突破三角形中線(xiàn)問(wèn)題的向量解法

胡玉林 康利攀

摘要：三角形中的向量問(wèn)題在近幾年的考試中出現(xiàn)的頻率很高，且難度也增加了。利用向量解法來(lái)研究三角形的性質(zhì)，從而突破三角形中線(xiàn)問(wèn)題，是人教A版新教材的“探究數(shù)學(xué)活動(dòng)”專(zhuān)題，要求學(xué)生通過(guò)向量法來(lái)研究三角形的性質(zhì)，從而解決三角形中線(xiàn)問(wèn)題。鑒于此，本文主要論述用向量解法來(lái)解決三角形的中線(xiàn)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：三角形;中線(xiàn)問(wèn)題;向量解法

盡管在初中，學(xué)生就已經(jīng)接觸過(guò)向量知識(shí)，但在高中教學(xué)中，如何利用向量解法研究三角形的性質(zhì)問(wèn)題，顯而易見(jiàn)，學(xué)生會(huì)顯得捉肘見(jiàn)禁。而常見(jiàn)的解決三角形問(wèn)題中，主要是反復(fù)使用正弦定理和余弦定理，但若是運(yùn)用了向量解法，那么所有的問(wèn)題即將迎刃而解，學(xué)生會(huì)迅速的做出解答，使人受益匪淺。同時(shí)，向量體系的構(gòu)建也離不開(kāi)三角形。例如：向量的加法、向量的減法等都包括著三角形的法則，而在求向量的數(shù)量積時(shí)，更是離不開(kāi)三角形中的余弦定理。因此，學(xué)習(xí)好向量知識(shí)尤為重要。

1.向量解法在三角形中線(xiàn)問(wèn)題應(yīng)用的意義

眾所周知，解決三角形問(wèn)題的常見(jiàn)方法就是正余弦定理，但是對(duì)于三角形的中線(xiàn)問(wèn)題，若能利用三角形的中線(xiàn)向量性質(zhì)，建立三角形中線(xiàn)與角的關(guān)系，就可以巧妙的解決三角形的角、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積等有關(guān)三角形中線(xiàn)的問(wèn)題。在高一數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常在利用正余弦定理解決三角形問(wèn)題上，會(huì)涉及到三角形一邊的中線(xiàn)問(wèn)題，而解決這類(lèi)問(wèn)題就是利用中線(xiàn)的一邊來(lái)構(gòu)建一個(gè)三角形，在至少兩個(gè)三角形的問(wèn)題下來(lái)解決問(wèn)題，但是如果應(yīng)用向量解法，就可以直接在原三角形中即突破中線(xiàn)問(wèn)題。

向量法是解決近代數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法，也是最基本的概念之一。向量是將“數(shù)”和“形”融于一體的代數(shù)形式和幾何形式。平面中的任意邊長(zhǎng)都可以用向量來(lái)表示，運(yùn)算也有對(duì)應(yīng)的代數(shù)表示。在幾何中，用向量表示既有大小又有方向。向量是溝通幾何與代數(shù)等內(nèi)容的橋梁，它具有豐富的實(shí)際背景和廣泛應(yīng)用。在解決三角形中的中線(xiàn)問(wèn)題也同樣適用，向量是一種有用的數(shù)學(xué)工具，它為我們解決三角形領(lǐng)域的問(wèn)題提供新的思維方法，開(kāi)闊教師和學(xué)生的視角，從而將三角形的知識(shí)在向量的串聯(lián)下實(shí)現(xiàn)有機(jī)統(tǒng)一，可以將三角形中的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化，從而使學(xué)生在解決三角問(wèn)題上更具有科學(xué)性和邏輯性，進(jìn)而培養(yǎng)高一學(xué)生的創(chuàng)新精神。

2.利用向量解法突破三角形中的邊長(zhǎng)問(wèn)題

例1：在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且A=，b（2sinA—cosC）=cCOSB，BC邊上的中線(xiàn)AM的長(zhǎng)是，求邊C的大小。

分析：由b（2sinA—cosC）=CcosB，得2sinBsinA—sinBcosC=sinCcosB.，2sinB·sinA=sin（B+C），即sinB=，得A=B=，依中線(xiàn)的向量性質(zhì)2=，即=，又因b=a，可得+=56，由余弦定理得cosA=，即cos=，得a=c，從而得出+，得C=。

在本題中，我們已知三角形中一邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)和三角形的內(nèi)角。此時(shí)，我們就可以利用向量法運(yùn)用到三角形中線(xiàn)中去，并幫助學(xué)生迅速構(gòu)建中線(xiàn)與邊角的關(guān)系式，從而正確求出三角形邊長(zhǎng)問(wèn)題。

3.利用向量解法突破三角形中的周長(zhǎng)問(wèn)題

例2：在△ABC中中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，b=，B=，D為AC的中點(diǎn)，BD=，求△ABC的周長(zhǎng)。

分析：依中線(xiàn)的向量性質(zhì)=，即=，又因?yàn)閎=2，可得=10，.由余弦定理cosB=，即cos=，得ac=2，從而得出，得a+c=，故△ABC的周長(zhǎng)為。

在解決三角形周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，若已知三角形一邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)與部分邊角，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生就利用中線(xiàn)的向量性質(zhì)，構(gòu)建三邊與中線(xiàn)的關(guān)系式，將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而快速做出解答。

4.在三角形中線(xiàn)問(wèn)題中運(yùn)用向量教學(xué)的注意點(diǎn)

教師在解決三角形中線(xiàn)問(wèn)題引入向量法時(shí)，首先應(yīng)讓學(xué)生感受到向量法的優(yōu)勢(shì)，改變學(xué)生對(duì)于向量法可有可無(wú)的想法。例如在小學(xué)中解決雞兔同籠的問(wèn)題時(shí)，小學(xué)生會(huì)感到很困難，待到中學(xué)學(xué)習(xí)方程組時(shí)，利用方程法就很容易解決，學(xué)生就會(huì)感到此方法很受用。同樣，在解決三角形中線(xiàn)問(wèn)題上，在利用正余弦定理的基礎(chǔ)上，介入向量法的使用，就會(huì)使問(wèn)題變得更加直觀(guān)，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

從目前情況來(lái)看，現(xiàn)在的向量教學(xué)存在著“穿新鞋走老路”的現(xiàn)象，具體可以理解為表面上是使用向量法，實(shí)際上還是運(yùn)用原來(lái)的幾何法，造成這種現(xiàn)象發(fā)生的根本原因是由于教師未引導(dǎo)學(xué)生利用向量思維去解決三角形問(wèn)題，因此造成學(xué)生對(duì)向量法的誤解。基于此，教師就可以將學(xué)生設(shè)置成幾個(gè)討論小組讓學(xué)生以小組探究的方式來(lái)研究三角形的性質(zhì)，并進(jìn)行大膽猜想多種解題方法，并利用向量法進(jìn)行推理證明，學(xué)生可以在此過(guò)程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)探究三角形性質(zhì)與向量之間的聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生的探究熱情。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文主要闡述了向量解法在三角形中線(xiàn)問(wèn)題應(yīng)用的意義，并舉例說(shuō)明利用向量解法突破三角形中的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)問(wèn)題，并分析在三角形中線(xiàn)問(wèn)題中運(yùn)用向量教學(xué)的注意點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)通過(guò)向量法來(lái)研究三角形的性質(zhì)，從而解決三角形中線(xiàn)問(wèn)題，這對(duì)激發(fā)高一學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣有很大的幫助。

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