均值不等式的一個新證明

王麗 燕子宗

摘要：本文通過運用伯努利型不等式方法和初等對稱多項式提出了均值不等式的一個新證明。

關鍵詞：算數平均數;幾何平均數

一、引言

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式。靈活的運用均值不等式，可以使得許多看似復雜的問題迎刃而解。均值不等式的具體內容為：調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為“調幾算方”。均值不等式也可以看成是“對于若干個非負實數，它們的算術平均不小于幾何平均”的推論。

迄今為止，諸多學者已經給出了許多關于均值不等式的證明和推導方法。例如數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等。本文在前人的工作啟發下，提出了均值不等式的一個新證明。

四、總結

本文基于初等對稱多項式提出了均值不等式的一個新證明，為證明均值不等式的證明提供了新思路，豐富了均值不等式的相關內容。

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基金項目：國家自然科學基金項目：（70771080）。

作者簡介：王麗，最優化理論與算法，長江大學信息與數學學院，湖北荊州，434023。

（長江大學信息與數學學院 湖北省荊州市 434023）