的解讀

①突出著重點——不同顏色標注，有側重地朗讀

標出“存在”、“不全為零”、“線性相關”、“否則”四個詞。

②解讀難點詞——存在、不全為零、否則

從向量組的線性相關性概念這個命題出發，利用它的逆命題、否命題、逆否命題幾個方面展開講解，引導學員推導出向量組線性相關、線性無關的等價命題或常見的錯誤命題，尤其是要得出向量組線性無關的定義，即若存在一組數，使，則。

③解讀

分情況討論，主要說明和兩種特殊情況，并闡述2維和3維空間中線性相關性的幾何意義。

④梳理關系——向量線性表示、向量組的線性相關性、線性方程組解的判定、矩陣的秩

整體梳理這四者的關系，以便后續直接得出向量線性相關性的四個判定。

向量組線性相關性的概念抽象難懂，上述是我個人認為比較容易理解的一種方式。其實為應對抽象性，還可以選擇從3維空間中的共線、共面性質出發，再推廣到維向量的角度展開講解。

參考文獻：

[1]工程數學.線性代數，同濟大學數學系編，6版，北京：高等教育出版社，2014.6

（武警警官學院 四川成都 610000）