“動靜法”解函數背景下幾何最值問題

摘 要：中考不僅有選拔功能，也有反饋功能，教師可以通過中考試題以及中考改編題發現學生的認知水平，從而為指導教學提供依據.“動靜法”解函數背景下動態幾何最值問題，特別是動態下三角形面積最值問題，考慮用三角形的面積等底乘高的一半，或者鉛垂高水平寬的一半.這類綜合題是初中重點知識、思想方法的考查范圍，能從不同角度充實、優化學生的認知結構，是平時教學中的優質例題，具有良好的教學價值.

關鍵詞：動靜法;幾何最值;底乘高的一半;鉛垂高水平寬的一半

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）14-0012-02

收稿日期：2021-02-15

作者簡介：張春花（1989.3-），福建省莆田人，碩士，中學二級教師，從事數學教學研究.

一、題目呈現

如圖1，拋物線y=x2-x-4與直線y=-2x+2交于A、B兩點，

直線與y軸、x軸的交點分別為點E、點F.直線AB下方的拋物線上有一動點P，記點P的橫坐標為t.當△ABP的面積最大時求t的值，并求出△ABP面積的最大值.

二、特色解讀

題目簡約，內涵豐富，指向核心素養.

現在人的眼里，簡單即是美，體現在數學題目上也一樣.本題圖像簡單唯美，文字簡約，體現數學的簡約美.簡約外形下對動態下求三角形面積最大值這一核心問題考查到位，而且此題考查函數背景下的幾何最值問題，具有較好的延展性，題目不變，可以把問題變式為求線段最短，求三角形周長最短等等，可以從多角度變式探究，此題不失為一道內涵豐富的課堂例題.

本題以二次函數為載體，綜合考查了初中階段“圖形與幾何”“數與代數”的重點知識：二次函數，一次函數，相似三角形，三角函數等，不僅為高中學習二次函數奠定了基礎，也對學生的思維發展產生了積極作用.

三、解法欣賞

由已知條件中拋物線與直線交于A、B兩點，聯立直線與拋物線的解析式可以求出點A、B的坐標，進而根據兩點之間的距離公式得到A、B兩點間的長度;由已知條件中直線與y軸、x軸的交點分別為點E、點F，根據直線的解析式可以求出點E，點F的坐標，進而求出OE=2，OF=1，EF=5，這樣我們就得到直角三角形EOF是確定的，這些都是本題的定量條件;由已知直線AB下方的拋物線上有一動點P，記點P的橫坐標為t，則動點P的坐標滿足拋物線的解析式，從而得到P的坐標為P（t，t2-t-4），又動點P在直線AB的下方，這樣可以得到t的范圍在A、B兩點的橫坐標之間，這是本題的變量條件.

分析完本題的條件，再來看本題的問題，當△ABP的面積最大時求t的值，并求出△ABP面積的最大值.通過分析已經知道AB的長度，從靜態視角下考慮只要找到AB邊上的高長度最大時所對應的點P即可.從動態視角下考慮可以利用相似或三角函數轉化表示出AB邊上的高DP關于變量t的關系式，也可以考慮利用“化斜為直”轉化.

1.靜態法——利用直線平移，化動為靜

思路分析 要求△ABP面積的最大值，AB的長度固定，只要找到點P到直線AB的距離最大值即可，將直線AB進行平移，很明顯平移到直線與拋物線只有一個交點的時候，即直線與拋物線相切時的切點P到直線AB的距離最大.聯立直線與拋物線的解析式，根據Δ=0得到k的取值，進而得到切點P的坐標.解法1 利用直角三角形求面積

由于A，B，P三點的坐標都已知，根據兩點的坐標公式可以得到AB，AP，BP的長度，通過勾股定理的逆定理可以得到此時△ABP是直角三角形，利用直角三角形的面積公式可以求得t=-12時△ABP面積的最大值為1258.

解法2 利用“化斜為直”求面積

因為A，B，P三點的坐標已經求出來了，所以可以利用“割補法”求出ΔABP的面積.采用割法——“化斜為直”利用三角形面積等于鉛垂高與水平寬乘積的一半來求，前面求A，B，P三點的坐標同解法1，過點P作CP∥y軸交直線AB于點C，根據直線的解析式可以得到點C的坐標，根據兩點的坐標公式可以得到CP長度，利用三角形面積等于鉛垂高（CP長度）與水平寬（A，B兩點的水平距離）乘積的一半可以回答本題的問題.

2.動態法——構造函數法

思路分析 從動態角度思考這道動點問題，根據ΔABP的面積等于底乘高的一半，已知AB長度，只要用變量t表示AB邊上的高DP即可，考慮利用相似，銳角三角函數把變量CP的長度轉化成DP的長度.

解法1 利用相似構造函數

過點P作CP∥y軸交AB于C，DP⊥AB交AB于D，因為點C，P的橫坐標相同，且點C在直線y=-2x+2上，所以Ct，-2t+2，進而得到CP的長度，利用△CDP與ΔEOF相似轉化得到DP與CP的數量關系，進而得到DP關于t的二次函數，然后根據三角形的面積等于底乘高的一半就成功的構造出△ABP的面積關于t的二次函數，最后利用二次函數的性質回答本題的問題.

解法2 利用三角函數構造函數

因為解法1中兩個相似三角形是直角三角形，所以可以考慮利用銳角三角函數轉化，由于DP與CP是∠PCD的對邊與斜邊的關系，所以考慮用銳角正弦三角函數轉化.解題過程同解法1一樣，只是在求DP與CP關系式時用正弦三角函數轉化，同樣得到DP關于t的二次函數.

解法3 利用“化斜為直”構造函數

解法1，2是根據△ABP的面積等于底乘高的一半，利用相似，三角函數把變量CP的長度轉化成DP的長度求解，解法3考慮把△ABP的面積“化斜為直”直接利用CP（鉛垂高）的長度求面積.△ABP的面積等于鉛垂高（CP長度）與水平寬（A，B兩點的水平距離）乘積的一半.

四、教學導向

“動靜”視角思考函數背景下幾何圖形中含有“動態”元素題

函數背景下幾何最值問題，一題多解，可以提高同學運算能力，拓寬解題思路，對于幾何圖形中含有“動態”元素（點，線段等）的問題一般都有兩種視角思考的思路，視角1靜態下數形結合找到題目中要的動態元素位置;視角2動態下通過線段，面積等建立“動態”元素間的函數關系，用函數思想來處理，然后利用函數的性質求出限制條件下的最值.

怎樣構造函數表達式？解決步驟：一、根據題意和幾何圖形的性質對所給條件進行轉化，合理設置參數，將點坐標轉化為線段長;二、合理利用面積，特殊圖形（如直角三角形、矩形、圓等），特殊關系（如全等、相似、三角函數、勾股定理）將這類問題轉化為函數問題;三、利用函數性質求解.

“動靜法”除了可以解決三角形面積最值外，還可以求解線段長、三角形或者四邊形的周長最值.此題的問題是求△ABP的面積最大時t的值，并求出△ABP面積的最大值，題目不變，對問題進行變式，變式一：過點P作CP∥y軸交直線AB于點C，求CP最小時t的值，并求出CP的最小值;變式二：過點P作DP⊥AB交AB于點D，求DP最小時t的值，并求出DP的最小值;變式三：求△CDP周長最小時t的值，并求出△CDP周長的最小值等等變式，可以做多角度變式探究，這些變式題的做法都可以從以上總結的“動靜法”兩種視角思考.

參考文獻：

[1]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版總社，2016.

[2]龐彥福.初中數學有效教學[M].北京：北京師范大學出版社，2015.

[責任編輯：李 璟]