基于建模思想的解析幾何教學設計

張穎 楊廷堯

摘要：結合數學建模思想，借助線上教學平臺，以二次曲線的方程化簡為例，從問題背景、建模實例選擇及信息化技術選擇等方面創新教學設計，并實踐于課堂教學。通過數學建模，提高學生運用解析幾何知識解決實際問題的能力，提高解析幾何課堂的教學效果。

關鍵詞：建模思想、二次曲線、坐標變換

解析幾何的主要思想是通過代數的方法來研究幾何圖形性質，通過建立坐標系把空間的幾何結構系統地代數化，確定曲線或曲面的方程或解析式，進行平面解析幾何和立體解析幾何研究。數學建模思想是利用數學理論結合實際問題，建立數學模型進行求解，根據結果解決實際問題。接下來以二次曲線的方程化簡為例，借助現代化信息技術，結合線上線下教學平臺，創新教學設計。

一、教學背景

在互聯網普及的大環境下成長的學生，相對于傳統教學課堂，借助信息技術平臺教學，可以更有效調動學生的學習興趣。大部分學生數學基礎薄弱，且缺乏空間幾何想象能力，利用解析幾何理論知識建立數學模型解決實際問題，可以讓學生直觀地理解理論知識的實質與應用。基于對解析幾何課程的研究，選擇恰當的建模實例，創新教學設計。

二、教學分析

2.1 教學內容

本節課以二次曲線的方程化簡為切入點，講解二次曲線的方程化簡及應用。授課時長2學時。

2.2 學情分析

學生知識基礎分析：通過前期的知識學習，學生已經掌握向量與坐標、二次曲線的方程、基本符號、幾何性質。學生能力基礎分析：學生動手操作能力強，應用所學知識解決實際問題不足，遷移能力不足，對問題本質分析不到位，對理論知識理解不夠透徹且遺忘快。學生素質基礎分析：學生具有探究精神，缺乏主動學習意識，數學建模思想薄弱。

2.3 教學目標

第一，知識目標。掌握平面直角坐標變換概念;掌握二次曲線方程的化簡和作圖方法;第二，能力目標。理解移軸變換和轉軸變換對曲線坐標位置的影響，提高學生應用幾何知識解決問題的能力。第三，素質目標。培養學生數學建模思維，增強學生的專業探究精神。

2.4 教學重難點及教學策略

本次課程重點是二次曲線方程的化簡與步驟，難點是結合坐標變換，利用化簡后的二次曲線方程進行作圖，并利用所學知識建模解決實際問題。針對學生的學情特點及教學內容，本課程遵循簡化數學公式的推導，培養學生建模思維的原則完成教學設計。由課程相關的實際案例導入，充分利用多媒體與數學軟件，激起學生學習的興趣，啟發學生數學建模思維。

三、教學設計

本課程教學過程分為建模實例導入、新課講授、實例講解、建模求解、課堂小結五部分。針對本課程二次曲線方程化簡采用的直角變換公式，結合2020年全國大學生數學建模競賽D題進行應用教學。

3.1建模實例導入

引入接觸式輪廓儀的自動標注問題，輪廓儀是一種兩坐標測量儀器，其通過對工件表面進行幾何輪廓測量，采樣得到一組數據。同一工件放置的位置和角度不同時，測量得到的輪廓線參數的數據值也會存在差異。給定一組水平測量數據，一組傾斜測量數據。提問：如何計算該工件測量時的傾斜角度，并對傾斜數據作水平校正。利用建模相關案例引起學生的學習興趣，參與到課堂的思考與討論中，從而引入本節課的教學內容。

3.2新課講授

在平面上，通過移軸建立新舊坐標系，分析同一個點在新舊坐標系中的坐標表示，引導學生得出新舊坐標的移軸坐標變換公式;同理通過轉軸建立新舊坐標系，導出轉軸坐標變換公式;最后結合移軸與轉軸坐標變換，推導出由舊坐標系變成新坐標系的一般坐標變換公式及其逆變換公式。利用移軸與轉軸的幾何意義，結合二次曲線的性質，得出二次曲線方程化簡規律：中心曲線方程化簡先移軸再轉軸;非中心曲線方程化簡先轉軸再移軸。

3.3實例講解

給出中心曲線方程與非中心曲線方程化簡實例，引導學生利用所學知識進行化簡，并根據化簡后的方程在新坐標系中作出二次曲線的圖形。利用多媒體課件展示，并對所作圖形進行新舊坐標旋轉，由學生自由討論，總結出變換前后圖形形狀不變，對應的點坐標發生變化，且符合一般變換公式規律。

3.4建模求解

結合本課程的一般坐標變換公式與圖形變換坐標規律，針對課堂導入中提出的建模實例，要求學生分組進行討論，利用本課程內容進行建模求解。引導學生對案例進行分析，由于案例測量數據量較大，教師通過利用MATLAB軟件進行建模求解，首先對水平與傾斜兩組數據進行作圖，利用直線的斜率計算出傾斜數據的傾斜角度，得到一般坐標變換公式作旋轉變換，輸入傾斜測量數據作水平校正。

3.5課堂小結

對本課程的移軸、轉軸及一般坐標變換公式作小結，根據坐標變換公式可以對二次曲線方程進行化簡，也可以對實際案例中的傾斜問題作水平校正，引導學生課后尋找一些與水平校正相關的問題，利用所學知識進行建立求解模型。

四、教學反思

課堂通過往年數學建模競賽真題中的實際問題展開教學，學生帶著問題進入課堂學習，利用所學的知識建立模型，對所提出的實際問題利用MATLAB軟件進行求解，讓學生體會坐標變換公式規律實際的意義與應用，切身感受到數學的應用價值，以及利用數學軟件解決實際問題的便利與高效。

實踐證明，將數學建模思想與解析幾何教學相融合，可以使學生更加具體地領悟解析幾何在實際問題中的應用，也能進一步啟發學生的數學建模思想，提高數學建模能力，相互促進，相輔相成。本課堂教學設計目的是通過導入競賽案例，在完成課堂知識學習的同時，培養學生的數學建模思維，進而更好地將數學知識與實際應用相結合。

參考文獻

[1]于育民，連冬艷.基于數學建模思想的解析幾何教學改革研究[J].知識經濟，2020（16）：161-162.

[2]吳蘇.數學建模思想融入解析幾何的實際應用探討[J].科技風，2020（04）：63.

[3]于育民，朱玉清.高校解析幾何課程教學改革的實踐與思考[J].赤峰學院學報（自然科學版），2017，33（12）：209-210.