反比例函數的圖象與性質的應用舉例

王永瓊

摘 要：反比例函數的圖象和性質是初中函數的重點內容，學生在學習反比例函數時相對一次函數有一定難度，主要是反比例函數自變量的取值范圍受到了限制，導致函數圖象的不連續性，出現了兩個分支.因此，在解決問題的時候，要注意到數與形的結合，以及分類討論問題.本文主要研究反比例函數的圖象與性質的簡單應用.

關鍵詞：反比例函數;圖象;性質

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）14-0008-02

反比例函數的圖象與性質的應用，是在學生學習了正比例函數、一次函數，以及反比例函數的概念后，在此基礎上進行簡單應用.如何應用圖象和性質解決問題，學生還是存在一定的困難，也易出錯.下面列舉五個方面的應用，解決學生學習了反比例函數的圖象與性質后的簡單應用問題.

一、根據反比例函數的圖象性質，確定k值的取值范圍

例1 在反比例函數y=k-1x的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的取值范圍是.

分析 根據反比例函數的性質可知，當反比例函數的系數大于0時，在每一個象限內，y都隨x的增大而減小，可得k-1>0，從而得k的取值范圍k>1.

點評 本題考查了反比例函數的性質：當k>0時，在每一個象限內，y隨x的增大而減小;當k<0時，在每一個象限內，y隨x的增大而增大.熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解答本題的關鍵.

二、反比例函數圖象的對稱性

反比例函數y=kx的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.對稱中心是原點，對稱軸是直線y=x和圖1直線y=-x.

例2 如圖1，已知直線y=mx與雙曲線y=kx的一個交點A的坐標為（3，4），則它們的另一個交點B的坐標是.

分析

根據反比例函數與正比例函數的圖象都關于原點成中心對稱，可知由兩函數圖象組成的圖形是中心對稱圖形，所以兩圖象的交點關于原點對稱.

解 ∵點A與B關于原點對稱，∴B點的坐標為（-3，-4）.

點評

本題考查了反比例函數圖象的對稱性，利用對稱性可知，兩圖象的交點關于原點對稱，已知一個交點坐標，即可求另一個交點的坐標.

三、反比例函數值大小的比較

反比例函數值大小的比較，常用的比較方法有三種：①代入求值比較法;②性質法;③圖象法.利用第二種性質法比較時，要注意涉及到的點要在雙曲線同一分支上，才能用增減性比較函數值大小.

例3 已知A（2，y1），B（-3，y2），C（-5，y3）三個點都在反比例函數y=k2+1x的圖象上，試比較y1，y2，y3的大小.

分析 本題有三種解決方法.

方法一 直接代入求值比較.由于反比例函數y=k2+1x中系數k2+1>0，可直接把x1=2，x2=-3，x3=-5代入函數關系式分別求出y1，y2，y3，即可得答案y2<y3<y1.

方法二 利用性質比較，要注意到點A，B，C不在雙曲線同一分支上，不能直接用性質法比較y1，y2，y3的大小，而B（-3，y2），C（-5，y3）在雙曲線同一分支上，且在第三象限，可用增減性比較大小，當k2+1>0時，在每個象限內，y隨x的增大而減少，由-3>-5，即可得到y2<y3<0，又x1=2時y1>0，即可得答案y2<y3<y1.

方法三 圖象法，由k2+1>0，可知雙曲線兩分支分別在第一、三象限，畫出草圖，再根據各點的橫坐標判斷出點所在雙曲線的大致位置，進而通過圖象知道對應的函數值y的大小，即可得出結論y2<y3<y1.這個方法是三種比較方法中最簡單的一種.

點評

這道題考查了反比例函數值大小的比較，需熟練掌握反比例函數的圖象和性質，熟練應用三種比較大小的方法.在用性質比較法時，若涉及到的點不在雙曲線同一分支上，直接用性質比較，則會導致解題出錯，這也是學生容易出錯的地方.

四、反比例函數中系數“k”的幾何意義

過反比例函數圖象上的任意一點P作x軸、y軸的垂線則①兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積等于k;

②所作垂線、x軸（或y軸）與線段OP圍成的三角形的面積等于12k.

反之亦成立，常應用幾何意義來確定反比例函數的解析式或進行相應面積的計算和比較.

例4 如圖2，直線l⊥x軸垂足為點P，且與反比例函數y1=k1x（x>0）及y2=k2x（x>0）的圖象分別交于點A，B，連接OA，OB，已知△OAB的面積為2，則k1-k2的值為.

解 ∵據反比例函數“k”的幾何意義可知：S△AOP=k12，S△BOP=k22 ，

∴S△AOB=k12-k22=2，∴k1-k2=4

點評 這道題考查反比例函數中系數“k”的幾何意義，利用數形結合思想解題是本題的解題關鍵.

五、反比例函數與一次函數的聯系

反比例函數與一次函數的綜合應用中，常常涉及到求兩個函數的解析式、交點、面積，以及比較兩函數值大小的問題.

（1）求函數解析式，常用待定系數法解決.

（2）求函數圖象的交點，可把兩函數解析式聯立在一起得方程組，方程組的解，即為兩函數圖象的交點坐標. 若一次函數是特殊的正比例函數，已知一個交點的坐標，利用對稱性可直接得另一個交點坐標.

（3）求三角形面積.

若三角形有一邊在坐標軸上，或平行于坐標軸的直線上，則選擇這條邊為底，可直接求面積.否則，利用割補法，過三角形的一個頂點作平行（或垂直）于x軸或y軸的直線，把三角形割補成上述情況求解.

（4）比較兩函數值的大小.

利用圖象法解決.先求出兩圖象的交點坐標，再過交點作x軸的垂線（或y軸的平行線），把整個圖象分為四個區域，在每個區域內根據自變量的取值范圍分類討論，圖象在上方的函數值大，下方的函數值小，從而得出結論.

例5 若A（-4，n），B（2，-4）是一次函數y=kx+b和反比例函數y=mx的圖象的兩個交點.

（1）求反比例函數和一次函數的解析式;

（2）求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積;

（3）觀察圖象，直接寫出反比例函數值大于一次函數值時x的取值范圍.

詳解 （1）∵把B（2，-4）代入y=mx ，得 m=-8

∴反比例函數解析式為y=-8x

∵把A（-4，n）代入y=-8x，解得n=2，把A （-4 ，2），B（2，-4）分別代入y=kx+b可解得k=-1，b=-2.

∴一次函數的解析式為y=-x-2

（2）∵當y=0時，-x-2=0 ，解得x=-2，∴點C坐標為（-2 ，0）

∴S△AOB=S△AOC+SBOC=12×2×2+12×2×4=6

（3）由圖象得，當-4<x<0或x>2時，反比例函數值大于一次函數值.

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、求坐標系中三角形面積問題、兩函數值大小比較等，注意掌握數形結合的思想方法，方程思想的應用，利用數形結合的思想解題是本題的解題關鍵.

總之，在解決反比例函數的圖象與性質的應用問題時，需要我們掌握好反比例函數的定義、圖象和性質，利用數形結合思想解題是解決問題的關鍵.以上五個方面的簡單應用列舉，在反比例函數的圖象與性質的應用中考查到的頻率比較高，注意把握好解決這幾種應用問題的方法技巧，并靈活的加以應用，從而提高自己分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]楊金洪.初中數學反比例函數的研究[J].中學課程資源，2020（02）：66-68+32.

[2]王芳.“反比例函數”錯解剖析[J].中學生數理化（初中版），2020（12）：6-7.

[3]荊建春.對一道反比例函數壓軸題的研究[J].中小學數學（初中版），2020（11）：27-28.

[4]祝明基.一道中考反比例函數試題的解法探究[J].數學教學通訊，2020（23）：81-82.

[責任編輯：李 璟]