畫數(shù)：基于思維可視化的分?jǐn)?shù)教學(xué)

林曉

【摘要】數(shù)學(xué)是思維的體操。發(fā)展思維是核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵訴求，將思維可視化運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以實(shí)現(xiàn)零散知識(shí)系統(tǒng)化、隱性思維顯性化、知識(shí)建構(gòu)模型化。將大腦中的思維“畫”出來（“畫數(shù)”），可以讓數(shù)學(xué)知識(shí)更容易被理解、被記憶，也可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能動(dòng)性。

【關(guān)鍵詞】思維可視化 畫數(shù) 圖示及圖示組合 分?jǐn)?shù)教學(xué)

數(shù)學(xué)是思維的體操，發(fā)展思維是核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵訴求。教師應(yīng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的多重感知，讓學(xué)生參與思維發(fā)生、發(fā)展與表達(dá)的全過程，讓思維“看得見”。思維可視化是指以圖示或圖示組合的方式，把原本不可見的思維結(jié)構(gòu)、思考路徑及方法呈現(xiàn)出來，使其清晰可見的過程。將思維可視化運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以實(shí)現(xiàn)零散知識(shí)系統(tǒng)化、隱性思維顯性化、知識(shí)建構(gòu)模型化。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，將大腦中的思維“畫”出來（“畫數(shù)”），可以讓數(shù)學(xué)知識(shí)更容易被理解、被記憶，也可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能動(dòng)性。

《認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》單元中的一課。之前學(xué)生已經(jīng)積累了一個(gè)物體的幾分之一的分?jǐn)?shù)知識(shí)，后續(xù)還將學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義等知識(shí)，從而構(gòu)建完整的分?jǐn)?shù)知識(shí)體系。在兩次執(zhí)教的過程中，筆者改變?cè)O(shè)計(jì)初衷，利用思維可視化的理念，將關(guān)注點(diǎn)從“知識(shí)層”邁入到“思維層”，教與學(xué)的目標(biāo)從“學(xué)會(huì)”升華到“會(huì)學(xué)”。

【第一次試教】

（一）教學(xué)例題1

提問：把一個(gè)桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這個(gè)桃的幾分之幾？猴媽媽帶來一盤桃，平均分給2只小猴呢？

追問：如果這盤桃有6個(gè)桃子，怎樣表示這盤桃的二分之一呢？有4個(gè)桃呢？8個(gè)桃呢？

比較：每盤桃的個(gè)數(shù)不同，為什么都可以用二分之一來表示？

小結(jié)：雖然每盤桃個(gè)數(shù)不同，但只要把一盤桃看作一個(gè)整體，平均分成2份，每份就是這盤桃的二分之一。

（二）教學(xué)例題2

提問：猴媽媽帶來的這盤桃有6個(gè)，平均分給3只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？

指出：把6個(gè)桃看成一個(gè)整體，平均分成3份，每份是這盤桃的三分之一。

與例1比較：都是把6個(gè)桃平均分，為什么前面每份用二分之一表示，這里用三分之一表示？

說明：一盤桃，平均分成2份，每份是它的二分之一;平均分成3份，每份就是它的三分之一。平均分的份數(shù)不同，得到的分?jǐn)?shù)也不同。

（三）教學(xué)“試一試”

提問：這里有一盤桃12個(gè)，你能平均分成幾份？每份是它的幾分之一？

比較：都是把12個(gè)桃平均分，為什么表示每一份的分?jǐn)?shù)不同？

觀察：平均分的份數(shù)和表示每份的分?jǐn)?shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：把一盤桃看成一個(gè)整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

【問題發(fā)現(xiàn)】

第一次試教，教師試圖通過動(dòng)手操作、觀察比較等方式幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一，學(xué)生在精準(zhǔn)引導(dǎo)之下逐步掌握知識(shí)，一切顯得順理成章。然而，“為什么要把這些物體看成一個(gè)整體平均分”的認(rèn)知需要，“怎樣用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來描述平均分的過程”的學(xué)習(xí)重點(diǎn)沒有突破。

（一）學(xué)生被動(dòng)地思考，思維未真正發(fā)生

無論是把6個(gè)桃看作一個(gè)整體平均分，還是把4個(gè)桃、8個(gè)桃看作一個(gè)整體平均分，都是既定的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生被動(dòng)地思考、被動(dòng)地接受，生成性資源較少，思維未得到真正的發(fā)生。

（二）學(xué)生低階地思考，更何談高階思維

學(xué)生尚未對(duì)“一個(gè)整體的幾分之一”這一知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的梳理，知識(shí)呈散點(diǎn)狀，知識(shí)間的聯(lián)系未形成。學(xué)生為了學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，為了思考而思考，思維含量不高，思維效能不明顯。

【第二次試教】

（一）問題引領(lǐng)，引發(fā)思考

出示：1/2。提問：誰(shuí)來介紹這個(gè)數(shù)？

提問：1/2是分?jǐn)?shù)，是在平均分的過程中得到的。我們可以把什么平均分得到1/2呢？

生1：把一個(gè)蘋果平均分成2份，每份是這個(gè)蘋果的二分之一。

生2：把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成2份，每份是這個(gè)長(zhǎng)方形的二分之一。

生3：把一根1米長(zhǎng)的彩帶平均分成2份，每份是這根彩帶的二分之一。

指出：把一個(gè)物體、一個(gè)圖形平均分成2份，每份就是它的二分之一。

（二）主動(dòng)探究，自主建構(gòu)

1.首次建構(gòu)

（1）直觀感受

引導(dǎo)：猴媽媽上山摘桃子。這籃桃子（用布蒙住）要分給2只小猴，每個(gè)小猴分得多少？誰(shuí)來猜一猜，這籃桃子有幾個(gè)？

生1：4個(gè)。

生2：10個(gè)。

生3：雙數(shù)個(gè)。

出示：6個(gè)桃。提問：籃子里有6個(gè)桃，把這籃桃平均分給2只小猴，每人分得幾個(gè)，是這籃桃的幾分之幾呢？

用“○”代替桃子圈一圈、分一分。

說明：把6個(gè)桃看作一個(gè)整體，平均分成2份，每份是這籃桃的二分之一。

……

（2）舉一反三

提問：猴媽媽繼續(xù)摘桃子。這籃桃子（用布蒙住）還是平均分給2只小猴。這籃桃還可能有幾個(gè)？每只小猴分得幾分之幾呢？請(qǐng)你動(dòng)手試一試。

呈現(xiàn)學(xué)生思考結(jié)果并形成思維圖（見圖1）。

第一次比較：每籃桃子的個(gè)數(shù)不同，為什么都可以用二分之一來表示？

指出：每籃桃的個(gè)數(shù)不同，只要把它看作一個(gè)整體，平均分成2份，每份都是這籃桃的二分之一。

2.再次建構(gòu)

（1）積累表象

引導(dǎo)：還是這籃桃子（用布蒙住）我們還能平均分給幾只小猴，每只小猴分得這籃桃的幾分之一呢？

呈現(xiàn)學(xué)生交流結(jié)果并形成魚骨圖（見圖2）。

（2）分析抽象

觀察并討論（第二次比較）：

①都是把6個(gè)桃看作一個(gè)整體平均分，為什么有時(shí)用1/2表示，有時(shí)又用1/3表示？

②都是12個(gè)桃，表示每一份的分?jǐn)?shù)為什么不同？

交流得出結(jié)論：平均分的份數(shù)不同，得到的分?jǐn)?shù)也不同。

（3）演繹深化

引導(dǎo)：把12個(gè)桃看作一個(gè)整體平均分成4份，每份是1/4;平均分成6份，每份是1/6。12個(gè)桃你還可以平均分成幾份？又能得到什么分?jǐn)?shù)呢？

生1：把12個(gè)桃看作一個(gè)整體平均分成3份，每份是這個(gè)整體的1/3。

生2：把12個(gè)桃看作一個(gè)整體平均分成12份，每份是這個(gè)整體的1/12。

……

呈現(xiàn)樹狀圖（圖3），第三次比較：觀察平均分的過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：把一籃桃看成一個(gè)整體，平均分成幾份，每份是它的幾分之一。

追問：我們還可以把什么看作一個(gè)整體平均分？

（三）回顧反思，小結(jié)學(xué)法（略）

【教學(xué)反思】

學(xué)生所需要的不是定義的分?jǐn)?shù)，而是“行為的分?jǐn)?shù)”，即通過大量的操作活動(dòng)如分一分、畫一畫、說一說等，幫助學(xué)生深入理解一個(gè)整體的幾分之一。“畫數(shù)”，用直觀的圖示表征抽象的思維，在動(dòng)手操作、合作交流中展現(xiàn)思維發(fā)生、發(fā)展的過程，在語(yǔ)言表達(dá)中外化數(shù)學(xué)思維。“畫數(shù)”，成為學(xué)生理解數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)的“錨”。

（一）以“發(fā)展思維”為深層目標(biāo)，讓學(xué)生“畫”出學(xué)習(xí)過程

思維是人類所具有的高級(jí)認(rèn)識(shí)活動(dòng)。如何讓內(nèi)隱的思維過程外顯化，畫數(shù)是簡(jiǎn)潔、易行的方法之一，有助于學(xué)生表征思維、教師“觀察”思維。教學(xué)時(shí)，首先給出已識(shí)的1/2，用畫數(shù)的方式表示一個(gè)整體的1/2，讓學(xué)生明確2個(gè)桃、4個(gè)桃、6個(gè)桃……都可以看成一個(gè)整體平均分成2份，每一份就是這個(gè)整體的1/2。接著，給出一個(gè)“蒙著布”的籃子，讓學(xué)生充分想象具體表征，用畫數(shù)的方式表示不同的整體平均分后得到的不同的幾分之一，了解“平均分的份數(shù)不同，得到的分?jǐn)?shù)也不同”。最后，利用生成性資源繼續(xù)思考“12個(gè)桃看作一個(gè)整體平均分后還能得到幾分之一”這一問題，用畫數(shù)的方式表示出12個(gè)桃1/2、1/3、1/4……讓學(xué)生明確“把一籃桃看成一個(gè)整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一”。

（二）以“設(shè)計(jì)圖示”為效能手段，讓學(xué)生“畫”懂學(xué)習(xí)重點(diǎn)

圖示是學(xué)生思維的窗口。圖示的直觀性與思維的結(jié)構(gòu)性、嚴(yán)密性、概括性結(jié)合起來，就能讓抽象復(fù)雜的思維過程一目了然，同時(shí)給簡(jiǎn)明直觀的圖示賦予豐富的思維與靈魂。教學(xué)時(shí)，結(jié)合三個(gè)核心問題的教學(xué)，充分利用學(xué)生的生成性資源，呈現(xiàn)了三張圖示及圖示組合（思維導(dǎo)圖、魚骨圖、樹狀圖），讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)從具體到抽象、從一般到特殊的過程，從而促進(jìn)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化形成、思維的結(jié)構(gòu)化推進(jìn)。

（三）以“合作探究”為課堂形式，讓學(xué)生“畫”清學(xué)習(xí)方法

合作是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。基于思維可視化的“畫數(shù)”，還能為合作探究提供有效支持：師生、生生、小組內(nèi)、小組間都可以借助圖示進(jìn)行思維交流與思維碰撞。教學(xué)中，結(jié)合三個(gè)核心問題的教學(xué)，設(shè)計(jì)以獨(dú)立思考、畫數(shù)為前提的交流活動(dòng)，讓學(xué)生完整建構(gòu)“一個(gè)整體的幾分之一”這一知識(shí)，同時(shí)合作探究也超越了數(shù)學(xué)學(xué)科本位，能讓這種有效的學(xué)習(xí)策略，經(jīng)過多次強(qiáng)化（實(shí)踐運(yùn)用），成為可被內(nèi)化的自主學(xué)習(xí)的能力。

“頭腦不是一個(gè)要被填滿的容器，而是一把需要被點(diǎn)燃的火把。”學(xué)與教的思維可視化策略，是能夠?qū)崿F(xiàn)思維發(fā)展的重要途徑。在思維可視化的過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)情感走向積極、學(xué)習(xí)方式走向合作探究、圖示能力走向創(chuàng)造，思維方法也從單向走向多元，從而使思維能力有效發(fā)展、思維品質(zhì)有效提升、思維力體系逐步完善。