“圓”來如此簡單

摘 要：解決“直線型”圖形問題，如果巧作“輔助圓”，結合圖形性質和圓周角定理等，能夠收到事半功倍的效果.

關鍵詞：輔助圓;圖形解題;案例釋法;優先解法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）14-0010-02

收稿日期：2021-02-15

作者簡介：黃磊（1980.6-），男，江蘇省泰興人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

面對一些“直線型”圖形問題，如果忽視圖形的幾何特征，直接解答往往會增加出錯的可能.但是，如果注意挖掘和利用其中的一些隱藏條件，巧作“輔助圓”，往往能簡便地解決問題.

一、問題引入，對中考題四種解法的教學反思

泰州中考數學卷案例：第25題.已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC.若點P在線段AB上，如圖1，設AB=a，BP=b.當EP平分∠AEC時，求a∶b及∠AEC的度數.

本題當年中考得分率較低，主要失分點是有好多同學第一問就求不出a：b，或者在求出a：b后，絕大多數考生被卡在第二問“求∠AEC的度數”上.

事實上，從參考答案中的解法可以看出，命題者是把這一問作為一個難點來設置的.需設AB、CE交于點G，先證出a∶b=2∶1，得到a=2b.經匯總考卷參考答案、筆者解法和所教學生的解法，加在一起共有4種解法.

第一種：考卷參考答案的解法.

因為EP平分∠AEC，EP⊥AG，所以AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a，因為PE∥CF，所以∠PEG=∠BCG.又∠PGE=∠BGC，所以△PGE∽△BGC.所以

PE∶BC = PG∶GB.即b∶a=（a-b）∶（2b-a）， 解得a=2b.

過G作GH⊥AC，垂足為H.如圖2，因為∠CAB=45°，所以HG= 22AG=22×（22b-2b）=（2-2）b.

又BG=2b-a=（2-2）b， 所以GH=GB，又GH⊥AC，GB⊥BC，再證明△HCG與 △BCG全等，所以∠HCG=∠BCG，因為PE∥CF，所以∠PEG=∠BCG，所以∠AEC=∠ACB=45°.所以a∶b=2∶1，∠AEC=45°.

教者評析 此解法綜合運用了等腰三角形的性質定理、角平分線性質定理的逆定理，及相似三角形和正方形的性質等，但過程繁瑣，考生拿到題目也不容易想到輔助線的作法.

第二種：所教學生的解法.

連接BE，

a=AB=2b，BE=2b，

∴AB=BE，又∠ABE=45°，∴∠EAG=67.5°.在△AEG中，∠AEG=180°-2×67.5°=45°.

教者評析 此法在求∠AEC的度數時，綜合用到正方形的性質、等腰三角形的性質和三角形的內角和定理等.

第三種：所教學生的解法.

連接BE，∵∠EBF=45°=∠BCE+∠BEC，BC=BE，∴∠BCE=12∠EBF=22.5°.

∵PE∥CB，∴∠PEG=∠BCE=22.5°.

∴∠AEG=2∠PEG=45°

教者評析 此法綜合用到三角形外角的性質、等腰三角形性質定理、平行線的性質.第四種：筆者的解法.

同樣先連接BE.

∵BC=BA=BE，以B為圓心，BC長為半徑作圓B，∴∠AEC=12∠ABC=12×90°=45°.

教者評析 總結反思上述4種解法，對比之下發現最簡潔的思路還是解法4.

二、“輔助圓”應用的情境分析

1.江蘇常州中考數學模擬卷案例一

如圖3，直線y=x+b（b>0）與x、y軸分別相交于A、B兩點，點C（1，0），過點C作垂直于x軸的直線l，在直線l上取一點P，滿足PA=PB，點A關于直線l的對稱點為點D，以D為圓心，DP為半徑作⊙D.其中第 （3）小題，請試說明：直線BP與⊙D相切.

教者分析 回答第（3）小題，如果按照一般思路，要證直線BP與⊙D相切，只要證BP⊥PD.要證BP⊥PD，大多數人的思路是：過點B作直線l的垂線，通過證明三角形全等來證明∠BPD=90°，而證明三角形全等的條件又不齊備，還需證明PC=OC=1，解題過程非常繁瑣.仔細分析題目條件，如果結合圖形的性質加以解決，則可找到證明∠BPD=90°的簡便方法：因為點D是點A關于直線l的對稱點，所以根據軸對稱圖形的性質可以得到PA=PD，再結合已知條件PA=PB，所以PA=PD=PB.以點P為圓心，PA的長為半徑作⊙P，則點A、點B和點D都在⊙P上.根據∠BAC=45°，由圓周角定理便能快速證到∠BPD=90°，從而證得BP⊥PD，所以直線BP與⊙D相切.

2.江蘇常州中考數學模擬卷案例二

在平面直角坐標系中，已知點A（4，0）、B（-6，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標為.

教者分析 本題直接求解較難，但如果注意到題目中的關鍵條件“∠BCA=45°”，可以把∠BCA看作圓周角，構造以AB為弦，且弦AB所對圓心角為90°的圓：以AB為斜邊作等腰直角三角形——△ABP（有兩種可能：直角頂點P在x軸上方（如圖4）或直角頂點P在x軸下方（如圖5），以點P為圓心，PA的長為半徑作圓，⊙P與y軸的交點即為符合條件的點C，故點C也有兩種可能的位置），過點P作PE⊥x軸，PF⊥y軸，垂足分別為E、F，進而結合題目條件，利用垂徑定理和勾股定理求得點C的坐標.

不難發現，“輔助圓”應用題型中的隱藏條件，具有3類共同特征：一是圖中包括幾條共有端點的相等線段;二是圖中含有90°、45°的角或者其他倍角關系的角;三是圖中有對角互補的四邊形，可利用四點共圓來解題.如果題目條件具備以上三點特征，就可以考慮是否需要構造“輔助圓”，問題解決相應也簡潔快捷得多，讓人感嘆“圓”來如此簡單.

參考文獻：

[1]鄭惠容.巧構輔助圓 妙解幾何問題[J].數理化解題研究，2020（01）：18-19.

[責任編輯：李 璟]