高三數學復習課如何構建解題結構的探討

劉峰

高三數學教學是高中階段最為重要的一個環節，第一輪復習的目標是夯實基礎，包括“牢固掌握基礎知識”、“形成熟練的基本技能”、“養成運用基本數學思想方法研究問題的意識”、“積累豐富的基本活動經驗”。如何達成這一目標，很大程度上取決于教師在課堂教學中講什么、怎么講。研究高考真題，以真題中的熱點問題為專題進行復習，能提高備考效率，本節課就高考中解析幾何的面積最值問題展開教學，通過對高考真題的拆解，突破難點，構建解題結構。

一、講解題結構的構建

課堂從引例“已知圓 ，過點P（2，0）的直線 與圓C交于A.B兩點，求 面積的最大值”中與圓有關的三角形面積問題開始，以學生已有的活動經驗為基礎，復習解題思路的同時，幫助學生構建解題結構。解析幾何集幾何與代數為一身，研究相關問題時，需經理先幾何后代數的過程，與圓有關的三角形面積問題是解析幾何中較為特殊的研究對象，其幾何性更為突出，但學生往往容易忽略幾何性，應用通性通法來求解問題。以此題為引例，旨在強化幾何、代數的結構，為問題變化為橢圓等曲線中面積最值問題做好鋪墊，并明確“主元”思想。復習思路的過程既發散了思維，也幫助學生將解題思路進行了整理，形成引例的解題結構，如圖1。

引例的解題結構體現了本節課“解析幾何的面積最值問題”要復習的重點問題，第一個是主元的選擇問題，主元的選擇對運算的方式、方法，以及后端的面積函數都有較大的影響;第二個是面積函數的最值求解問題，不論選擇哪個主元，最終面積函數的求解均與基本不等式、換元、拆分運算等知識技巧有關。這兩個問題就是面積最值問題的核心問題，引例的解題結構既幫助學生明確了解題方向，也幫助學生明確了解題環節，實現難點的突破。

二、講主元選擇的比較

主元的選擇是解題結構的第一環節。該部分的教學將引例中的圓換成橢圓，三角形面積問題換成四邊形面積問題，強化題目背景的變化不影響解題結構時，訓練學生主元選擇的意識，比較主元選擇對運算量的影響。

例題 ?已知橢圓 ， 分別為左右焦點，過 的直線 與橢圓E交于A，B兩點，過F2且與直線 垂直的直線 與橢圓E交于C，D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值。

例題引導學生從幾何路線、通性通法、參數方程三個方向選擇自己喜歡的主元進行面積函數的計算求解，給與學生們充分的活動時間，體驗不同主元下運算的繁簡比較?；顒又袑W生大多數選擇通性通法，以斜率k為主元;部分同學選擇參數方程，以傾斜角 為主元;幾乎沒人選擇幾何路線，究其原因是不能發現與焦點弦長（或焦半徑）有關的三角形，進行解三角形知識的應用。因此課堂點評以參數方程的運算為展示，讓學生對比運算量的差異，以介紹解三角形的方式求解弦長為輔，發現思維。通過例題的活動、點評，讓學生強化面積最值問題解題結構的第一環節，重視主元的選擇。其實，主元的選擇是解析幾何中重要的思維意識，并不局限于面積問題。

為了鞏固引例、例題的教學果效，課堂設置了一個變式練習，訓練學生基于解題結構的思維。具體變式如下：已知橢圓 ，圓 ， 分別為左右焦點，過F2的直線 與橢圓交于A，B兩點，過F2且與直線 垂直的直線 與圓交于C，D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值.

引例、例題、變式的設計均由高考真題拆分而來，以高考真題重組的方式，看到題目的發展變化，推陳出新，體悟高考真題萬變不離其宗的解題結構。

三、講歸納總結的提升

課堂教學精講了引例、例題，略講了變式，每一道題目講解之后都進行了歸納提升。整節課處處體現歸納提升的重要性，第一處在引例解題思路的回顧之后，旨在歸納總結引例的入題結構，體現主元選擇的多樣性;第二處在引例面積函數的求解策略之后，旨在歸納上四下四分式函數的一般轉化策略結構，前后兩次總結形成了面積最值問題完整的解題結構;第三處在例題面積函數的計算之后，旨在應用解題結構的同時，幫助學生強化主元選擇的意識;第四處總結是三角形、四邊形面積求解公式、方法的總結，旨在提醒學生求解面積時要注意進行靈活的選擇;第五處總結是例題背景的挖掘，圓錐曲線兩條垂直焦點弦長的倒數和為定值，該部分的教學是課堂思維深化的點綴，鼓勵學生要進行廣泛的聯系與思考，探究命題背景;第六處總結是課堂小結，強化解題結構，鞏固課堂教學。

整節課圍繞解題結構（如圖2）展開，從解題思路的探尋，到三種解題方向的實踐、比較，從面積函數的得到，到函數最值的求解策略，構建解題結構，突破解題難點;從圓到橢圓、從橢圓到橢圓與圓，從三角形到四邊形，強化結構的穩定，把握解題的結構。

高三的復習是知識綜合應用的學習，是知識應用于解題時解題結構的構建。課堂要從廣泛的聯系出發，發散思維，捕捉思維火花，但又不能讓思維的出現成為無源之水，因此就需要教師創設良好的情景推動學生發散思維，再進行及時的歸納總結，構建解題結構。教學中需要教師主動構建解題結構，打造出一節節高效的課堂，助力高三復習。

（微山縣第三中學 ?山東濟寧 ?272195）