一道六校聯考解析幾何試題的探究

劉雷

摘 要：通過對2020年1月4日六校聯考[1]數學第20題解法探究，探究其規律，并適當拓展，充分挖掘題目本質原理，得到了一般性結論，并深化條件給出了一些優美的性質。

關鍵詞：2020年1月4日六校聯考;解析幾何;一般性結論;優美性質

六省六所全國重點中學聯考，簡稱六校聯考[1]。是由六校輪流命題，考試涉及面廣，影響力大，歷來受到大家的高度重視。2020屆高三第一次六校聯考于2020年1月4日-1月5日進行，其中解析幾何試題位于第20題的關鍵位置，題目形式上，一證一算，聚焦數學運算及邏輯推理核心素養，考察學生縝密的邏輯思維和運算求解能力。

題目的設問形式簡潔，結論優美。并且通過探究還能得到一些拓展性結論和性質，本文基于此展開筆者的探究過程，

供大家參考。

一、題目與解答

已知橢圓G：右焦點為F，過F的直線l交橢圓于A，B兩點，直線l不與坐標軸平行，若AB的中點為N，O為坐標原點，直線ON交直線x=3于M.

（Ⅰ）求證：MF⊥l;

（Ⅱ）求的最大值.

解：（Ⅰ）設l方程為，

由，得.

設

則

于是

則，得ON的斜率，所以，ON的方程為，得.

這樣MF的斜率，所以，從而MF⊥l.

（Ⅱ）

令，

則

由于t=3k2+1>1，故.所以，當.即k=±1時，的最大值為.

評注：第（Ⅰ）問和第（Ⅱ）問之間有一定的關聯性，第（Ⅰ）問的證明為第（Ⅱ）問的計算做了鋪墊，但都屬于過橢圓內一點互相垂直兩弦的特例。因此，一方面我們從問題的結論思考：1.過橢圓焦點且與坐標軸不平行的直線與橢圓相交的弦中點與原點連線的直線與相應準線交于一點，該點與焦點的連線與過焦點的直線是否垂直？2.若垂直，在此垂直的條件下，相應的線段長度比的最大值是否為常量？是否還有其他的定點、定值？若以上猜想結論成立，那么將過焦點的直線改為過橢圓內任意一點的直線，那么是否還有相應的結論？另一方面我們從求解過程思考：重視通性通法的同時，注意焦半徑、參數方程、極坐標等技巧的引入，對于研究定點、定值等一些一般性結論有很大的方便性。

二、條件關系的深化拓展

延長MF交橢圓G于C，D兩點，則AB⊥CD，設CD的中點為P.下面在AB⊥CD的基礎上進一步探究其一些優美的結論.

結論1：直線PN過定點S.

證明：設，由原題求解過程知：

，，

①

，，

②

當k≠±1時，，直線PN方程為：，故直線PN過定點.

當k2=1時，點P，N的橫坐標均為，故直線PN過定點.

綜上，直線PN過定點.

結論2：分別以AB，CD為直徑的兩圓公共弦中點軌跡也過定點S[2].

證明：以AB為直徑的圓的方程為：

，

即③

以CD為直徑的圓的方程為：

，

即④

③-④得兩圓公共弦所在直線方程為：

將①②代入得

當k2≠1時，，又直線PN方程為：.

所以，公共弦中點的軌跡方程為：即公共弦中點的軌跡是以為直徑的圓，故，公共弦中點的軌跡也過定點

當k2=1時，兩圓公共弦所在直線方程為：y=0，直線，故公共弦中點為.

綜上：公共弦中點的軌跡也過定點

三、結論的一般性拓展

將該題中的一些條件推廣到一般的橢圓，結論仍然成立，具體如下：

性質1：已知橢圓右焦點為F，過F的直線l交橢圓于A，B兩點，直線l不與坐標軸平行，若AB的中點為N，O為坐標原點，直線ON交直線于M.

（1）MF⊥l.

（2）當c>b時，的最大值為.

性質2：過內任意一點作兩條相互垂直的弦.AB，CD的中點分別為P，N.

（1）直線PN恒過定點.

（2）分別以AB，CD為直徑的兩圓公共弦中點軌跡也過定點[2].

性質3：：過的一個焦點F引n條弦使相鄰兩弦間的夾角都為，則.

四、探究后的思考

在平日里的教學過程中通過這樣的探究活動，探索隱藏在題目背后的奧秘，將研究問題引向深入，挖掘題目的真正內涵，才能夠找到解決這一類問題的規律，才能領會到試題命制的深刻背景。通過引導學生進行分析、類比、猜想、證明，學生就能體驗數學的發現和創造歷程，這樣就可以深化學生的思維。讓學生體驗通過改變試題條件的探究過程，能夠加深對問題的思考、理解和針對問題本質的透析。達到加深對知識的理解，才能跳出茫茫題海，提高學習效率;才能全面提高學生的綜合能力，從而提升學生的數學核心素養。

參考文獻

[1]六校聯考：衡水中學，山西大學附屬中學，西工大附中，鄭州外國語學校，巴蜀中學，成都七中六校于2020年1月4日至1月5日進行聯考.

[2]尹惠民.試探以圓錐曲線的垂直弦為直徑的圓[J].中學數學研究，2016（2），26-27.