一道高考題錯誤解法的反思

馮世偉

摘 要：排列組合是高中數學中相對獨立部分，其中立體幾何模型中的涂色問題是師生反映較難的部分，對學生分析問題、解決問題能力要求較高.由于題目變化多端，結構復雜，思考過程容易出錯，解答思路靈活，答案檢驗和糾錯困難，本文以排列組合問題的一個錯誤解法為例，分析排列組合中涂色問題的常見認知錯誤，研究其產生錯誤的原因，找到解決問題的思路.

關鍵詞：排列組合;常見錯誤;分類討論;立體幾何

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）13-0009-02

在講排列組合復習課時，學生A拿著資料問我下面的一道題：

題目 某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖1所示的6個點A，B，C，A1，B1，C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有種（用數字作答）.

此題是高考理科填空題第16題 （重慶卷），這是一道“染色”問題與立體幾何結合的綜合試題，當時就給學生如下分析：由條件知點A處有4種選擇，點B處有3種選擇，點C處有2種選擇，從而點A1處有3種選擇，點B1處與點A處的燈泡可以同色，也可以異色，故點B1處也有3種選擇，點C1處只有1種選擇，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216（種）方法.看數據與答案相符，當時還有點沾沾自喜的“成就感”.在第二天上課時我就將此題在班里講了一下.

學生B說：“老師，您的解題思路有問題”.

我當時持有懷疑的心理，為了鼓勵學生B，我還是說：“請你說說錯誤之處”.

學生B說：“在A，B，C指定了的染色方法后，A1，B1的“任意性”，可導致最終只使用了三種顏色的情況出現”.

對呀！題目要求每種顏色的燈泡都至少用一個，我向同學們說：我知道，我錯了！究竟錯在何處呢，為什么我的思路所得數據又和答案“如此完美的相符”呢？同學們發現了老師的錯誤，真是激情高漲，為了能盡快地糾正老師的錯誤，當時在班內就熱火朝天地討論開了.

題意分析

這是一道“染色”問題與立體幾何結合的綜合試題，解題時抓住題意，“同一條線段兩端的燈泡不同色”，同時要注意“每種顏色都要使用”的限制.

解析 先確定A，B，C處的顏色，有A34種，第四種顏色的燈的安裝位置有C13種（例如放在C1處），其余兩處分兩種情況：若A1， B同色，則B1處有2個選擇，若A1， B不同色，由于A1處已確定，則B1處僅有1個選擇.所以共有A34C13（2+1）=216種不同的方法.這才是正確的解法.

解法研究

“棱的兩端不同色”的條件大家都會注意到，而“四種顏色都要使用”的條件，往往容易忽略或使用不好.解法的示范揭示出：底面三角形的頂點必不同色，故可整體處理為A34種.以下即可從另一底面上“必有一點為第四種顏色”出發，經過分類討論（化朦朧為清晰）得出答案.這里討論是不可避免的.

提供另外一種思路供大家探究：用四種顏色染六個點，必有兩個是同色的;統一底面上的點不能同色，而同色的兩點必分處于兩個底面，故不會有三點同色，故六個點依題設染色時，必有兩組“雙點”同色和另外兩個單點與其它點均不同色，于是可依“先組合后排列”的原則，先分析兩組同色的“雙點”的取法，并將同色的“雙點”視為一點，再做全排列.同色的“雙點”連線必為側面對角線，且兩條對角線沒有公共的端點（即棱臺的頂點），故取兩組的方法數為C26-6（C26中的“6”指側面有6條對角線;“-6”是減去“雖不在同一側面，卻有公共端點——棱臺頂點的6組對角線”）;也可以分類：側面6條對角線中異面的組數為2C23種，相交（并非有公共頂點）的為3種.總之，兩種同色點的取法共有C26-6=2C23+3=9種.將同色的兩點視為一個點，問題變為以四種顏色涂四個點，共有A44種方法，于是原題的答案就是9A44=216種.

錯解 由條件知點A處有4種選擇，點B處有3種選擇，點C處有2種選擇，從而點A1有3種選擇，B1處與點A處的燈泡可以同色，也可以異色，故點B1處也有3種選擇，點C1處只有1種選擇，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216（種）方法.

錯解分析

錯誤1：在指定了A，B，C的染色方法后，A1，B1的“任意性”可導致最終只使用了三種顏色的情況出現.

錯誤2：染A1固然有3種方法，但只有A1與B同色時，B1才有3種方法，否則就只有2種.

錯誤3：對于A1，B1的不同染色，C1的染法不總是唯一確定的，如，A1與B1中有一個是第四種顏色，另一個與C同色時，C1有兩種染法（與A或B同色）.

幾處錯誤“交織”在一起，既有“增根”（不是重復，而是不符合題意），又有“丟根”，而且何處“增”多少，何處“丟”多少，已難于用簡短的語言交代清楚.“難能可貴的”是，其得數與正確答案相同！這正是該錯誤的隱蔽之處.錯解之錯是思路之錯，不可容忍，答案的“一致”僅僅是題設的數據造成的巧合，在數據改變之后，以這樣的錯誤思路解題勢必鑄成大錯，這也是危害所在，解這類問題，直接“分步”的過程中，不分類討論幾乎是不可能的.

題目延伸

如果顏色種數有變化，錯誤的思路體現的錯誤就很明顯，最顯然的一種情況，用足給定的六種顏色三棱臺標有字母的六個頂點，自然是A66種方法，若用足給定的五種顏色染三棱臺標有字母的六個頂點，方法有多少種？

正解 染A，B，C有A35種方法，余下的兩種顏色染A1，B1，C1中的兩點有A23種方法，余下的一個點與和它共棱的三個點不同色，其余兩色任選有C12種.故有A35A23C13=A56種方法.

錯解 六個點選五個點染不同顏色有A56種方法，余下的一個點與和它共棱的三個點不同色，其余任選有C12種，故有A56C12=2A56種.

分析 恰好重復了一倍，理由是“余下的點”可能在上底面，也可能在下底面，這兩種只考慮一種（即是正解）.都考慮當然重復一倍，盡管不是有意的，但這種思維的“隨意性”有害，應引以為戒.其實也可以如下分析：六個點中必有兩點同色（連線為側面對角線），于是將“兩點視為一點”的方法有C16種，然后全排列有A55種，故共有C16A55=A66=A56種.

下面看一道數學聯賽題（1995年高中數學聯賽）將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色.如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數是多少？

方法1 以顏色為主分類討論

第一類用3種不同顏色時，第一步選色染A，第二步從剩余4種顏色任選兩種染E，B，C，D四點，此時只能對角點可分別同色，故有C15C24C12=60種;

第二類用4種不同顏色，先從5種顏色選一種色染A;再從剩余4種顏色任選兩種染E，B且顏色可交換有A24種;再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有C15A24C12C12=240種.

第三類用5種顏色染色有A55=120種，由加法原理得不同的涂色方法數共有60+240+120=420種.

方法2 以區域為主分步計數（可以以相鄰顏色最多的區域開始）

第一步先涂A，有5種，第二步再涂D（與A不同色）有4種，第三步涂E（與A，B不同色）有3種，此時只剩2種顏色染B，C，對角點可同色，C，A同色時，B與A（C），E不同色有3種;C，A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種選擇的顏色，從而C，D染色有1×3+2×2，由乘法原理共有60×7=420種.

推廣1 用5種顏色將n棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色.如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數是an=15[3n-1+（-1）n-2];

推廣2 用m（m≥4）種顏色將n（n≥3）棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色.如果只有m種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數是an=m（m-2）（m-2）n-1+（-1）n.

解題反思

錯解給了我們反思的機會，讓我們更加深刻地認識到排列組合的本質內涵，分類計數原理（加法計數原理）和分步計數原理（乘法計數原理）是解決排列組合問題的最根本的方法.

參考文獻：

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[3]范方兵.素養導向下一道高考試題的解法探究[J].中國數學教育，2018（22）：52-55.

[責任編輯：李 璟]