高中數形結合思想方法的教學探究

摘 要：高中數學知識是數形結合思想方法的主要載體。本文通過歸納和剖析數學知識，揭示數形結合思想主要呈現的兩種形式，結合學生的認知規律，探究教學中的有效策略和方法。

關鍵詞：思想方法;數形結合

引言：隨著課程標準改革的不斷推進，課程目標對數學思想的教學提出了更高的要求。畢達哥拉斯學派曾提出萬物皆數的世界觀，主要體現的就是數形結合的思想?！皵怠迸c“形”本是一種無意識的結合，具有完全不同的特性，“數”可運算，“形”更直觀。隨著數學的進步與發展，在遇到復雜問題時，數學家們開始有意識的將“數”與“形”結合起來，優勢互補，達到解決相應數學問題的目的。高中數學知識便是數形結合思想應用和呈現的主要載體。

一、以數解形

以數解形是利用數的運算對圖形的性質進行分析，即數為工具，形為目的，從數量關系中提煉出性質，解決圖形問題。解析幾何和立體幾何教學中常見這類數形結合思想。

（一）“解析幾何”中的數形結合思想

例1已知拋物線y2=4x，F為其焦點，A（3，2），點P是拋物線上的動點，當|PA|+|PF|取得最小值時，求P點的坐標。

分析：如圖，本題利用數形結合，可以將|PF|轉換為|PM|，結果直觀明了，問題迎刃而解。缺乏圖形的直觀，解析幾何問題將無從入手。

（二）“立體幾何”中的數形結合思想

例2已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為.

分析：如圖，過P點做平面ABC的垂線段PO，再做PE⊥CB，PF⊥CA可得OE⊥CB，OF⊥CA，在中，由，可得出CF=1，同理在中可得出CE=1，結合，可得出OE=OF=1，.立體幾何能充分反映以數解形的思想，如角度、長度、面積、體積等，這些問題的考查與解答都離不開數形結合。

二、以形助數的載體

以形助數是指利用形的直觀、具體來表示數量關系，即形為工具，數為目的，現實生活中總存在與數相對應的“形”。因此，在教學過程中，要引導學生學會“數”、“形”對應?；靶巍背橄蟪伞皵怠?，這類數形結合的問題有函數、線性規劃、向量、概率等。

（一）“函數”中的數形結合

例3設函數，則滿足的x的取值范圍是（ ）

A.（-∞，-1） B.（0，+∞） C.（-1，0） D.（-∞，0）

分析：首先根據題中所給的函數解析式，畫出函數圖像，從圖中發現若成立，一定有，解得x<0.在研究函數性質及解決函數問題時，數形結合思想可發揮出事半功倍的作用.

（二）“線性規劃”中的數形結合

例4：若x，y滿足約束條件，，則的最大值為________.

分析：首先畫出相應的可行域，再轉化目標函數的幾何意義，可以發現直線，過B點時取得最大值為6.線性規劃常見的斜率型、截距型、距離型等目標函數，都是根據數形結合，對照相應的幾何性質，以形助數的思想得到充分體現。

（三）“向量”中的數形結合

例5：設非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|，則（ ）

A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b|

分析：向量本身就是數與形結合，具有代數和幾何性質。利用向量的三角形法則和平行四邊形法表示出幾何圖形，容易得到向量之間的性質關系。

（四）“概率”中的數形結合

例6：點A為周長等于3的圓周上的一個定點.若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為

分析：本題利用數形結合，將概率問題轉化成幾何圖形，可以直觀地看出B點的軌跡，計算概率。

三、數形結合思想滲透教學的啟發

掌握數形結合思想有利于培養學生的思維能力，所以在日常中的滲透教學就變得十分關鍵，要注意遵循學生學習數學思想方法的規律。

（一）循序漸進

數學思想方法一般以數學問題為載體，蘊含在知識的形成過程中。如函數，從函數的概念到函數的應用，都離不開數形結合思想。學生對思想方法的認知從了解到應用需要經歷一個漫長的教學過程，只有循序漸進地滲透，才能使學生真正地在學習數學知識過程中掌握數學思想方法。

（二）注重變式教學

在教學實際中，不少老師為鞏固練習而時?？s短講解新課的時間，這樣容易導致學生建立題型與解題方法之間的聯系，很難發現數學思想的本質。要想從中剝離出所蘊含的數學思想，變式教學就尤為重要。例如線性規劃和幾何概型的教學，利用變式將不同的問題情境聯系起來，在變化中適時地歸納總結，突出問題的本質，逐步凸顯蘊涵其中的數形結合思想方法。

（三）明確目標

在數學教學過程中，教師和學生容易忽略數學思想是否掌握。如函數性質的教學，多數學生會將重點放在掌握函數的性質上，卻沒有意識到數形結合方法的重要性。通過數形結合畫出圖像，能夠更直觀有效地研究性質。因此，在教學過程中，要不斷強調掌握數學思想方法也是重要的教學目標。

結束語

數形結合思想是通過總結具體知識的形成過程，從中提煉出來的抽象數學思維方式。學好數形結合思想，除了在日常教學的滲透之外，歸納總結也十分必要，這樣才能讓學生在學習過程中逐漸形成一個整體，從一定的高度來認識數形結合思想。

參考文獻

[1]張奠宙.數學方法論稿（修訂版）[M].上海：上海教育出版社，2012.

作者簡介：張琛（1985-）.男，中學一級，從事高中數學教學與研究。